精校版數(shù)學人教A版選修45優(yōu)化練習：第四講 達標檢測 Word版含解析

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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料 達標檢測　 時間：120分鐘　滿分：150分 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．用數(shù)學歸納法證明“對任意x＞0和正整數(shù)n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”時，需要驗證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應為(　　) A．n0＝1　　　　　　　　 B．n0＝2 C．n0＝1,2 D．以上答案均不正確 解析：當n0＝1時，x＋≥2成立，故選A. 答案：A 2．從一樓到二樓的樓梯共有n級臺階，每步只能跨上1級或2級，走完這n級臺階共有f(n)種走法，則下

2、面的猜想正確的是(　　) A．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3) B．f(n)＝2f(n－1)(n≥2) C．f(n)＝2f(n－1)－1(n≥2) D． f(n)＝f(n－1) f(n－2)(n≥3) 解析：分別取n＝1,2,3,4驗證，得f(n)＝ 答案：A 3．設凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n＋1邊形的對角形的條數(shù)f(n＋1)為(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 解析：凸n＋1邊形的對角線的條數(shù)等于凸n邊形的對角線的條數(shù)，加上多的那個點向其他點引的對角線的條數(shù)(n－2)條，再加上原來有一邊成

3、為對角線，共有f(n)＋n－1條對角線，故選C. 答案：C 4．用數(shù)學歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，n∈N＋能被9整除”，利用歸納假設證n＝k＋1，只需展開(　　) A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3 解析：n＝k時，式子為k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3， n＝k＋1時，式子為(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3， 故只需展開(k＋3)3. 答案：A 5．下列說法中正確的是(　　) A．若一個命題當n＝1,2時為真，則此命題為真命題 B．若一個命題當n＝k時成立且推得n＝k＋1時也成立，則這個命題

4、為真命題 C．若一個命題當n＝1,2時為真，則當n＝3時這個命題也為真 D．若一個命題當n＝1時為真，n＝k時為真能推得n＝k＋1時亦為真，則此命題為真命題 解析：由完全歸納法可知，只有當n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k＋1時也成立時，才可以證明結(jié)論正確，二者缺一不可．A，B，C項均不全面． 答案：D 6．平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點個數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點個數(shù)最多為(　　) A．f(k)＋1 B．f(k)＋k C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k) 解析：第k＋1條直線與前k條直線都相交且有不同交點時，交點個數(shù)最多，此時應比原

5、先增加k個交點． 答案：B 7．用數(shù)學歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被8整除時，若n＝k時，命題成立，欲證當n＝k＋1時命題成立，對于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可變形為(　　) A．56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B．34×34k＋1＋52×52k C．34k＋1＋52k＋1 D．25(34k＋1＋52k＋1) 解析：由34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋1＋25×52k＋1＋25×34k＋1－25×34k＋1 ＝56×34k＋1＋25

6、(34k＋1＋52k＋1)． 答案：A 8．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1通過計算a2，a3，a4，猜想an等于(　　) A. B． C. D． 解析：由a2＝S2－S1＝4a2－1得a2＝＝ 由a3＝S3－S2＝9a3－4a2得a3＝a2＝＝. 由a4＝S4－S3＝16a4－9a3得a4＝a3＝＝，猜想an＝. 答案：B 9．用數(shù)學歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)時，從k到k＋1，左邊需要增加的代數(shù)式為(　　) A．2k＋1 B．2(

7、2k＋1) C. D． 解析：當n＝k時左邊的最后一項是2k，n＝k＋1時左邊的最后一項是2k＋2， 而左邊各項都是連續(xù)的，所以n＝k＋1時比n＝k時左邊少了(k＋1)，而多了 (2k＋1)·(2k＋2)．因此增加的代數(shù)式是＝2(2k＋1)． 答案：B 10．把正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排序，則從2 018到2 020的箭頭方向依次為(　　) A．↓→ B．→↓ C．↑→ D．→↑ 解析：由2 018＝4×504＋2，而an＝4n是每一個下邊不封閉的正方形左上頂點的數(shù)，故應選D. 答案：D 11．用數(shù)學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k

8、＋1時左端應 在n＝k的基礎上加上(　　) A．k2 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 解析：∵當n＝k時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2， 當n＝k＋1時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2. 故當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故應選D. 答案：D 12．若k棱柱有f(k)個對角面，則k＋1棱柱的對角面的個數(shù)為(　　) A．2f(k) B．f(k)＋k－1 C．f(k)＋k D．f(k)＋2 解析：如圖所示是k＋1棱柱的一個橫截面，顯

9、然從k棱柱到k＋1棱柱，增加了從Ak＋1發(fā)出的對角線k－2條，即相應對角面k－2個，以及A1Ak棱變?yōu)閷蔷€(變?yōu)橄鄳膶敲?．故 f(k＋1)＝f(k)＋(k－2)＋1＝f(k)＋k－1. 答案：B 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上) 13．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明1－＋－＋…＋＝2時，若已假設n＝k(k≥2為偶數(shù))時命題為真，則還需要用歸納假設再證n＝________時等式成立． 解析：∵n＝k為偶數(shù)，∴下一個偶數(shù)為n＝k＋2. 答案：k＋2 14．在數(shù)列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列，則S2，S

10、3，S4分別為________，猜想Sn＝________. 解析：S1＝1,2Sn＋1＝Sn＋2S1. 當n＝1時，2S2＝S1＋2＝3，S2＝； 當n＝2時，2S3＝S2＋2，S3＝； 當n＝3時，2S4＝S3＋2，S4＝. 猜想Sn＝. 答案：、、　 15．設f(n)＝…，用數(shù)學歸納法證明f(n)≥3.在“假設n＝k時成立”后，f(k＋1)與f(k)的關系是f(k＋1)＝f(k)·________. 解析：當n＝k時， f(k)＝…； 當n＝k＋1時，f(k＋1) ＝…， 所以應乘·. 答案：· 16. 有以下四個命題： (1)

11、2n>2n＋1(n≥3)． (2)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋2(n≥1)． (3)凸n邊形內(nèi)角和為f(n)＝(n－1)π(n≥3)． (4)凸n邊形對角線條數(shù)f(n)＝(n≥4)． 其中滿足“假設n＝k(k∈N＋，k≥n0)時命題成立，則當n＝k＋1時命題也成立．”但不滿足“當n＝n0(n0是題中給定的n的初始值)時命題成立”的命題序號是________． 解析：當n取第一個值時經(jīng)驗證(2)，(3)，(4)均不成立，(1)不符合題意，對于(4)假設n＝k(k∈N＋，k≥n0)時命題成立，則當n＝k＋1時命題不成立．所以(2)(3)正確． 答案：(2)(3) 三、解答題

12、(本大題共有6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(12分)用數(shù)學歸納法證明對于整數(shù)n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除． 證明：(1)當n＝0時，A0＝112＋12＝133能被133整除． (2)假設n＝k時，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除． 當n＝k＋1時， Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1 ＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1. ＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·

13、;122k＋1. ∴n＝k＋1時，命題也成立． 根據(jù)(1)(2)，對于任意整數(shù)n≥0，命題都成立． 18．(12分)設{xn}是由x1＝2，xn＋1＝＋(n∈N＋)定義的數(shù)列，求證：xn<＋. 證明：(1)當n＝1時，x1＝2<＋1，不等式成立． (2)假設當n＝k(k≥1)時，不等式成立，即xk<＋，那么，當n＝k＋1時，xk＋1＝＋. 由歸納假設，xk<＋，則<＋， >.∵xk>，∴<. ∴xk＋1＝＋<＋＋＝＋≤＋. 即xk＋1<＋. ∴當n＝k＋1時，不等式xn<＋成立． 綜上，得xn<＋(n

14、∈N＋)． 19．(12分)證明：tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝ －n(n≥2，n∈N＋)． 證明：(1)當n＝2時，左邊＝tan α·tan 2α， 右邊＝－2＝·－2 ＝－2 ＝＝＝tan α·tan 2α＝左邊，等式成立． (2)假設當n＝k(k≥2，k∈N＋)時等式成立，即 tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝－k. 當n＝k＋1時， tan α·ta

15、n 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α ＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α ＝－k ＝[1＋tan(k＋1)α·tan α]－k ＝[tan(k＋1)α－tan α]－k ＝－(k＋1)， 所以當n＝k＋1時，等式也成立． 由(1)和(2)知，當n≥2，n∈N＋時等式恒成立． 20．(12分)數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N＋)． (1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an； (2)用數(shù)學歸納法證明(1)中的猜想． 解析：(1

16、)當n＝1時，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1. 當n＝2時，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝. 當n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝. 當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4， ∴a4＝. 由此猜想an＝(n∈N＋)． (2)證明：當n＝1時，a1＝1，結(jié)論成立． 假設n＝k(k≥1且k∈N*)時，結(jié)論成立，即ak＝， 那么n＝k＋1(k≥1且k∈N＋)時， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1. ∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝. 這表明n＝

17、k＋1時，結(jié)論成立， 所以an＝(n∈N＋)． 21．(13分)在平面內(nèi)有n條直線，每兩條直線都相交，任何三條直線不共點，求證：這n條直線分平面為個部分． 證明：(1)當n＝1時，一條直線把平面分成兩部分，而f(1)＝＝2，所以命題成立． (2)假設當n＝k(k≥1)時命題成立，即k條直線把平面分成f(k)＝個部分． 則當n＝k＋1時，即增加一條直線l，因為任何兩條直線都相交，所以l與k條直線都相交，有k個交點；又因為任何三條直線不共點，所以這k個交點不同于k條直線的交點，且k個交點也互不相同，如此k個交點把直線l分成k＋1段，每一段把它所在的平面區(qū)域分為兩部分，故新增加了k＋1個平

18、面部分． 所以f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＝＋k＋1＝＝. 所以當n＝k＋1時命題也成立． 由(1)(2)可知當n∈N＋時，命題成立， 即平面上通過同一點的n條直線分平面為個部分． 22．(13分)設x1>0，x1≠1，且xn＋1＝，n∈N＋.用數(shù)學歸納法證明：如果0<x1<1，則xn<xn＋1. 證明：用數(shù)學歸納法證明： 如果0<x1<1，則0<xn<1. (1)n＝1時，x2＝， 因為0<x1<1，所以(x1－1)3<0. 則有x＋3x1<3x＋1， 故x2＝＝<1. 故n＝1時命題成立． (2)當n＝k(k≥1)時命題成立， 即0<xk<1，(xk－1)3<0. 也有x＋3xk<3x＋1，即<1. 故xk＋1＝＝<1. 且xk＋1>0. 由(1)、(2)知n∈N＋時命題都成立． xn－xn＋1＝xn－ ＝ ＝<0，于是xn<xn＋1. 最新精品資料