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專題03 數形結合解決函數問題
一、基礎過關題
1.(2018全國卷II） 函數的圖像大致為
A. A B. B C. C D. D
【答案】B
點睛：有關函數圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．
2.（2018高考浙江卷）已知，函數，當時，不等式的解集是______若函數恰有2個零點，則的取值范圍是______．
【答案】；
【解析】：當時函數，顯然時，不等式的解集：；時，不等式化為：，解得，綜上，不等式的解集為：．
函數恰有2個零點，
函數的草圖如圖：
函數恰有2個零點，則．
故答案為：；．
利用分段函數轉化求解不等式的解集即可；利用函數的圖象，通過函數的零點得到不等式求解即可．
本題考查函數與方程的應用，考查數形結合以及函數的零點個數的判斷，考查發(fā)現問題解決問題的能力．
3．設函數y＝f(x＋1)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數，在區(qū)間(－∞，0)上是減函數，且圖象過點(1,0)，則不等式(x－1)f(x)≤0的解集為__________________________．
【答案】 {x|x≤0或1
0
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
【答案】 D
6．對于函數f(x)＝lg(|x－2|＋1)，給出如下三個命題：
①f(x＋2)是偶函數；②f(x)在區(qū)間(－∞，2)上是減函數，在區(qū)間(2，＋∞)上是增函數；③f(x)沒有最小值．其中正確的個數為( )
A．1 B．2 C． 3 D．0
【答案】 B
【解析】 因為函數f(x)＝lg(|x－2|＋1)，
所以函數f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函數；
因為y＝lg xy＝lg(x＋1)
y＝lg(|x|＋1)y＝lg(|x－2|＋1)，如圖，
可知f(x)在(－∞，2)上是減函數，
在(2，＋∞)上是增函數；由圖象可知函數存在最小值0.所以①②正確．
7．設f(x)＝|lg(x－1)|，若02(由于a4.
8. 設f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中較小者，則函數f(x)的最大值是________．
【答案】 6
【解析】 在同一坐標系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的圖象
如圖所示，
可觀察出當x＝0時函數f(x)取得最大值6.
9．已知不等式x2－logax<0，當x∈時恒成立，求實數a的取值范圍．
【答案】：實數a的取值范圍是.
10．已知函數f(x)＝e|ln x|，則函數y＝f(x＋1)的大致圖象為( )
【答案】 D
【解析】 當x≥1時，f(x)＝eln x＝x，其圖象為一條直線；
當00.
(1)作出函數f(x)的圖象；
(2)寫出函數f(x)的單調區(qū)間；
(3)當x∈[0,1]時，由圖象寫出f(x)的最小值．
【答案】 (1)如圖所示；
(2) 單調遞增區(qū)間是(－∞，0)和；單調遞減區(qū)間是.；
(3) 當a>2時，f(x)min＝f(1)＝1－a；當0＜a≤2時，最小值f(x)min＝f＝－.
14．已知函數f(x)＝2x，x∈R.
(1)當m取何值時，方程|f(x)－2|＝m有一個解？兩個解？
(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范圍．
【答案】 (1) 當m＝0或m≥2時，原方程有一個解；
當00)，H (t)＝t2＋t，
因為H(t)＝(t＋)2－在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在區(qū)間(0，＋∞)上恒成立，應有m≤0，
即所求m的取值范圍為(－∞，0]．
二、能力提高題
1．函數y＝的圖象與函數y＝2sin πx(－2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】 D
【解析】 如圖，兩個函數圖象都關于點(1,0)成中心對稱，
兩個圖象在[－2,4]上共8個公共點，每兩個對應交點橫坐標之和為2，
故所有交點的橫坐標之和為8.
2．已知函數y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋1)＝f(x－1)，且x∈[－1,1]時，f(x)＝x2，則函數y＝f(x)與y＝log5x的圖象交點的個數為________．
【答案】 4
【解析】 根據f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)＝f(x＋2)，
則函數f(x)是以2為周期的函數，
分別作出函數y＝f(x)與y＝log5x的圖象(如圖)，
可知函數y＝f(x)與y＝log5x圖象的交點個數為4.
3．形如y＝(a>0，b>0)的函數，因其圖象類似于漢字中的“囧”字，故我們把它稱為“囧函數”．
若當a＝1，b＝1時的“囧函數”與函數y＝lg|x|圖象的交點個數為n，則n＝________.
【答案】 4
【解析】 由題意知，當a＝1，b＝1時，y＝＝
在同一坐標系中畫出“囧函數”與函數y＝lg|x|的圖象如圖所示，
易知它們有4個交點．
4.已知函數 g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若對任意的x1，x2∈R，都有f(x1)≤g(x2)成立，
則實數k的取值范圍為________________．
【答案】 (－∞，]∪[，＋∞)
當x＝時，函數f(x)max＝；
因為g(x)＝|x－k|＋|x－1|≥|x－k－(x－1)|＝|k－1|，
所以g(x)min＝|k－1|，
所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.
故實數k的取值范圍是(－∞，]∪[，＋∞)．
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