江蘇省2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第15講　點(diǎn) 直線 平面之間的位置關(guān)系

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1、　點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 江蘇高考立體幾何部分在正常情況下考兩題。一道填空題，常考空間的線、面位置關(guān)系的辨析與判定或特殊幾何體的體積、表面積等，要求考生對(duì)公理、定理、性質(zhì)、定義等非常熟悉．并能借助已有的幾何體中的線與面來解決問題；一道大題，?？季€面的平行、垂直，面面的平行與垂直，偶爾也求確定幾何體的體積，通過線段長度、線段長度比，點(diǎn)的位置確定等來探索幾何體中的線線、線面、面面的位置關(guān)系，要重視，要學(xué)會(huì)規(guī)范答題． 1. 直線a，b是長方體的相鄰兩個(gè)面的對(duì)角線所在的直線，則a與b的位置關(guān)系是________． 2.a，b，c為三條不重合的直線，α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，

2、直線均不在平面內(nèi)，給出以下命題： ①a∥b；②a∥α；③α∥β. 其中真命題是____________(填所有正確命題的序號(hào))． 如果直線l⊥平面α，給出下列判斷： ①若直線m⊥l，則m∥α；②若直線m⊥α，則m∥l； ③若直線m∥α，則m⊥l；④若直線m∥l，則m⊥α. 其中正確判斷的序號(hào)是________________． 3.已知A、B、C、D不共面，A在平面BCD上的射影為O，則AB⊥CD，AC⊥BD是O為△BCD垂心的________(填“充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要”)條件． 【例1】　如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上

3、(異于點(diǎn)A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，求證： (1) MO∥平面PAC； (2) 平面PAC⊥平面PBC. 【例2】　如圖四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AD＝1，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面垂直，Q是AD的中點(diǎn)． (1) 求四棱錐PABCD的體積； (2) M在線段PC上，PM＝tPC，線段BC上是否存在一點(diǎn)R，使得當(dāng)t∈(0,1)時(shí)，總有BQ∥平面MDR？若存在，確定R點(diǎn)位置；若不存在，說明理由． 【例3】　如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為3的正方

4、體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AE＝FC1＝1. (1) 求證：E、B、F、D1四點(diǎn)共面； (2) 若點(diǎn)G在BC上，BG＝，點(diǎn)M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥平面BCC1B1. 【例4】　如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分別為邊AB、AD的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿DE折起，得四棱錐ABCDE. (1) 求證：EF∥平面ABC； (2) 若平面ADE⊥平面BCDE，求四面體FDCE的體積． 1. (2011·福建)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為A

5、D的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________． 2. (2010·湖北)用a、b、c表示三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題： ①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，則a∥b. 其中正確的命題有________________(填所有正確命題的序號(hào))． 3. (2009·江蘇)設(shè)α和β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題： ①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α平行于β； ②若α外一條直線l與α內(nèi)一條直線平行，則l和α平行； ③設(shè)α和β相交于

6、直線l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α和β垂直； ④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直． 上面命題中，真命題的是________(填所有真命題的序號(hào))． 4.(2011·浙江)下列命題中錯(cuò)誤的是________ ①如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β； ②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β； ③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ； ④如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β. 5. (2011·江蘇)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，

7、AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)， 求證： (1) 直線EF∥平面PCD； (2) 平面BEF⊥平面PAD. 6. (2010·山東)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn)，且AD＝PD＝2MA. (1) 求證：平面EFG⊥平面PDC； (2) 求三棱錐PMAB與四棱錐PABCD的體積之比． (2011·南京一模)(本小題滿分14分)如圖，在棱長均為4的三棱柱ABCA1B1C1中，D、D1分別是BC和B1C1的中點(diǎn)． (

8、1) 求證：A1D1∥平面AB1D； (2) 若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱錐B1ABC的體積． (1) 證明：如圖，連結(jié)DD1.在三棱柱ABCA1B1C1中， 因?yàn)镈、D1分別是BC與B1C1的中點(diǎn)， 所以B1D1∥BD，且B1D1＝BD， 所以四邊形B1BDD1為平行四邊形，(2分) 所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1. 又AA1∥BB1，AA1＝BB1， 所以AA1∥DD1，AA1＝DD1， 所以四邊形AA1D1D為平行四邊形，(4分) 所以A1D1∥AD. 又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D， 故A1D1∥

9、平面AB1D.(6分) (2) 解：(解法1)在△ABC中，因?yàn)锳B＝AC，D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC. 因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面B1C1CB，交線為BC，AD平面ABC，所以AD⊥平面B1C1CB， 即AD是三棱錐AB1BC的高. (10分) 在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2. 在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°， 所以△B1BC的面積S△B1BC＝×42＝4. 所以三棱錐B1ABC的體積即三棱錐AB1BC的體積： V＝×S△B1BC·AD＝×4×2＝8.　(14分) (解法2)在△B1BC中，因?yàn)锽1B＝

10、BC，∠B1BC＝60°，所以△B1BC為正三角形，因此B1D⊥BC. 因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面B1C1CB，交線為BC，B1D平面B1C1CB， 所以B1D⊥平面ABC，即B1D是三棱錐B1ABC的高. (10分) 在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4得△ABC的面積S△ABC＝×42＝4. 在△B1BC中，因?yàn)锽1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，所以B1D＝2. 所以三棱錐B1ABC的體積V＝×S△ABC·B1D＝×4×2＝8. (14分) 第15講　點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 1. 過三棱柱 ABC—A1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其

11、中與平面ABB1A1平行的直線共有________條． 【答案】　6 2. m、n是空間兩條不同的直線，α、β是空間兩個(gè)不同的平面，下面有四個(gè)命題： ① m⊥α，n∥β，α∥βm⊥n；　?、?m⊥n，n∥β，m⊥αα∥β； ③ m⊥n，α∥β，m∥αn⊥β；　　④ m⊥α，m∥n，α∥βn⊥β. 其中真命題是____________(寫出所有真命題的序號(hào))． 【答案】　①④ 3. 給出以下四個(gè)命題，其中真命題是____________(寫出所有真命題的序號(hào))． ① 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行； ② 如果一條直線

12、和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面； ③ 如果兩條直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行； ④ 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直． 【答案】?、佗冖? 4. 如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A、B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)，有以下四個(gè)命題： ① PA∥平面MOB；　?、?MO∥平面PBC； ③ OC⊥平面PAC；　　 ④ 平面PAC⊥平面PBC. 其中正確的命題是____________．(填上所有正確命題的序號(hào)) 【答案】?、? 5. 直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝B

13、C＝BB1＝1，AB1＝. (1) 求證：平面AB1C⊥平面B1CB； (2) 求三棱錐A1—AB1C的體積． 解：(1) 證明：直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥底面ABC， 則BB1⊥AB，BB1⊥BC. 又由于AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝，則AB＝， 則由AC2＋BC2＝AB2，可知AC⊥BC. 又由BB1⊥底面ABC，可知BB1⊥AC，則AC⊥平面B1CB，所以平面AB1C⊥平面B1CB. (2) 解：三棱錐A1—AB1C的體積VA1—AB1C＝VB1—A1AC＝××1＝. (注：還有其他轉(zhuǎn)換方法) 6. 已知等腰梯形PDCB中(如圖1)，PB＝3，D

14、C＝1，PD＝BC＝，A為PB邊上一點(diǎn)，且PA＝1，將△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD(如圖2)． (1) 證明：平面PAD⊥平面PCD； (2) 試在棱PB上確定一點(diǎn)M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分VPDCMA∶VMACB＝2∶1； (3) 在點(diǎn)M滿足(2)的情況下，判斷直線PD是否平行面AMC. 圖1 　　　圖2 解：(1) 證明：依題意知CD⊥AD，又∵ 面PAD⊥面ABCD， ∴ DC⊥平面PAD.又DC面PCD，∴ 平面PAD⊥平面PCD. (2) 解：由(1)知PA⊥平面ABCD，∴ 平面PAB⊥平面ABCD. 在PB上取一點(diǎn)M，作MN

15、⊥AB，垂足為N，則 MN⊥平面ABCD，設(shè)MN＝h， 則VM—ABC＝S△ABC·h＝××2×1×h＝， VP—ABC＝S△ABC·PA＝××1×1＝， 要使VPDCMA∶VMACB＝2∶1，即∶＝2∶1，解得h＝， 即M為PB的中點(diǎn)． (3) 連結(jié)BD交AC于O.因?yàn)锳B∥CD，AB＝2，CD＝1，由相似三角形易得BO＝2OD.∴ O不是BD的中心． 又∵ M為PB的中點(diǎn)，∴ 在△PBD中，OM與PD不平行 ∴ OM所在直線與PD所在直線相交． 又OM平面AMC，∴ 直線PD與平面AMC不平行． 基礎(chǔ)訓(xùn)練 1. 相交或異面　2. ②③　3. ②③④　4. 充分必要

16、 例題選講 例1　證明：(1) ∵ M，O分別是PB、AB的中點(diǎn)， ∴ MO∥PA， 又∵ MO平面PAC，PA平面PAC， ∴ MO∥平面PAC. (2) ∵ 直線PA垂直于圓O所在的平面， ∴ PA⊥BC ∵ C是圓周上一點(diǎn)，AB是直徑，∴ BC⊥AC. 又PA∩AC＝A，∴ BC⊥平面PAC. ∵ BC平面PBC，∴ 平面PBC⊥平面PAC. 變式訓(xùn)練　如圖，四棱錐P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°. (1) 求證：PC⊥BC； (2) 求點(diǎn)A到平面PBC的距離． (1) 證明：因?yàn)镻D⊥平

17、面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC. 由∠BCD＝90°，得BC⊥DC. 又PD∩DC＝D，PD平面PCD， DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD， 因?yàn)镻C平面PCD，故PC⊥BC. (2) 解：如圖，連結(jié)AC. 設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h，因?yàn)锳B∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°， 從而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面積S△ABC＝1. 由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱錐P—ABC的體積V＝S△ABC·PD＝， 因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC. 又PD＝DC＝1，所以PC＝＝. 由PC⊥BC，B

18、C＝1，得S△PBC＝. 由V＝S△PBCh＝··h＝，∴ h＝. 故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于. 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力． 例2　解：(1) 連結(jié)PQ，則PQ⊥AD， 由題意易得PQ＝，SABCD＝. ∵ 平面PAD⊥平面ABCD且交線為AD，PQ⊥AD，PQ平面PAD， ∴ PQ⊥平面ABCD， ∴ VP—ABCD＝PQ·SABCD＝. (2) 存在，R為BC的中點(diǎn)． 取R為BC中點(diǎn)，連結(jié)MR，DR，DM，則BQ∥DR. ∵ BQ∥DR，BQ平面DMR，DR平面DMR，∴

19、BQ∥平面DMR. 因此，R為BC中點(diǎn)，當(dāng)t∈(0,1)時(shí)，總有BQ∥平面MDR，反之也成立． 變式訓(xùn)練　如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3a，BC＝2a，D是BC的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是C1C上一點(diǎn)，且CF＝2a. (1) 求證：C1E∥平面ADF； (2) 試在BB1上找一點(diǎn)G，使得CG⊥平面ADF； (3) 求三棱錐D—AB1F的體積． (1) 證明：∵ AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，又E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)CE交AD于O，連結(jié)FO，易知＝＝，故FO∥C1E. 又FO平面AFD，C1E平面AFD， 故C1E∥平面AFD. (2) 解

20、：在平面C1CBB1內(nèi)，過C作CG⊥DF，交B1B于G. 在Rt△FCD和Rt△CBG中， FC＝CB，∠CFD＝∠BCG， 故Rt△FCD≌Rt△CBG. 而AD⊥BC，CC1⊥AD且CC1∩CB＝C， 故AD⊥平面C1CBB1. 而CG平面C1CBB1，故AD⊥CG. 又CG⊥DF，AD∩FD＝D， 故CG⊥平面ADF，此時(shí)BG＝CD＝a. (3) 解：∵ AD⊥平面BCC1B1， ∴ VD—AB1F＝VA—B1DF＝·S△B1DF·AD ＝×B1F·FD·AD＝. 例3　解：(1) 如圖，在DD1上取點(diǎn)N，使DN＝1，連結(jié)EN，CN， 則AE＝DN＝1，C

21、F＝ND1＝2. 因?yàn)锳E∥DN，ND1∥CF，所以四邊形ADNE，CFD1N都為平行四邊形． 從而ENAD，F(xiàn)D1∥CN. 又因?yàn)锳DBC，所以ENBC，故四邊形BCNE是平行四邊形，由此推知CN∥BE，從而FD1∥BE.因此，E、B、F、D1四點(diǎn)共面． (2) 如圖，GM⊥BF，又BM⊥BC， 所以∠BGM＝∠CFB， BM＝BG·tan∠BGM＝BG·tan∠CFB ＝BG·＝×＝1. 因?yàn)锳EBM，所以ABME為平行四邊形， 從而AB∥EM. 又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1. 例4　(1) 證明：(證法1)取線段AC的中點(diǎn)M，連結(jié)MF、MB.

22、 因?yàn)镕為AD的中點(diǎn)， 所以MF∥CD，且MF＝CD. 在折疊前，四邊形ABCD為矩形， E為AB的中點(diǎn)， 所以BE∥CD，且BE＝CD. 所以MF∥BE，且MF＝BE. 所以四邊形BEFM為平行四邊形，故EF∥BM. 又EF平面ABC，BM平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (證法2)延長DE交CB的延長線于點(diǎn)N， 連結(jié)AN. 在折疊前，四邊形ABCD為矩形， E為AB的中點(diǎn)， 所以BE∥CD，且BE＝CD. 所以∠NBE＝∠NCD，∠NEB＝∠NDC. 所以△NEB∽△NDC. 所以＝＝，即E為DN的中點(diǎn)． 又F為AD的中點(diǎn)， 所以EF∥

23、NA. 又EF平面ABC，NA平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (證法3)取CD的中點(diǎn)O，連結(jié)OE、OF. 折疊前，四邊形ABCD為矩形， E為AB的中點(diǎn)， 所以BE∥CD，且BE＝CD. 所以BE∥CO，且BE＝CO. 所以四邊形BEOC為平行四邊形． 所以EO∥BC. 又EO平面ABC，BC平面ABC， 所以EO∥平面ABC. 因?yàn)镕、O分別為AD、CD的中點(diǎn)，所以FO∥AC. 又FO平面ABC，AC平面ABC， 所以FO∥平面ABC. 又FO、EO平面FEO，F(xiàn)O∩EO＝O， 所以平面FEO∥平面ABC. 因?yàn)镋F平面EOF，所以

24、EF∥平面ABC. (2) 解：(解法1)在折疊前，四邊形ABCD為矩形，AD＝2，AB＝4，E為AB的中點(diǎn)， 所以△ADE、△CBE都是等腰直角三角形，且AD＝AE＝EB＝BC＝2， 所以∠DEA＝∠CEB＝45°，且DE＝EC＝2. 又∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝180°， 所以∠DEC＝90°.CE⊥DE， 又平面ADE⊥平面BCDE， 平面ADE∩平面BCDE＝DE，CE平面BCDE， 所以CE⊥平面ADE，即CE為三棱錐C—EFD的高． 因?yàn)镕為AD的中點(diǎn)， 所以S△EFD＝××AD·AE＝×2×2＝1. 所以四面體FDCE的體積V＝×S△EFD·CE＝×1

25、×2＝. (解法2)過F作FH⊥DE，H為垂足． 因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面BCDE， 平面ADE∩平面BCDE＝DE，F(xiàn)H平面ADE， 所以FH⊥平面BCDE， 即FH為三棱錐F—ECD的高． 在折疊前，四邊形ABCD為矩形， 且AD＝2，AB＝4，E為AB的中點(diǎn)， 所以△ADE是等腰直角三角形． 又F為AD的中點(diǎn)，所以DF＝1. 所以FH＝DF·sin45°＝. 又S△EDC＝×CD·BC＝×4×2＝4， 所以四面體FDCE的體積V＝×S△EDC·FH＝×4×＝. (解法3)過A作AG⊥DE，G為垂足． 因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面BCDE， 平面ADE∩平面BC

26、DE＝DE，AG平面ADE， 所以AG⊥平面BCDE， 即AG為三棱錐A—ECD的高． 在折疊前，四邊形ABCD為矩形， 且AD＝2，AB＝4，E為AB的中點(diǎn)， 所以△ADE是等腰直角三角形． 所以AG＝AD·sin45°＝. 又S△EDC＝×DC·BC＝×4×2＝4， 所以三棱錐A—ECD的體積VA—ECD＝×S△EDC·AG＝×4×＝. 因?yàn)镕為AD的中點(diǎn)，所以S△EFD＝S△EAD. 所以V三棱錐C—EFD＝V三棱錐C—EAD＝VA—ECD＝. 即四面體FDCE的體積為. (說明：在第(2)問中，可以證明AD⊥AC；求點(diǎn)D到平面EFC的距離) 高考回顧 1.

27、 　解析：EF∥AC，EF＝AC，AC＝2，∴ EF＝. 2. ①④ 3. ①② 4. ④ 5. 證明：(1) 因?yàn)镋、F分別是AP、AD的中點(diǎn)， ∴ EF∥PD.又∵ PD面PCD，EF面PCD， ∴ 直線EF∥平面PCD. (2) 連結(jié)BD，∵ AB＝AD，∠BAD＝60°，∴ △ABD為正三角形． 又F是AD的中點(diǎn)，∴ BF⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴ BF⊥面PAD， 又BF面BEF，所以，平面BEF⊥平面PAD. 6. (1) 證明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA， 所以PD⊥平面ABCD，又BC平面ABCD. 所以PD⊥BC. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BC⊥DC， 又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC， 在△PBC中，因?yàn)镚、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，所以GF∥BC. 因此GF⊥平面PDC.又GF平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC. (2) 解：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA＝1， 則PD＝AD＝2， 所以VP—ABCD＝S正方形ABCD·PD＝. 由于DA⊥面MAB，且PD∥MA，所以DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離 三棱錐VP—MAB＝， 所以VP—MAB∶VP—ABCD＝1∶4.