2020年高中物理 第六章 圓周運動 1 圓周運動學(xué)案 新人教版必修2

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1、1.圓周運動 1.知道什么是勻速圓周運動,知道勻速圓周運動是變速運動。 2.理解線速度、角速度、轉(zhuǎn)速、周期等概念,會對它們進(jìn)行定量計算。 3.理解掌握v=ωr和ω=2πn等公式。 4.熟悉同軸轉(zhuǎn)動和皮帶傳動的特點。 5.理解勻速圓周運動的多解問題。 1.線速度 (1)定義:物體做圓周運動通過的弧長與所用時間之比,v=。 (2)意義:描述做圓周運動的物體運動的快慢。 (3)方向:線速度是矢量,方向為物體做圓周運動時該點的切線方向,與半徑垂直。 (4)勻速圓周運動 ①定義:沿著圓周運動,并且線速度大小處處相等的運動。 ②性質(zhì):線速度的方向是時刻變化的,所以是一種變速

2、運動,“勻速”是指速率不變。 2.角速度 (1)定義:物體做圓周運動轉(zhuǎn)過的角度與所用時間之比,ω=。 (2)意義:描述做圓周運動的物體繞圓心轉(zhuǎn)動的快慢。 (3)單位 ①角的單位:弧度,符號是rad。 ②角速度的單位:弧度每秒,符號是rad/s或s-1。 (4)勻速圓周運動是角速度不變的圓周運動。 3.周期 (1)周期T:做勻速圓周運動的物體,運動一周所用的時間,單位:秒(s)。 (2)轉(zhuǎn)速n:物體轉(zhuǎn)動的圈數(shù)與所用時間之比,單位:轉(zhuǎn)每秒(r/s)或轉(zhuǎn)每分(r/min)。 (3)周期和轉(zhuǎn)速的關(guān)系:T=(n單位是r/s)。 (4)周期和角速度的關(guān)系:T=。 4.線速度與角速

3、度的關(guān)系 (1)在圓周運動中,線速度的大小等于角速度的大小與半徑的乘積。 (2)公式:v=ωr。 判一判 (1)做勻速圓周運動的物體相等時間內(nèi)通過的弧長相等。(  ) (2)做勻速圓周運動的物體相等時間內(nèi)通過的位移相同。(  ) (3)勻速圓周運動是一種勻速運動。(  ) 提示:(1)√ 做勻速圓周運動的物體,線速度大小處處相等,根據(jù)Δs=vΔt,相等時間內(nèi)通過的弧長相等。 (2)× 做勻速圓周運動的物體相等時間內(nèi)通過的位移大小相等,但方向可能不同。 (3)× 勻速圓周運動的線速度方向是時刻變化的,故是一種變速運動。 想一想 若鐘表的指針都做勻速圓周運動,秒針和分針的周期

4、各是多少?角速度之比是多少? 提示:秒針的周期T秒=1 min=60 s,分針的周期T分=1 h=3600 s。 由ω= 得 ==。 課堂任務(wù) 描述圓周運動的物理量及其關(guān)系 仔細(xì)觀察下列圖片,認(rèn)真參與“師生互動”。 活動1:鬧鐘和手表誰對?為什么? 提示:都對。比較的內(nèi)容不一樣,鬧鐘比的是線速度,手表比的是角速度,線速度鬧鐘的大,角速度兩者相等。 活動2:鬧鐘所說的線速度是怎么得出的?利用手表的數(shù)據(jù)可以算出什么物理量? 提示:鬧鐘所說的線速度是根據(jù)v=計算出來的,Δs是秒針針尖在Δt時間轉(zhuǎn)過的弧長。根據(jù)手表所說的秒針針尖轉(zhuǎn)一周的時間可以計算其角速度,角速度ω=,

5、Δθ是秒針針尖在Δt時間轉(zhuǎn)過的弧度。 活動3:線速度和角速度有什么關(guān)系? 提示:設(shè)物體做圓周運動的半徑為r,Δt時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長為Δs,弧長對應(yīng)的圓心角為Δθ(單位:rad),則Δs=rΔθ。而物體做圓周運動的線速度v=,角速度ω=,代入上式可得到:v=rω。 活動4:討論、交流、展示,得出結(jié)論。 1.描述圓周運動的物理量及其關(guān)系匯總 2.線速度與角速度的關(guān)系的理解 (1)線速度的大小描述了做圓周運動的物體沿著圓弧運動的快慢,角速度的大小描述了物體與圓心連線掃過角度的快慢。 (2)由v=rω知,r一定時,v∝ω;v一定時,ω∝;ω一定時,v∝r。 3.對勻速圓周運動的理

6、解 (1)“勻速”的含義: ①線速度v的大小不變,即速率不變。 ②轉(zhuǎn)動角速度ω不變。 (2)F合≠0,a≠0:由于勻速圓周運動是曲線運動,速度的方向時刻發(fā)生變化,故勻速圓周運動是變速運動,其合外力和加速度一定不為零。 例1 做勻速圓周運動的物體,10 s內(nèi)沿半徑為20 m的圓周運動100 m,試求該物體做圓周運動時, (1)線速度的大小; (2)角速度的大??; (3)周期的大小。 (1)線速度、角速度、周期的定義式各是什么? 提示:v=;ω=;T=。 (2)線速度、角速度、周期的關(guān)系式是什么? 提示:v=ωr,T==。 [規(guī)范解答] (1)依據(jù)線速度的定義式v=可

7、得: v== m/s=10 m/s。 (2)依據(jù)v=ωr得:ω== rad/s=0.5 rad/s。 (3)依據(jù)ω=得:T== s=4π s。 [完美答案] (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s 勻速圓周運動快慢的描述 物體在做勻速圓周運動時(設(shè)其軌道半徑為r),可以用線速度v、角速度ω、周期T、轉(zhuǎn)速n來描述其運動的快慢。這些物理量之間的關(guān)系可以從它們的定義出發(fā)得到:v==ωr=2πnr,ω==2πn。  關(guān)于做勻速圓周運動的物體,下列說法正確的是(  ) A.因為在相等的時間內(nèi)通過的圓弧長度相等,所以線速度恒定 B.如果物體在0.1 s內(nèi)轉(zhuǎn)過

8、30°角,則角速度為300 rad/s C.若半徑r一定,則線速度與角速度成反比 D.若半徑為r,周期為T,則線速度為v= 答案 D 解析 物體做勻速圓周運動時,線速度大小恒定,方向沿圓周的切線方向,在不斷地改變,故A錯誤;角速度ω== rad/s= rad/s,B錯誤;線速度與角速度的關(guān)系為v=ωr,由該式可知,r一定時,v∝ω,C錯誤;由線速度的定義可得,在轉(zhuǎn)動一周時有v=,D正確。 課堂任務(wù) 同軸轉(zhuǎn)動和皮帶傳動問題 仔細(xì)觀察下列圖片,認(rèn)真參與“師生互動”。 活動1:圖甲、乙中A、B兩點分別有什么物理量是相同的? 提示:圖甲A、B兩點在自行車的同一條鏈條上,這決定了

9、A、B兩點的線速度大小是相等的。同一條鏈條上的所有點的線速度大小都一樣。圖乙的兩個齒輪相同時間必定走過相同弧長,故圖乙的A、B兩點線速度大小相等。它們和圖甲的A、B是類似的,同理還有皮帶傳動、摩擦小輪,由于邊緣始終沒有相對位移,相同時間必定走過相同弧長,我們可以總結(jié)為“同線的線速度相等”。 活動2:圖甲中B、C兩點有什么物理量是相同的? 提示:B、C的轉(zhuǎn)軸相同,B轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn),C一定同時轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn),所以B、C角速度是相等的。我們稱為“同軸轉(zhuǎn)動”。 活動3:討論、交流、展示,得出結(jié)論。 常見的傳動裝置及其特點 例2 如圖所示的皮帶傳動裝置,主動輪O1上兩輪的半徑分別為3r和r,從

10、動輪O2的半徑為2r,A、B、C分別為輪邊緣上的三點,設(shè)皮帶不打滑,求: (1)A、B、C三點的線速度大小之比vA∶vB∶vC=________。 (2)A、B、C三點的角速度之比ωA∶ωB∶ωC=________。 (1)A、B、C三點中,哪兩點的角速度相等?哪兩點的線速度大小相等? 提示:A、B兩點的角速度相等,B、C兩點的線速度大小相等。 (2)A、B兩點的線速度與它們的半徑成________;B、C 兩點的角速度與它們的半徑成________。 提示:正比 反比 [規(guī)范解答]  (1) ? (2) ? [完美答案] (1)3∶1∶1 (2)2∶2∶1

11、 分析傳動問題的關(guān)鍵 分析傳動問題時,關(guān)鍵是要明確什么量相等,什么量不相等,在通常情況下,應(yīng)抓住以下兩個關(guān)鍵點: (1)繞同一軸轉(zhuǎn)動的各點角速度ω、轉(zhuǎn)速n和周期T相等,而各點的線速度v=ωr,與半徑r成正比。 (2)鏈條和鏈條連接的輪子邊緣線速度的大小相等,不打滑的摩擦傳動兩輪邊緣上各點線速度大小也相等,而角速度ω=,與半徑r成反比。  一個圓環(huán),以豎直直徑AB為軸勻速轉(zhuǎn)動,如圖所示,求環(huán)上M、N兩點的: (1)角速度之比; (2)線速度的大小之比。 答案 (1)1∶1 (2)∶1 解析 (1)M、N是同一環(huán)上的兩點,它們與環(huán)具有相同的角速度,即ωM∶ωN=1∶1

12、。 (2)兩點做圓周運動的半徑之比rM∶rN=sin60°∶sin30°=∶1,故vM∶vN=ωMrM∶ωNrN=∶1。 課堂任務(wù) 圓周運動的周期性造成的多解問題 仔細(xì)觀察下列圖片,認(rèn)真參與“師生互動”。 活動1:對準(zhǔn)A點就能在最高點直接射中A點嗎? 提示:不能,飛鏢要做平拋運動,在豎直方向會向下運動。 活動2:飛鏢射中A點時A點轉(zhuǎn)動到哪個位置? 提示:A點做的是圓周運動,而飛鏢在初速度所在豎直平面內(nèi)做平拋運動,故射中A點時A點必定轉(zhuǎn)到最低點的位置。 活動3:飛鏢射中A點時A點一定轉(zhuǎn)動半圈嗎? 提示:不一定,飛鏢射中A點時A點可能轉(zhuǎn)動半圈,也可能是一圈半、兩圈

13、半……,總之是半圈的奇數(shù)倍。 活動4:討論、交流、展示,得出結(jié)論。 圓周運動的周期性和多解性:勻速圓周運動的多解問題常涉及兩個物體的兩種不同的運動,其中一個做勻速圓周運動,另一個做其他形式的運動。因勻速圓周運動具有周期性,使得一個事件可能在前一個周期中發(fā)生,也可能在后一個周期中發(fā)生,這就要求我們在確定做勻速圓周運動物體的周期時,必須把各種可能都考慮進(jìn)去。處理這類問題時,關(guān)鍵要把一個物體的運動時間t,與圓周運動的周期T建立起聯(lián)系,這樣才能較快地解決問題。 例3 如圖所示,一位同學(xué)做飛鏢游戲,已知圓盤的直徑為d,飛鏢距圓盤L,且對準(zhǔn)圓盤上最高點A點水平拋出,初速度為v0,飛鏢拋出的同時,

14、圓盤繞垂直圓盤過盤心O的水平軸勻速轉(zhuǎn)動,角速度為ω。若飛鏢恰好擊中A點,則下列關(guān)系正確的是(  ) A.dv=L2g B.ωL=π(1+2n)v0(n=0,1,2,3…) C.v0=ω D.dω2=gπ2(1+2n)2(n=0,1,2,3…) (1)飛鏢擊中A所需要的時間是多少? 提示:飛鏢做平拋運動,飛鏢擊中A所需要的時間就是飛鏢水平方向運動到A所在的豎直平面所需要的時間,即飛鏢平拋時間:t=。 (2)A被擊中時,A轉(zhuǎn)過的時間用角速度表示應(yīng)該為多少? 提示:A被擊中時,轉(zhuǎn)過角度是半圈的奇數(shù)倍,即θ=(2n+1)π(n=0,1,2,3…),則A點轉(zhuǎn)動的時間t=。 [規(guī)范解

15、答] 依題意飛鏢做平拋運動的同時,圓盤上A點做勻速圓周運動,恰好擊中A點,說明A正好在最低點被擊中,則A點轉(zhuǎn)動的時間t=,平拋的時間t=,則有=(n=0,1,2,3…),B正確。平拋的豎直位移為d,則d=gt2,聯(lián)合t=得dv=L2g,A錯誤。d=gt2聯(lián)合t=解得dω2=gπ2·(2n+1)2(n=0,1,2,3…),D錯誤。v0不是圓盤上A點的線速度,v0與ω不滿足v=ωr,C錯誤。 [完美答案] B 解決圓周運動的多解問題的關(guān)鍵 (1)把一個物體的運動時間t,與圓周運動的周期T建立起聯(lián)系。 (2)會利用運動規(guī)律列出兩個運動的時間相等的表達(dá)式。  如圖所示,半徑為

16、R的圓盤繞垂直于盤面的中心軸勻速轉(zhuǎn)動,其正上方h處沿OB方向水平拋出一小球,要使球與盤只碰一次,且落點為B,求小球的初速度及圓盤轉(zhuǎn)動的角速度ω的大小。 答案 R  2nπ (n=1,2,3…) 解析 設(shè)球在空中運動時間為t,此圓盤轉(zhuǎn)過θ角, 則R=vt,h=gt2 故初速度v=R,t=, 由題意知θ=n·2π(n=1,2,3…) 又因為θ=ωt, 則圓盤角速度ω==2nπ (n=1,2,3…)。 A組:合格性水平訓(xùn)練 1.(對勻速圓周運動的認(rèn)識)對于做勻速圓周運動的物體,下列說法中不正確的是(  ) A.相等的時間內(nèi)通過的路程相等 B.相等的時間內(nèi)通過的弧長相等

17、 C.相等的時間內(nèi)通過的位移相同 D.在任何相等的時間里,連接物體和圓心的半徑轉(zhuǎn)過的角度都相等 答案 C 解析 勻速圓周運動是指線速度大小不變的圓周運動,因此在相等時間內(nèi)通過的路程相等,弧長相等,轉(zhuǎn)過的角度也相等,A、B、D正確;相等時間內(nèi)通過的位移大小相等,方向不一定相同,故C錯誤。 2.(角速度、周期和轉(zhuǎn)速)(多選)一精準(zhǔn)轉(zhuǎn)動的機械鐘表,下列說法正確的是(  ) A.秒針轉(zhuǎn)動的周期最長 B.時針轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)速最小 C.秒針轉(zhuǎn)動的角速度最大 D.秒針的角速度為 rad/s 答案 BCD 解析 秒針轉(zhuǎn)動的周期最短,角速度最大,A錯誤,C正確;時針轉(zhuǎn)動的周期最長,轉(zhuǎn)速最小,B正確

18、;秒針的角速度為ω= rad/s= rad/s,故D正確。 3. (線速度與角速度)如圖所示是一個玩具陀螺,a、b和c是陀螺上的三個點,當(dāng)陀螺繞垂直于地面的軸線以角速度ω穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時,下列表述正確的是(  ) A.a(chǎn)、b和c三點的線速度大小相等 B.a(chǎn)、b和c三點的角速度大小相等 C.a(chǎn)、b的角速度比c的大 D.c的線速度比a、b的大 答案 B 解析 同一物體上的三點繞同一豎直軸轉(zhuǎn)動,因此角速度相同,B正確,C錯誤;c的半徑最小,故它的線速度最小,a、b的半徑相同,二者的線速度大小相等,A、D錯誤。 4. (傳動問題)如圖所示,甲、乙、丙三個齒輪(齒未畫出)的半徑分別為r1、

19、r2、r3,并且r1<r2<r3。若甲齒輪的角速度為ω1,則丙齒輪的角速度為(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 甲、乙、丙三個齒輪邊緣上各點的線速度大小相等,即r1ω1=r2ω2=r3ω3,所以ω3=,A正確。 5. (傳動問題)如圖所示是自行車傳動結(jié)構(gòu)的示意圖,其中A是半徑為r1的大齒輪,B是半徑為r2的小齒輪,C是半徑為r3的后輪,假設(shè)腳踏板的轉(zhuǎn)速為n r/s,則自行車前進(jìn)的速度為(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 前進(jìn)速度即為后輪的線速度,由于同軸轉(zhuǎn)動的輪上的各點的角速度相等,A、B兩輪邊緣上各點的線速度大小相等,可得ω1r1

20、=ω2r2,ω3=ω2,又ω1=2πn,v=ω3r3,所以v=。C正確。 6. (傳動問題)如圖所示的齒輪傳動裝置中,主動輪的齒數(shù)z1=24,從動輪的齒數(shù)z2=8,當(dāng)主動輪以角速度ω順時針轉(zhuǎn)動時,從動輪的運動情況是(  ) A.順時針轉(zhuǎn)動,周期為 B.逆時針轉(zhuǎn)動,周期為 C.順時針轉(zhuǎn)動,周期為 D.逆時針轉(zhuǎn)動,周期為 答案 B 解析 主動輪順時針轉(zhuǎn)動,從動輪逆時針轉(zhuǎn)動,兩輪邊緣的線速度大小相等,由齒數(shù)關(guān)系知主動輪轉(zhuǎn)一周時,從動輪轉(zhuǎn)三周,故T從=T主=·=,B正確。 7.(圓周運動各物理量間的關(guān)系)發(fā)動機的曲軸每分鐘轉(zhuǎn)2400周,求: (1)曲軸轉(zhuǎn)動的周期與角速度; (2

21、)距轉(zhuǎn)軸r=0.2 m的點的線速度大小。 答案 (1) s 80π rad/s (2)16π m/s 解析 (1)由于曲軸每秒鐘轉(zhuǎn)=40(周),周期T= s;而每轉(zhuǎn)一周角度為2π rad,因此曲軸轉(zhuǎn)動的角速度ω=2π×40 rad/s=80π rad/s。 (2)已知r=0.2 m,因此這一點的線速度v=ωr=80π×0.2 m/s=16π m/s。 8. (傳動問題)如圖所示為皮帶傳動裝置,皮帶輪的圓心分別為O、O′,A、C為皮帶輪邊緣上的點,B為AO連線上的一點,RB=RA,RC=RA,當(dāng)皮帶輪勻速轉(zhuǎn)動時,皮帶與皮帶輪之間不打滑,求A、B、C三點的角速度大小之比、線速度大小之比。

22、 答案 2∶2∶3 2∶1∶2 解析 由題意可知,A、B兩點在同一輪上,因此ωA=ωB, 又皮帶不打滑,所以vA=vC, 故可得ωC===ωA, 所以ωA∶ωB∶ωC=ωA∶ωA∶ωA=2∶2∶3。 又vB=RB·ωB=RA·ωA=, 所以vA∶vB∶vC=vA∶vA∶vA=2∶1∶2。 9.(圓周運動各物理量間的關(guān)系)地球半徑R=6400 km,站在赤道上的人和站在北緯60°上的人隨地球轉(zhuǎn)動的角速度分別是多大?他們的線速度分別是多大? 答案 7.3×10-5 rad/s 7.3×10-5 rad/s 467.2 m/s 233.6 m/s 解析 畫出地球自轉(zhuǎn)示意圖,如圖

23、所示,設(shè)赤道上的人站在A點,北緯60°上的人站在B點,地球自轉(zhuǎn)角速度固定不變,A、B兩點的角速度相同,有 ωA=ωB== rad/s=7.3×10-5 rad/s 依題意可知,A、B兩處站立的人隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動的半徑分別為:RA=R,RB=Rcos60°, 則由v=ωr可知,A、B兩點的線速度分別為: vA=ωARA=7.3×10-5×6400×103 m/s=467.2 m/s vB=ωBRB=7.3×10-5×6400×103× m/s=233.6 m/s 即赤道上和北緯60°上的人隨地球轉(zhuǎn)動的角速度都為7.3×10-5 rad/s,赤道上和北緯60°上的人隨地球轉(zhuǎn)

24、動的線速度分別為467.2 m/s和233.6 m/s。 B組:等級性水平訓(xùn)練 10. (線速度與角速度)兩個小球固定在一根長為L的桿的兩端,繞桿上的O點做圓周運動,如圖所示。當(dāng)小球1的速度為v1時,小球2的速度為v2,則轉(zhuǎn)軸O到小球2的距離是(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 兩球在同一桿上,旋轉(zhuǎn)的角速度相等,均為ω,設(shè)兩球的轉(zhuǎn)動半徑分別為r1、r2,則r1+r2=L。又知v1=ωr1,v2=ωr2,聯(lián)立得r2=,B正確。 11. (傳動問題)(多選)如圖所示為某一皮帶傳動裝置,主動輪的半徑為r1,從動輪的半徑為r2。已知主動輪做順時針轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)速為n,

25、轉(zhuǎn)動過程中皮帶不打滑。下列說法正確的是(  ) A.從動輪做順時針轉(zhuǎn)動 B.從動輪做逆時針轉(zhuǎn)動 C.從動輪的轉(zhuǎn)速為n D.從動輪的轉(zhuǎn)速為n 答案 BC 解析 主動輪順時針轉(zhuǎn)動時,皮帶帶動從動輪逆時針轉(zhuǎn)動,A錯誤,B正確;由于兩輪邊緣線速度大小相同,根據(jù)v=2πrn,可得兩輪轉(zhuǎn)速與半徑成反比,所以C正確,D錯誤。 12. (圓周運動的綜合問題)如圖所示,半徑為R的圓輪在豎直面內(nèi)繞過O點垂直于圓輪的軸勻速轉(zhuǎn)動,輪上a、b兩點與O的連線相互垂直,a、b兩點均粘有一個小物體,當(dāng)a點轉(zhuǎn)至最低位置時,a、b兩點處的小物體同時脫落,經(jīng)過相同時間落到水平地面上,圓輪最低點距地面高度為R。

26、 (1)試判斷圓輪的轉(zhuǎn)動方向(說明判斷理由); (2)求圓輪轉(zhuǎn)動的角速度大小。 答案 (1)見解析 (2) 解析 (1)由題意知,a點處物體做平拋運動,若與b點處物體下落的時間相同,則b點處物體必須做豎直下拋運動,故知圓輪轉(zhuǎn)動方向為逆時針方向。 (2)a點處物體平拋:R=gt2① b點處物體豎直下拋:2R=v0t+gt2② 由①②得v0=③ 又因ω=④ 由③④解得ω=。 13. (圓周運動的多解問題)如圖所示,小球Q在豎直平面內(nèi)繞O點做勻速圓周運動,當(dāng)Q球轉(zhuǎn)到圖示位置時,O點正上方有另一小球P在距圓周最高點h處開始自由下落,要使兩球在圓周最高點相碰,則Q球的角速度ω應(yīng)滿足什么條件? 答案 ω=(4n+1) (n=0,1,2,3…) 解析 設(shè)P球自由下落到圓周最高點的時間為t, 由自由落體運動規(guī)律可得h=gt2,解得t=。 經(jīng)過時間t,Q球由圖示位置轉(zhuǎn)至最高點,才能與P球在圓周最高點相碰,其做勻速圓周運動,設(shè)周期為T,有t=(4n+1)(n=0,1,2,3…) 兩式聯(lián)立再由T=得,(4n+1)=。 所以ω=(4n+1) (n=0,1,2,3…)。 - 17 -

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