高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五單元 第五節(jié) 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)Ⅰ課件

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1、第五節(jié) 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求三角函數(shù)的定義域與值域(1)求函數(shù)f(x) 的定義域；(2)求函數(shù)y 的值域1tanlg1cos2xxxxxsin1cossin22分析(1)分式的分母不能為零，平方根的被開方數(shù)大于等于零，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零及底數(shù)大于零且不等于1，正切函數(shù)本身有意義(2)化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)后，配方求其值域解(1)要使函數(shù)有意義，由已知得即 定義域?yàn)?(kZ)(2)1sinx1，y2sinx(1sinx)2 ，4y .故函數(shù)y 的值域?yàn)?., 01cos2,2, 01tan, 01tanlgxZkkxxx0tan21cos21tanxxZkkxx323224,2kxkkxkZ

2、kkxkk2 ,4232 ,2kk221sinx2121xxxsin1cossin2221,4規(guī)律總結(jié)(1)求三角函數(shù)的定義域，實(shí)質(zhì)就是解三角不等式(組)一般可用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線確定三角不等式的解在函數(shù)的化簡(jiǎn)變形中要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化求值域時(shí)要考慮函數(shù)的定義域的影響(2)求三角函數(shù)的值域問題，主要有以下幾種題型及對(duì)應(yīng)解法將yasinxbcosx化為yAsin(x)來求yasin2xbcosxc型可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)sinxcosx與sinxcosx同時(shí)存在時(shí)可換元轉(zhuǎn)化y 型，可用分離常數(shù)法或由|sinx|1，|cosx|1來解決y 型，可用有界性來解決dxcbxaydxcbxacoscos

3、sinsin或dxcbxacossin變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1 1 (1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)求函數(shù)ylog2 的值域xtan3xxsin3sin3【解析】(1)由 tanx0，得tanx ，k xk (kZ)，f(x)的定義域?yàn)?(kZ) (2)sin1,1，又 1， 2，1y1，即ylog2 的值域?yàn)?,133233,2kkxxsin3sin3xxsin3sin3xxsin3sin321xsin36畫三角函數(shù)的圖象畫出函數(shù)f(x) sin 在一個(gè)周期內(nèi)的圖象 242x分析依據(jù)正弦函數(shù)作圖的三個(gè)主要步驟，即列表、描點(diǎn)、連線解(1)列表如下：2x02xf(x)000422388385878

4、922(2)描點(diǎn)、連線：規(guī)律總結(jié)五點(diǎn)法作圖，是三角函數(shù)作圖的主要方法之一函數(shù)ysinx、ycosx的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是固定的其他類型的三角函數(shù)，可以類比上述兩種函數(shù)的作法，找到相應(yīng)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，通過列表、描點(diǎn)、連線，得到函數(shù)的大致圖象變式訓(xùn)練 設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)(0)，yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x .(1)求；(2)畫出函數(shù)yf(x)在區(qū)間0，上的圖象8【解析】(1)x 是函數(shù)yf(x)圖象的對(duì)稱軸，sin 1， k (kZ)0， .(2)根據(jù)ysin ，列表：8824243432xx0y101088385872222描點(diǎn)連線得函數(shù)yf(x)，x0，的圖象，如圖所示三角函數(shù)的周期與最

5、值 設(shè)函數(shù)f(x)asinxbcosx(0)的最小正周期為，并且當(dāng)x 時(shí)，有最大值f 4.求a、b、的值1212分析將三角函數(shù)式進(jìn)行變形，利用周期公式求參數(shù).利用x 時(shí)，取最大值4列方程組，解方程組得a、b.12解由 ，0得2，f(x)asin2xbcos2x.當(dāng)x 時(shí)，f(x)的最大值為4，得即 解得122, 4, 423222baba,16,3822baba, 2.32ab規(guī)律總結(jié)明確三角函數(shù)的周期T與的關(guān)系，是求三角函數(shù)周期或利用周期的關(guān)鍵充分理解正、余弦函數(shù)的有界性，不僅可以求最值，而且可以應(yīng)用最值得方程組，求其他量變式訓(xùn)練3 已知向量a( ，2)，b(sin2x，cos2x)(0)若

6、f(x)ab，且f(x)的最小正周期為，求f(x)的最大值，并求f(x)取得最大值時(shí)x的集合3【解析】f(x)ab sin2x2cos2x sin2x2 sin2xcos2x12sin 1，T ，1，f(x)2sin 1，ymax1，此時(shí)x的集合為 3322cos1x362x2262xZkkxx,3三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和對(duì)稱性 (12分)已知函數(shù)f(x)cos2 ，g(x)1 sin2x.(1)設(shè)xx0是函數(shù)yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸，求g(x0)的值；(2)求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間12x21分析(1)由對(duì)稱軸的性質(zhì)求g(x0)，即求yf(x)的最大和最小值(2)把h(

7、x)f(x)g(x)通過恒等變換化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)的形式，再求單調(diào)區(qū)間解(1)由題設(shè)知f(x) .xx0是函數(shù)yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸，2x0 k(kZ)，即2x0k (kZ)g(x0)1 sin2x01 sin (kZ).2分當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，g(x0)1 sin 1 ；4分當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，g(x0)1 sin 1 .6分62cos121x66212121216k6414364145(2)h(x)f(x)g(x) 1 sin2x sin .9分當(dāng)2k 2x 2k (kZ)，即kxk (kZ)時(shí)，函數(shù)h(x) sin 是增函數(shù)，11分故函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (kZ).12分21212

8、162cos121xxx2sin62cos212323232332x2321251232xxx2sin212cos232112,125kk規(guī)律總結(jié)求函數(shù)yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，可先把相位“x”中的化成正數(shù)，再將化簡(jiǎn)后的“x”視為一個(gè)整體，結(jié)合基本初等函數(shù)ysinx的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法去求解最為方便變式訓(xùn)練4 已知函數(shù)f(x)cos 2sinsin .(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程；(2)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的單調(diào)性32x4x4x212，【解析】(1)f(x)cos 2sin sin cos2x sin2x(sinxcosx)(sinxcosx) c

9、os2x sin2xsin2xcos2x cos2x sin2xcos2xsin ，周期T .由2x k (kZ)，得x (kZ)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x (kZ)(2)x ，2x ，f(x)sin 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減32x4x4x21212123232362x22622k32k3212，6653，62x312，23，1三角函數(shù)圖象的作法(1)利用三角函數(shù)線作圖正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的作法利用正弦線、余弦線分別作出ysinx，ycosx在區(qū)間0,2上的圖象，然后利用誘導(dǎo)公式，將其擴(kuò)展到整個(gè)定義域上，得到正、余弦函數(shù)曲線亦可以先作出正弦函數(shù)曲線，再通過平移得到余弦函數(shù)的圖象

10、正切函數(shù)圖象的作法先利用正切線作出ytanx，x 的圖象，再將該圖象左右平移得到正切函數(shù)曲線22，(2)利用特殊點(diǎn)法正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象：在平面直角坐標(biāo)系中，用光滑的曲線分別連接(0,0)， ，(，0)， ，(2，0)和(0,1)， ，(，1)， ，(2，1)五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即得ysinx，ycosx在區(qū)間0,2上的圖象，然后左右平移可以得到整個(gè)定義域上的圖象正切函數(shù)圖象：利用一點(diǎn)兩線作一個(gè)周期上的正切圖象一點(diǎn)即圖象與x軸的交點(diǎn)，兩條直線即圖象的漸進(jìn)線，畫出草圖，再左右平移得正切曲線1 ,2123，0 ,2023，2三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心ysinx的對(duì)稱軸為xk (kZ)，對(duì)稱中心為(k

11、，0)，kZ；ycosx的對(duì)稱軸為xk(kZ)，對(duì)稱中心為 ，kZ；ytanx的對(duì)稱軸為xk (kZ)，對(duì)稱中心為 ，kZ.220 ,2k0 ,2k3三角函數(shù)的性質(zhì)(1)求三角函數(shù)的定義域本質(zhì)上就是解三角不等式(組)一般可用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線確定三角不等式的解集列三角不等式時(shí)，既要考慮分式的分母不能為零、偶次方根被開方數(shù)大于等于零、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零及底數(shù)大于零且不等于1，又要考慮三角函數(shù)本身的定義域(2)求三角函數(shù)的值域的常用方法：化為求代數(shù)函數(shù)的值域；化為求yAsin(x)B的值域；化為關(guān)于sinx(或cosx)的二次函數(shù)式(3)三角函數(shù)的單調(diào)性求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化

12、為基本三角函數(shù)的形式，要特別注意A、的正負(fù)對(duì)單調(diào)性的影響函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思路是把x看作一個(gè)整體，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解利用單調(diào)性比較大?。豪闷媾夹曰蛑芷谛赞D(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的同名函數(shù)值，在同一單調(diào)區(qū)間利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較(4)求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過恒等變換，把三角函數(shù)式化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，再利用周期公式求解，另外還可以結(jié)合圖像和定義等(5)三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法：首先判定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，再運(yùn)用奇偶性定義進(jìn)行判斷已知sinxsiny ，求sinycos2x的最大

13、值 31錯(cuò)解由已知得siny sinx，故sinycos2xsin2xsinx (1sinx1)令tsinx，故有f(t)t2t (1t1)，配方得f(t) ，當(dāng)t1時(shí)，原式取得最大值 .313232221t121134錯(cuò)解分析上述錯(cuò)解極為普遍，雖然考生注意到了換元前后的等價(jià)性(但有考生易忽視也是解答過程中易錯(cuò)的一個(gè)方面)，但卻忽視了已知等式sinxsiny 中的兩個(gè)變量是相互約束的，即“由于1siny1，故sinx必須滿足1 sinx1”這個(gè)約束條件在遇到上述情況時(shí)，考生一定要特別警惕，注意兩個(gè)變?cè)g的相互約束條件3131正解由已知條件有siny sinx且siny sinx1,1(結(jié)合sinx1,1)，得sinx1，而sinycos2x sinxcos2xsin2xsinx ，令tsinx，則f(t)t2t ，配方得f(t) ， 當(dāng)t ，即sinx 時(shí)，原式取得最大值 .3131313232323232132t221t121194