2003年陜西高考文科數學真題及答案

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1、 2003年陜西高考文科數學真題及答案 一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分） 1．（5分）直線y＝2x關于x軸對稱的直線方程為（　?。? A．y=?12x B．y=12x C．y＝﹣2x D．y＝2x 2．（5分）已知x∈（?π2，0），cosx=45，則tan2x等于（　?。? A．724 B．?724 C．247 D．?247 3．（5分）拋物線y＝ax2的準線方程是y＝2，則a的值為（　　） A．18 B．?18 C．8 D．﹣8 4．（5分）等差數列{an}中，已知a1=13，a2+a5＝4，an＝33，則n為（　?。? A．48 B．49 C．50 D．51

2、 5．（5分）雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為F1、F2，∠F1MF2＝120，則雙曲線的離心率為（　?。? A．3 B．62 C．63 D．33 6．（5分）設函數f(x)=2?x?1x≤0x12x＞0若f（x0）＞1，則x0的取值范圍是（　?。? A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 7．（5分）已知f（x5）＝lgx，則f（2）＝（　　） A．lg2 B．lg32 C．lg132 D．15lg2 8．（5分）函數y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函數，則φ＝（　?。? A．0 B．π4 C．π

3、2 D．π 9．（5分）已知點（a，2）（a＞0）到直線l：x﹣y+3＝0的距離為1，則a＝（　?。? A．2 B．2?2 C．2?1 D．2+1 10．（5分）已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，它的內接圓柱的底面半徑為34R，該圓柱的全面積為（　?。? A．2πR2 B．94πR2 C．83πR2 D．52πR2 11．（5分）已知長方形的四個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4與P0重合，則tgθ＝（　?。? A．13 B

4、．25 C．12 D．1 12．（5分）棱長都為2的四面體的四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（　?。? A．3π B．4π C．33π D．6π 二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分） 13．（4分）不等式4x?x2＜x的解集是　 ?。? 14．（4分）在(x?12x)9的展開式中，x3的系數是　 ?。ㄓ脭底肿鞔穑? 15．（4分）在平面幾何里，有勾股定理“設△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2＝BC2”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出正確的結論是：“設三棱錐A﹣BCD的三個側面ABC、ACD、AD

5、B兩兩互相垂直，則　 ?。? 16．（4分）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有　 　種．（以數字作答） 三、解答題（共6小題，滿分74分） 17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，點E為CC1中點，點F為BD1中點． （1）證明EF為BD1與CC1的公垂線； （2）求點D1到面BDE的距離． 18．（12分）已知復數z的輻角為60，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中項．求|z|． 19．（12分）已知數列{an}滿足a1＝1，an＝3

6、n﹣1+an﹣1（n≥2）． （Ⅰ）求a2，a3； （Ⅱ）證明an=3n?12． 20．（12分）已知函數f（x）＝2sinx（sinx+cosx）． （1）求函數f（x）的最小正周期和最大值； （2）在給出的直角坐標系中，畫出函數y＝f（x）在區(qū)間[?π2，π2]上的圖象． 21．（12分）在某海濱城市附近海面有一臺風，據監(jiān)測，當前臺風中心位于城市O（如圖）的東偏南θ(cosθ=210)方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45方向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？

7、22．（14分）已知常數a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動，且BEBC=CFCD=DGDA，P為GE與OF的交點（如圖），問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由．  2003年全國統一高考數學試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分） 1．（5分）直線y＝2x關于x軸對稱的直線方程為（　　） A．y=?12x B．y=12x C．y＝﹣2x D．y＝2x 【解答】解：∵直線y＝f（x）關于x對稱的直線

8、方程為y＝﹣f（x）， ∴直線y＝2x關于x對稱的直線方程為： y＝﹣2x． 故選：C． 2．（5分）已知x∈（?π2，0），cosx=45，則tan2x等于（　?。? A．724 B．?724 C．247 D．?247 【解答】解：∵cosx=45，x∈（?π2，0）， ∴sinx=?35．∴tanx=?34． ∴tan2x=2tanx1?tan2x=?321?916=?32167=?247． 故選：D． 3．（5分）拋物線y＝ax2的準線方程是y＝2，則a的值為（　?。? A．18 B．?18 C．8 D．﹣8 【解答】解：拋物線y＝ax2的標準方程是x2=1ay，

9、則其準線方程為y=?14a=2， 所以a=?18． 故選：B． 4．（5分）等差數列{an}中，已知a1=13，a2+a5＝4，an＝33，則n為（　?。? A．48 B．49 C．50 D．51 【解答】解：設{an}的公差為d， ∵a1=13，a2+a5＝4， ∴13+d+13+4d＝4，即23+5d＝4， 解得d=23． ∴an=13+23（n﹣1）=23n?13， 令an＝33， 即23n?13=33， 解得n＝50． 故選：C． 5．（5分）雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為F1、F2，∠F1MF2＝120，則雙曲線的離心率為（　?。? A．3 B．62

10、C．63 D．33 【解答】解：根據雙曲線對稱性可知∠OMF2＝60， ∴tan∠OMF2=OF2OM=cb=3，即c=3b， ∴a=c2?b2=2b， ∴e=ca=62． 故選：B． 6．（5分）設函數f(x)=2?x?1x≤0x12x＞0若f（x0）＞1，則x0的取值范圍是（　?。? A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【解答】解：當x0≤0時，2?x0?1＞1，則x0＜﹣1， 當x0＞0時，x012＞1則x0＞1， 故x0的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）， 故選：D． 7．（5分）已知

11、f（x5）＝lgx，則f（2）＝（　　） A．lg2 B．lg32 C．lg132 D．15lg2 【解答】解：令x5＝2， ∴得x=215， ∵f（x5）＝lgx， ∴f（2）＝lg215=15lg2． 故選：D． 8．（5分）函數y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函數，則φ＝（　?。? A．0 B．π4 C．π2 D．π 【解答】解：當φ＝0時，y＝sin（x+φ）＝sinx為奇函數不滿足題意，排除A； 當φ=π4時，y＝sin（x+φ）＝sin（x+π4）為非奇非偶函數，排除B； 當φ=π2時，y＝sin（x+φ）＝cosx，為偶函數，滿足條件． 當φ＝π

12、時，y＝sin（x+φ）＝﹣sinx，為奇函數， 故選：C． 9．（5分）已知點（a，2）（a＞0）到直線l：x﹣y+3＝0的距離為1，則a＝（　　） A．2 B．2?2 C．2?1 D．2+1 【解答】解：由點到直線的距離公式得：1=|a?2+3|1+1=2=|a+1|， ∵a＞0， ∴a=2?1． 故選：C． 10．（5分）已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，它的內接圓柱的底面半徑為34R，該圓柱的全面積為（　?。? A．2πR2 B．94πR2 C．83πR2 D．52πR2 【解答】解：設圓錐內接圓柱的高為h，則3R4R=3R??3R，解得?=34R， 所以圓柱的全面

13、積為：s＝2(34R)2π+(32R)π34R=94πR2． 故選：B． 11．（5分）已知長方形的四個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4與P0重合，則tgθ＝（　?。? A．13 B．25 C．12 D．1 【解答】解：由于若P4與P0重合， 故P2、P3也都是所在邊的中點， 因為ABCD是長方形， 根據對稱性可知P0P1的斜率是12， 則tgθ=12． 故選：C． 12．（5分）棱長都為2的四面體的四個頂點在

14、同一球面上，則此球的表面積為（　?。? A．3π B．4π C．33π D．6π 【解答】解：借助立體幾何的兩個熟知的結論： （1）一個正方體可以內接一個正四面體； （2）若正方體的頂點都在一個球面上，則正方體的體對角線就是球的直徑． 則球的半徑R=32， ∴球的表面積為3π， 故選：A． 二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分） 13．（4分）不等式4x?x2＜x的解集是?。?，4]?。? 【解答】解：∵x＞4x?x2≥0， ∴x＞0， ∵不等式4x?x2＜x，兩邊平方得， 4x﹣x2＜x2， ∴2x2﹣4x＞0， 解得，x＞2，x＜0（舍去）， ∵4x﹣x

15、2≥0， ∴0≤x≤4， ∴綜上得：不等式的解集為：（2，4]， 故答案為（2，4]． 14．（4分）在(x?12x)9的展開式中，x3的系數是　?212?。ㄓ脭底肿鞔穑? 【解答】解：根據題意，對于(x?12x)9， 有Tr+1＝C99﹣r?x9﹣r?（?12x）r＝（?12）r?C99﹣r?x9﹣2r， 令9﹣2r＝3，可得r＝3， 當r＝3時，有T4=?212x3， 故答案?212． 15．（4分）在平面幾何里，有勾股定理“設△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2＝BC2”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出

16、正確的結論是：“設三棱錐A﹣BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則　S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2?。? 【解答】解：建立從平面圖形到空間圖形的類比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2． 故答案為：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2． 16．（4分）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有　72　種．（以數字作答） 【解答】解：由題意，選用3種顏色時：涂色方法C43?A33＝24種 4色全用時涂色方法：C2

17、1?A44＝48種 所以不同的著色方法共有72種． 故答案為：72 三、解答題（共6小題，滿分74分） 17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，點E為CC1中點，點F為BD1中點． （1）證明EF為BD1與CC1的公垂線； （2）求點D1到面BDE的距離． 【解答】解：（1）取BD中點M． 連接MC，FM． ∵F為BD1中點， ∴FM∥D1D且FM=12D1D． 又EC12CC1且EC⊥MC， ∴四邊形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1． ∴EF⊥面DBD1． ∵BD1?面DBD1．∴EF⊥BD1． 故E

18、F為BD1與CC1的公垂線． （Ⅱ）解：連接ED1，有VE﹣DBD1＝VD1﹣DBE． 由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1， 設點D1到面BDE的距離為d． 則S△DBE?d=S△DBD1?EF． ∵AA1＝2，AB＝1． ∴BD=BE=ED=2，EF=22， ∴S△DBD1=12?2?2=2．S△DBE=12?32?(2)2=32 ∴d=22232=233 故點D1到平面DBE的距離為233． 18．（12分）已知復數z的輻角為60，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中項．求|z|． 【解答】解：設z＝（rcos60+rsin60i）， 則復數z的實部為r2．z?z=

19、r，zz=r2 由題設|z﹣1|2＝|z|?|z﹣2|， 即：（z﹣1）（z?1）＝|z|(z?2)(z?2) ∴r2﹣r+1＝rr2?2r+4， 整理得r2+2r﹣1＝0． 解得r=2?1， r=?2?1（舍去）． 即|z|=2?1． 19．（12分）已知數列{an}滿足a1＝1，an＝3n﹣1+an﹣1（n≥2）． （Ⅰ）求a2，a3； （Ⅱ）證明an=3n?12． 【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1， ∴a2＝3+1＝4， ∴a3＝32+4＝13； （Ⅱ）證明：由已知an﹣an﹣1＝3n﹣1，n≥2 故an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a

20、2﹣a1）+a1 =3n?1+3n?2+?+3+1=3n?12．n≥2 當n＝1時，也滿足上式． 所以an=3n?12． 20．（12分）已知函數f（x）＝2sinx（sinx+cosx）． （1）求函數f（x）的最小正周期和最大值； （2）在給出的直角坐標系中，畫出函數y＝f（x）在區(qū)間[?π2，π2]上的圖象． 【解答】解：（1）f（x）＝2sin2x+2sinxcosx＝1﹣cos2x+sin2x =1+2(sin2xcosπ4?cos2xsinπ4) =1+2sin(2x?π4) 所以函數的最小正周期為π，最大值為1+2； （2）由（1）列表得： x

21、 ?3π8 ?π8 π8 3π8 5π8 y 1 1?2 1 1+2 1 故函數y＝f（x）在區(qū)間[?π2，π2]上的圖象是： 21．（12分）在某海濱城市附近海面有一臺風，據監(jiān)測，當前臺風中心位于城市O（如圖）的東偏南θ(cosθ=210)方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45方向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？ 【解答】解：如圖建立坐標系：以O為原點，正東方向為x軸正向． 在時刻：t（h）臺風中心P（x，y）的坐標為 x=300210?

22、2022ty=?3007210+2022t. 令（x′，y′）是臺風邊緣線上一點，則此時臺風侵襲的區(qū)域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2， 其中r（t）＝10t+60， 若在t時，該城市受到臺風的侵襲， 則有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2， 即(300210?2022t)2+(?3007210+2022t)2≤(10t+60)2， 即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24． 答：12小時后該城市開始受到臺風侵襲． 22．（14分）已知常數a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O為AB的中點，點E、F、G分別在BC、CD、DA上移動

23、，且BEBC=CFCD=DGDA，P為GE與OF的交點（如圖），問是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由． 【解答】解：根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程， 據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到定點距離的和為定值． 按題意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a） 設BEBC=CFCD=DGDA=k（0≤k≤1）， 由此有E（2，4ak），F（2﹣4k，4a），G（﹣2，4a﹣4ak）． 直線OF的方程為：2ax+（2k﹣1）y＝0，① 直線GE的方程為：﹣a（2k﹣1）x+y﹣2a＝

24、0． ② 從①，②消去參數k， 得點P（x，y）坐標滿足方程2a2x2+y2﹣2ay＝0， 整理得x212+(y?a)2a2=1． 當a2=12時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點； 當a2≠12時，點P軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長； 當a2＜12時，點P到橢圓兩個焦點(?12?a2，a)，(12?a2，a)的距離之和為定值2； 當a2＞12時，點P到橢圓兩個焦點(0，a?a2?12)，(0，a+a2?12)的距離之和為定值2a． 聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布 日期：2019/8/13 16:20:20；用戶：黃熠；郵箱：huangyi12388@；學號：716378