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六年級數(shù)學教案——《分數(shù)的除法》
根據(jù)量、度量單位（基準量）與量數(shù)的基本關系：
量＝度量單位（基準量）量數(shù)。
我們已經(jīng)知道：當 a、b 是自然數(shù)，且 b0 時，除法算式 ab
表示兩種意義：
⑴由量基準量（度量單位）＝量數(shù)，可知： ab 可以表示 a 是
b 的幾倍或幾分之幾。這時 a 與 b 表示兩個量。
⑵由量量數(shù)＝基準量（度量單位） ，可知： ab 可以表示什么
數(shù)的 b 倍等于 a，或者把 a 平均分成 b 份，每份是多少。這
時 a 表示一個量， b 表示量數(shù)（用所求的量去度
2、量 a 所得的
結(jié)果）。
從實際問題抽象出來的除法算式 ab，究竟表示上述兩種意義
中的哪一種，必須結(jié)合具體情景才能來確定。
當 a、b 為分數(shù)時，除法算式 ab 仍然具有上述兩種意義，但必須探索它的算法。分數(shù)除法的算法分兩種情形來探索：一是除數(shù)是整數(shù)的情形；二是除數(shù)是分數(shù)的情形。
一、除數(shù)是整數(shù)的分數(shù)除法
下圖（圖 1）是一個長方形，把它的涂色部分平均分成 2 份，每份是這個長方形的幾分之幾？
圖 1
我們可以從前面的分數(shù)墻上直接看出這個結(jié)果。
但是，我們還需要探索，從算式 2 怎么算出結(jié)果呢？
3、
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算法 1： 2＝＝。
一個分數(shù)的分子縮小到原來的一半，分母不變，所得的分數(shù)
就是原來的一半。
算法 2：因為的一半等于的，所以，
2＝＝。
比較上面兩種算法，算法 1 有局限性，它轉(zhuǎn)化為兩個整數(shù)的
除法運算，可是在整數(shù)范圍除法并非總能實施，暢通無阻。
如果圖 1 中的涂色部分平均分成 3 份，每份是這個長方形的
幾分之幾？
算式： 3＝？
上面的算法 1 就行不通了，算法 2 行得通。
因為 3＝的，所以，
3＝＝。圖 2
4、
圖 2 中的斜線部分是長方形的，也驗證了上面的算法是正確的。
從以上的探索結(jié)果，可以產(chǎn)生一個猜想：除以一個整數(shù)（零除外）等于乘這個整數(shù)的倒數(shù)。
這個猜想是否成立？有待檢驗。
理解分數(shù)除法的意義，還有另一條重要途徑。
在探索分數(shù)乘法意義的時候，我們得到一個重要的數(shù)量關系：
量＝度量單位量數(shù)
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從這個基本關系可以引伸出兩個變式：
量量數(shù)＝度量單位，
或量度量單位＝量數(shù)。
因此，對于除法算式 3＝？的意義，可以作這樣解釋：用什
么數(shù)為度量單位去度量時，量數(shù)
5、是 3？于是便有下面的代數(shù)解法：
設 3＝ x，
可得， 3x＝，
x＝，
x＝。
即 3＝。
在圖 2 中，用斜線部分（即）為度量單位去度量涂色部分 （即）時，量數(shù)的確是 3。這里，我們又看到了，代數(shù)的方法與圖形的直觀相互印證，和諧統(tǒng)一。
代數(shù)在解法的過程中，注意到 3＝ x 和 x＝，
得 3＝。
這也驗證了一個數(shù)學事實：除以一個自然數(shù)（零除外）等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。
二、除數(shù)是分數(shù)的除法
這個探索其實不必再從具體情景或?qū)嶋H操作入手。
因為前面在探索除數(shù)是整數(shù)的分數(shù)除法的時
6、候，已經(jīng)獲得了重要的數(shù)學事實：除以一個自然數(shù)（零除外）等于乘這個數(shù)
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的倒數(shù)。因此，可以類比，得到猜想：除以一個分數(shù)是否等
于乘這個分數(shù)的倒數(shù)呢？
驗證這個猜想，除了教材提供的方法外，還有其他途徑。
途徑 1：用代數(shù)方法檢驗。
計算： 8＝？
設 8＝ x，
可得， x＝ 8，
x＝ 8，
x＝ 12。
注意到 8＝ x 和 x＝ 8，即 8＝ 8。
途徑 2：從已知到未知的推理。
8＝ 8（ 1）
＝ 8 根據(jù)倒數(shù)關系：＝ 1
＝ 12。
因此，無論除數(shù)是整數(shù)還是分數(shù)，分數(shù)除法只有如下法則：
除以一個數(shù)（零除外）等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。
這個法則也告訴我們，倒數(shù)概念的重要性：有了倒數(shù)，乘法和除法兩種不同的運算可以統(tǒng)一為乘法運算。
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六年級數(shù)學教案《分數(shù)的除法》
