江蘇省2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第7講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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1、　三角函數(shù)與平面向量 　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1. 掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)；會(huì)用“五點(diǎn)法”作出正弦函數(shù)及余弦函數(shù)的圖象；掌握函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及性質(zhì)． 2. 高考試題中，三角函數(shù)題相對(duì)比較傳統(tǒng)，位置靠前，通常是以簡(jiǎn)單題形式出現(xiàn)．因此在本講復(fù)習(xí)中要注重三角知識(shí)的基礎(chǔ)性，特別是要熟練掌握三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)圖象的識(shí)別及其簡(jiǎn)單的性質(zhì)(周期、單調(diào)、奇偶、最值、對(duì)稱(chēng)、圖象平移及變換等)． 3. 三角函數(shù)是每年高考的必考內(nèi)容，多數(shù)為基礎(chǔ)題，難度屬中檔偏易．這幾年的高考中加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)定義、圖象和性質(zhì)的考查．在這一講復(fù)習(xí)中要重視解三角函數(shù)題的一些特殊方

2、法，如函數(shù)法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等的訓(xùn)練． 1. 函數(shù)y＝2sin2－1是最小正周期為_(kāi)_______的________(填“奇”或“偶”)函數(shù)． 2.函數(shù)f(x)＝－cosx在[0，＋∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 3.函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________． 4.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是π，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)＝sinx，則f的值為_(kāi)_______． 【例1】　設(shè)函數(shù)f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)

3、點(diǎn)P(x，y)，且0≤θ≤π. (1) 若點(diǎn)P的坐標(biāo)是，求f(θ)的值； (2) 若點(diǎn)P(x，y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角θ的取值范圍，并求函數(shù)f(θ)的最小值和最大值． 【例2】　函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)的部分圖象如圖所示． (1) 求f(0)的值； (2) 若0<φ<π，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍． 【例3】　已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為. (1) 求f的值； (2) 將函數(shù)y＝f(x)的

4、圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間． 【例4】　已知函數(shù)f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈R. (1) 求f(x)的最小正周期； (2) 若h(x)＝f(x＋t)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且t∈(0，π)，求t的值； (3) 當(dāng)x∈時(shí)，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 1. (2011·江西)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸．若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sinθ＝－，則y＝________. 2.(2010·全國(guó))函數(shù)f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是_______

5、_． 3.(2009·全國(guó))函數(shù)y＝sincos的最大值為_(kāi)_______． 4.(2010·廣東)已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的圖象與直線(xiàn)y＝2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________． (2011·四川)已知函數(shù)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)． (1) 求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值； (2) 若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值． 5.(2009·福建)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<. (1) 若coscos

6、φ－sinπsinφ＝0，求φ的值； (2) 在(1)的條件下，若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離等于，求函數(shù)f(x)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)． (2009·重慶)(本小題滿(mǎn)分13分)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin－2cos2＋1. (1) 求f(x)的最小正周期； (2) 若函數(shù)y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，求當(dāng)x∈時(shí)，y＝g(x)的最大值． 解：(1) f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx ＝sinx－cosx(3分) ＝sin，(5分) 故f(x)的最小正周

7、期為T(mén) ＝＝8.(7分) (2) (解法1)在y＝g(x)的圖象上任取一點(diǎn)(x，g(x))，它關(guān)于x＝1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2－x，g(x))． 由題設(shè)條件，點(diǎn)(2－x，g(x))在y＝f(x)的圖象上，從而 g(x)＝f(2－x)＝sin＝sin＝cos.(10分) 當(dāng)0≤x≤時(shí)，≤x＋≤，因此y＝g(x)在區(qū)間上的最大值為g(x)max＝cos＝.(13分) (解法2)因區(qū)間關(guān)于x＝1的對(duì)稱(chēng)區(qū)間為，且y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)，故y＝g(x)在上的最大值為y＝f(x)在上的最大值， 由(1)知f(x)＝sin， 當(dāng)≤x≤2時(shí)，－≤x－≤， 因此y＝g(x)在上的

8、最大值為g(x)max＝sin＝.(13分) 第7講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1. 若＜x＜，則函數(shù)y＝tan2xtan3x的最大值為_(kāi)_______． 【答案】?。?　解析：令tanx＝t∈(1，＋∞)，y＝，y′(t)＝ 得t＝時(shí)y取最大值－8. 2. 已知函數(shù)f(x)＝2cos2x＋sin2x. (1) 求f的值； (2) 求f(x)的最大值和最小值． 解：(1) f＝2cos＋sin2＝－1＋＝－. (2) f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)＝3cos2x－1，x∈R. 因?yàn)閏osx∈[－1,1]，所以當(dāng)cosx＝±1時(shí)，f(x)取最大值2；

9、當(dāng)cosx＝0時(shí)，f(x)取最小值－1. 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1. π　奇　解析：y＝－cos＝－sin2x. 2. 1　解析：在[0，＋∞)內(nèi)作出函數(shù)y＝，y＝cosx的圖象，可得到答案． 3. －＋1　解析：f(x)＝2cos2x＋sin2x＝sin＋1. 4. －　解析：f＝f＝f＝sin＝－. 例題選講 例1　解：(1) 根據(jù)三角函數(shù)定義得sinθ＝，cosθ＝，∴ f(θ)＝2.(本題也可以根據(jù)定義及角的范圍得角θ＝，從而求出 f(θ)＝2)． (2) 在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域知0≤θ≤，f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2sin，∴ θ＝0，f(θ)min＝1；θ＝，f(θ)ma

10、x＝2. (注： 注意條件，使用三角函數(shù)的定義； 一般情況下，研究三角函數(shù)的周期、最值、單調(diào)性及有關(guān)計(jì)算等問(wèn)題時(shí)，常可以先將函數(shù)化簡(jiǎn)變形為y＝Asin(ωx＋φ)的形式) 例2　解：(1)由題圖可知：A＝，＝π－＝，ω＝2， 2×＋φ＝2kπ＋，φ＝2kπ＋，k∈Z， f(0)＝sin＝. (2) φ＝，f(x)＝sin. 因?yàn)?≤x≤，所以≤2x＋≤π，所以0≤sin≤1. 即f(x)的取值范圍為[0，]． (注：本題主要考查正弦、余弦、正切函數(shù)及y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質(zhì)以及誘導(dǎo)公式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題) 變式訓(xùn)練　已知A為△ABC的內(nèi)角，求y＝cos

11、2A＋cos2的取值范圍． 解： y＝cos2A＋cos2＝＋ ＝1＋＋ ＝1＋＝1＋cos. ∵ A為三角形內(nèi)角，∴ 0＜A＜π，∴ －1≤cos≤1， ∴ y＝cos2A＋cos2的取值范圍是. 例3　解：(1) f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ) ＝2 ＝2sin. 因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)， 所以對(duì)x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立， 因此sin＝sin. 即－sinωxcos＋cosωxsin ＝sinωxcos＋cosωxsin， 整理得sinωxcos＝0. 因?yàn)棣兀?，且x∈R，所以cos＝0. 又因?yàn)?＜φ＜π，故φ－＝. 所以f(

12、x)＝2sin＝2cosωx. 由題意得＝2×，所以ω＝2. 故f(x)＝2cos2x. 因此f＝2cos＝. (2) 將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到f的圖象， 所以g(x)＝f＝2cos＝2cos. 當(dāng)2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減， 因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)． 例4　解：(1)函數(shù)可化為f(x)＝－cos－cos2x＝2sin，故f(x)的最小正周期為π. (2) h(x)＝2sin.令2×＋2t－＝kπ，k∈Z. 又t∈(0，π)，故t＝或. (3) 當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈， ∴ f(

13、x)∈[1,2]． |f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3，∴ 2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4. 變式訓(xùn)練　設(shè)函數(shù)f(x)＝－cos2x－4tsincos＋4t3＋t2－3t＋4，x∈R，其中|t|≤1，將f(x)的最小值記為g(t)． (1) 求g(t)的表達(dá)式； (2) 討論g(t)在區(qū)間(－1,1)內(nèi)的單調(diào)性并求極值． 解：(1) f(x)＝－cos2x－4tsincos＋4t3＋t2－3t＋4 ＝sin2x－2tsinx＋4t3＋t2－3t＋3 ＝(sinx－t)2＋4t3－3t＋3. 由于(sinx－t)2≥0，|t|≤1，故當(dāng)sinx＝t時(shí)，f(

14、x)達(dá)到其最小值g(t)，即 g(t)＝4t3－3t＋3. (2) g′(t)＝12t2－3＝3(2t＋1)(2t－1)，－1＜t＜1. 列表如下： t － g′(t) ＋ 0 － 0 ＋ g(t)  極大值  極小值  由此可見(jiàn)，g(t)在區(qū)間和上單調(diào)增，在區(qū)間上單調(diào)減，極小值為g＝2，極大值為g＝4. 高考回顧 1. —8　解析：sinθ＝＝－，解得y＝－8或8(舍)． 2. π　解析：f(x)＝sin－2sin2x＝sin－. 3. 　解析： y＝cosx＝sin＋. 4. ，k∈Z　解析： f(x)＝sinωx＋c

15、osωx(ω＞0)＝2sin. ∵ 周期為π，∴ ω＝2，∴ f(x)＝2sin. 2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 5. 解： (1) 由f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1，得 f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin. 所以函數(shù)的最小正周期為T(mén)＝＝π. 因?yàn)閤∈，所以2x＋∈. 所以2x＋∈，即x∈時(shí)，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，而在x∈時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以f＝2sin＝2為最大值，f＝2sin＝－1為最小值． (2) 由(1)知，f(x0)＝2sin. 又由已知f(x0)＝，則sin＝. 因?yàn)閤0∈，則2x0＋∈.因此cos＜0， 所以cos＝－，于是cos2x0＝cos， ＝coscos＋sinsin ＝－×＋×＝. 6. 解：(1) 由coscosφ－sinπsinφ＝0得coscosφ－sinsinφ＝0 即cos＝0，又|φ|<，∴ φ＝. (2) 由(1)得f(x)＝sin，依題意，＝，又T＝，故ω＝3， ∴ f(x)＝sin，函數(shù)的圖像向左平移m個(gè)單位后對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝sin，g(x)是偶函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)3m＋＝kπ＋(k∈Z)，即m＝＋(k∈Z)，從而最小正實(shí)數(shù)m＝.