2022年高中數(shù)學(xué) 第二章《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案 新人教A版選修2-1

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第二章《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案 新人教A版選修2-1 ◆ 知識(shí)與技能目標(biāo) 理解橢圓的概念，掌握橢圓的定義、會(huì)用橢圓的定義解決實(shí)際問(wèn)題；理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程及化簡(jiǎn)無(wú)理方程的常用的方法；了解求橢圓的動(dòng)點(diǎn)的伴隨點(diǎn)的軌跡方程的一般方法． ◆ 過(guò)程與方法目標(biāo) （1）預(yù)習(xí)與引入過(guò)程 當(dāng)變化的平面與圓錐軸所成的角在變化時(shí)，觀(guān)察平面截圓錐的截口曲線(xiàn)（截面與圓錐側(cè)面的交線(xiàn)）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當(dāng)截面不與圓錐的軸線(xiàn)或圓錐的母線(xiàn)平行時(shí)，截口曲線(xiàn)是橢圓，再觀(guān)察或操作了課件后，提出兩個(gè)問(wèn)題：第一、你能理解為什么把圓、橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)叫做圓錐曲線(xiàn)；第二、你能舉出現(xiàn)實(shí)

2、生活中圓錐曲線(xiàn)的例子．當(dāng)學(xué)生把上述兩個(gè)問(wèn)題回答清楚后，要引導(dǎo)學(xué)生一起探究P41頁(yè)上的問(wèn)題（同桌的兩位同學(xué)準(zhǔn)備無(wú)彈性的細(xì)繩子一條（約10cm長(zhǎng)，兩端各結(jié)一個(gè)套），教師準(zhǔn)備無(wú)彈性細(xì)繩子一條（約60cm，一端結(jié)個(gè)套，另一端是活動(dòng)的），圖釘兩個(gè)）．當(dāng)套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫(huà)出的圖形是橢圓．啟發(fā)性提問(wèn)：在這一過(guò)程中，你能說(shuō)出移動(dòng)的筆小（動(dòng)點(diǎn)）滿(mǎn)足的幾何條件是什么？〖板書(shū)〗2．1．1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程． （2）新課講授過(guò)程 （i）由上述探究過(guò)程容易得到橢圓的定義． 〖板書(shū)〗把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓（ellipse）．其中這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間

3、的距離叫做橢圓的焦距．即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為時(shí)，橢圓即為點(diǎn)集． （ii）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程 提問(wèn)：已知圖形，建立直角坐標(biāo)系的一般性要求是什么？第一、充分利用圖形的對(duì)稱(chēng)性；第二、注意圖形的特殊性和一般性關(guān)系． 無(wú)理方程的化簡(jiǎn)過(guò)程是教學(xué)的難點(diǎn)，注意無(wú)理方程的兩次移項(xiàng)、平方整理． 設(shè)參量的意義：第一、便于寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二、的關(guān)系有明顯的幾何意義． 類(lèi)比：寫(xiě)出焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． （iii）例題講解與引申 例1 已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程． 分析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義及給出的條件，容易求出．引導(dǎo)學(xué)生用其他方法來(lái)解． 另

4、解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因點(diǎn)在橢圓上， 則． 例2 如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)段，為垂足．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡是什么？ 分析：點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)移動(dòng)引起點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)的伴隨點(diǎn)，因點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)可由點(diǎn)來(lái)表示，從而能求點(diǎn)的軌跡方程． 引申：設(shè)定點(diǎn)，是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程． 解法剖析：①（代入法求伴隨軌跡）設(shè)，；②（點(diǎn)與伴隨點(diǎn)的關(guān)系）∵為線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴；③（代入已知軌跡求出伴隨軌跡），∵，∴點(diǎn)的軌跡方程為；④伴隨軌跡表示的范圍． 例3如圖，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，．直線(xiàn)，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，求點(diǎn)的軌跡方程． 分析：若設(shè)點(diǎn)，則直線(xiàn)

5、，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線(xiàn)，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關(guān)系式，即得到點(diǎn)的軌跡方程． 解法剖析：設(shè)點(diǎn)，則，； 代入點(diǎn)的集合有，化簡(jiǎn)即可得點(diǎn)的軌跡方程． 引申：如圖，設(shè)△的兩個(gè)頂點(diǎn)，，頂點(diǎn)在移動(dòng)，且，且，試求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 引申目的有兩點(diǎn)：①讓學(xué)生明白題目涉及問(wèn)題的一般情形；②當(dāng)值在變化時(shí)，線(xiàn)段的角色也是從橢圓的長(zhǎng)軸→圓的直徑→橢圓的短軸． ◆ 情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)目標(biāo) 通過(guò)作圖展示與操作，必須讓學(xué)生認(rèn)同：圓、橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)都是圓錐曲線(xiàn)，是因它們都是平面與圓錐曲面相截而得其名；必須讓學(xué)生認(rèn)同與體會(huì)：橢圓的定義及特殊情形當(dāng)常數(shù)等于兩定點(diǎn)間距離時(shí)，軌跡是線(xiàn)

6、段；必須讓學(xué)生認(rèn)同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則，及引入?yún)⒘康囊饬x，培養(yǎng)學(xué)生用對(duì)稱(chēng)的美學(xué)思維來(lái)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧美；讓學(xué)生認(rèn)同與領(lǐng)悟：例1使用定義解題是首選的，但也可以用其他方法來(lái)解，培養(yǎng)學(xué)生從定義的角度思考問(wèn)題的好習(xí)慣；例2是典型的用代入法求動(dòng)點(diǎn)的伴隨點(diǎn)的軌跡，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維方法，會(huì)用分析、聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)解決問(wèn)題；通過(guò)例3培養(yǎng)學(xué)生的對(duì)問(wèn)題引申、分段討論的思維品質(zhì)． ◆能力目標(biāo) （1） 想象與歸納能力：能根據(jù)課程的內(nèi)容能想象日常生活中哪些是橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的實(shí)際例子，能用數(shù)學(xué)符號(hào)或自然語(yǔ)言的描述橢圓的定義，能正確且直觀(guān)地繪作圖形，反過(guò)來(lái)根據(jù)圖形能用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和數(shù)學(xué)符號(hào)表示． （2） 思維能力：會(huì)把幾何問(wèn)題化歸成代數(shù)問(wèn)題來(lái)分析，反過(guò)來(lái)會(huì)把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法；培養(yǎng)學(xué)生的會(huì)從特殊性問(wèn)題引申到一般性來(lái)研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力． （3） 實(shí)踐能力：培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際動(dòng)手能力，綜合利用已有的知識(shí)能力． （4） 數(shù)學(xué)活動(dòng)能力：培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、探究、驗(yàn)證與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)能力． （5） 創(chuàng)新意識(shí)能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問(wèn)題的能力，探究解決問(wèn)題的一般的思想、方法和途徑． 練習(xí)：第45頁(yè)1、2、3、4、 作業(yè)：第53頁(yè)2、3、