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1、解題步驟,(i) 寫出系數(shù)矩陣并將其化為行最簡形 I ； (ii) 由 I 確定出 nr 個自由未知量(可寫出同解方程組); (iii) 令這 nr 個自由未知量分別為基本單位向量,可得相應(yīng)的 nr 個基礎(chǔ)解系,(iv) 寫出通解,對n元齊次線性方程組，有 若 R(A) = n , 則方程組有惟一零解; 若 R(A) = r < n , 則方程組有無數(shù)多組解，其通解為,題.求,,的基礎(chǔ)解系及通解.,,,,,,為任意常數(shù)）,例,求一個齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系為：,由題意應(yīng)有：,解：設(shè)有方程,對系數(shù)矩陣施行初等行變換，有：,即所求方程組為：,第三節(jié) 非齊次線性方程組,非齊次線性方程組
2、的概念,非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),非齊次線性方程組有解的條件,,記,一、非齊次線性方程組有解的充要條件,則方程組可寫成:,,的系數(shù)陣:,的增廣陣:,,,,問題是：非齊次線性方程組何時是有解的？如果有 解時怎樣求出其所有解？,根據(jù)齊次線性方程組的不同表示方法，以及矩陣 與其行向量組、列向量組的關(guān)系，不難得知如下 等價命題：,下面四種提法可互為充要條件:,(1). 方程組有解.,(4). R(A) = R(B) .,證明:,顯然,顯然,(4),,,R(A)=R(B).,,設(shè)秩同為 r,,否則與秩為 r 矛盾!,證畢.,定理二. (非齊次線性方程組有解的判別定理),非齊次線性方程組有解 R
3、(A) = R(B).,例1,解證,對增廣矩陣B進行初等變換，,方程組的增廣矩陣為,由于原方程組等價于方程組,由此得通解：,n元非齊次線性方程組Ax = b解的存在性,方程組無解,方程組有唯一解,方程組有無窮多組解,方程組有解,有解, 叫相容., 可寫成: AX = b ,相應(yīng)的齊次方程組: AX = 0 ,性質(zhì)3.,性質(zhì)4.,定理:,二、非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu),的一個解, 則的任一個解,X總可寫成:,證明:,證畢.,註:,(1). 本定理表明:,,,,1、非齊次方程組的求解步驟,三、非齊次線性方程組的解法,例2. 求解方程組,解:,取同解方程組為:,有無窮多解,同解方程
4、組為,基礎(chǔ) 解系：,例3. 求解方程組,解: 增廣陣:,R(B) = 3.,例5. 求線性方程組,有唯一解、無窮多個解、無解時 所取的值.,解: 對增廣陣施行初等行變換:,此時 R(A) = 3, R(B) = 3.,因此方程組有無窮多個解.,有兩個任意常數(shù)).,故方程組無解.,題1,,方程組有唯一解,,方程組無解,解：,討論當(dāng)t 為何值時，,（1）有唯一解； （2）無解； （3）有無窮多解，求通解.,,,,,方程組有無窮多解,通解為,,題2 問取何值時，方程組,,（1）無解 ；（2） 有唯一解 ；（3） 有無窮多解,解：將增廣矩陣化為階梯形,,,,,討論：1.當(dāng)=6時，R（A）
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