2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 2 充分條件與必要條件學(xué)案 北師大版選修1-1

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1、 §2 充分條件與必要條件 充分條件與必要條件 古時候有個賣油郎叫洛孝，一天他在賣油回家的路上撿到30兩銀子，回家后其母親叫洛孝把銀子還給失主．當(dāng)洛孝把銀子還給失主時，失主卻說自己丟了50兩銀子，叫洛孝拿出自己私留的20兩銀子．兩人為此爭執(zhí)不休，告到縣衙，縣官聽了兩人的供述后，把銀子判給洛孝，失主含羞離去． 設(shè)： A：洛孝主動歸還所拾銀兩． B：洛孝無賴銀之情． C：洛孝拾到30兩銀子，失主丟失50兩銀子． D：洛孝所拾銀子不是失主所丟． 問題1：縣官得到結(jié)論B的依據(jù)是什么？它是B的什么條件？ 提示：A，充分條件． 問題2：縣官由C得出什么結(jié)論？

2、它是C的什么條件？ 提示：D，必要條件． 充分條件和必要條件 如果“若p，則q”形式的命題為真命題，即p?q，稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件. 充要條件 已知：p：前年在倫敦舉行第30屆夏季奧運會． q：前年是2012年． 問題1：“若p，則q”為真命題嗎？p是q的什么條件？ 提示：是真命題，充分條件． 問題2：“若q，則p”是真命題嗎？p是q的什么條件？ 提示：是真命題，必要條件． 問題3：p是q的什么條件？q是p的什么條件？ 提示：充要條件，充要條件． 充要條件 (1)如果既有p?q，又有q?p，通常記作p?q，則稱p是q的充分必要條

3、件，簡稱充要條件． (2)p是q的充要條件也可以說成：p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立． (3)如果p，q分別表示兩個命題，且它們互為充要條件，我們稱命題p和命題q是兩個相互等價的命題． (4)若p?q，但q?/ p，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件． (5)若p?/ q，且q?/ p，則p是q的既不充分也不必要條件． 充分條件與必要條件的判斷，即對命題“若p，則q”與“若q，則p”進行真假判斷，若是一真一假則p是q的充分不必要條件或必要不充分條件；若是兩真則p是q的充要條件；若是兩假則p是q的即不充分又不必要條件． 充分條件、必要條件的判斷 [例1

4、]　下列各題中，p是q的什么條件？ (1)p：a，b，c三數(shù)成等比數(shù)列，q：b＝； (2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3； (3)p：a>b，q：2a>2b； (4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC為等腰三角形． [思路點撥]　可先看p成立時，q是否成立，再反過來若q成立時，p是否成立，從而判定p，q間的關(guān)系． [精解詳析]　(1)若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac，b＝±，則p?/ q；若b＝，當(dāng)a＝0，b＝0時，a，b，c不成等比數(shù)列，即q?/ p，故p是q的既不充分也不必要條件． (2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即p?/ q，而x>1，y>3可得x＋y>

5、4，即q?p，故p是q的必要不充分條件． (3)當(dāng)a>b時，有2a>2b，即p?q，當(dāng)2a>2b時，可得a>b，即q?p，故p是q的充要條件． (4)法一：若△ABC是直角三角形不能得出△ABC為等腰三角形，即p?/ q；若△ABC為等腰三角形也不能得出△ABC為直角三角形，即q?/ p，故p是q的既不充分也不必要條件． 法二：如圖所示：p，q對應(yīng)集合間無包含關(guān)系，故p是q的既不充分也不必要條件． [一點通]　 充分必要條件判斷的常用方法： (1)定義法：分清條件和結(jié)論，利用定義判斷． (2)等價法：將不易判斷的命題轉(zhuǎn)化為它的逆否命題判斷． (3)集合法： 設(shè)A＝{x|p

6、(x)}，B＝{x|q(x)}，若x具有性質(zhì)p，則x∈A；若x具有性質(zhì)q，則x∈B. ①若AB，則p是q的充分不必要條件； ②若BA，則p是q的必要不充分條件； ③若A＝B，則p是q的充要條件； ④若A?B且B?A，則p是q的既不充分又不必要條件． 1．設(shè)集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x||x－2|≤1}，那么“m∈A”是“m∈B”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 解析：集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，則由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”，故選D. 答

7、案：D 2．對任意實數(shù)a，b，c給出下列命題： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件； ②“a＋5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件； ③“a>b”是“a2>b2”的充分條件； ④“a<5”是“a<3”的必要條件． 其中，真命題的序號是________． 解析：①由a＝b可得ac＝bc.但ac＝bc時不一定有a＝b，故①為假命題；②由“a＋5為無理數(shù)”可得“a為無理數(shù)”，由“a為無理數(shù)”可得“a＋5為無理數(shù)”，②為真命題；③由“a>b”不能得出a2>b2，如a＝1，b＝－2，③為假命題；④“由a<5”不能得“a<3”，而由“a<3”可得“a<5”，④為真命題． 答案：②④

8、 3．指出下列各組命題中p是q的什么條件，q是p的什么條件，并說明理由． (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y(tǒng)； (2)在△ABC中，p：sin A＞，q：A＞. 解：(1)因為|x|＝|y|?x＝y(tǒng)或x＝－y，但x＝y(tǒng)?|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件． (2)因為0＜A＜π時，sin A∈(0,1]，且A∈(0，]時，sin A單調(diào)遞增，A∈[，π)時，sin A單調(diào)遞減，所以sin A＞?A＞，但A＞?/ sin A＞. 所以p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件. 充要條件的證明和求解 　　[例2]　已知數(shù)列{an}的前n項和

9、Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)， 求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q＝－1. [思路點撥]　本題可分充分性和必要性兩種情況證明，即由q＝－1推證數(shù)列{an}為等比數(shù)列和由數(shù)列{an}滿足Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)為等比數(shù)列推證q＝－1. [精解詳析]　(充分性)當(dāng)q＝－1時，a1＝S1＝p－1；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，且n＝1時也成立．于是＝＝p(p≠0且p≠1)，即{an}為等比數(shù)列． (必要性)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝p＋q； 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)． 因為p≠0且p≠1，所以當(dāng)n≥2時，＝＝p，可知等

10、比數(shù)列{an}的公比為p. 故＝＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1. 綜上可知，q＝－1是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件． [一點通]　 充要條件的證明問題，要證明兩個方面，一是充分性，二是必要性．為此必須要搞清條件，在“A是B的充要條件”中，A?B是充分性，B?A是必要性；在“A的充要條件是B”中，A?B是必要性，B?A是充分性． 4．不等式x2－ax＋1>0的解集為R的充要條件是____________． 解析：若x2－ax＋1>0的解集為R，則Δ＝a2－4<0，即－20的解集為R，故不等式x2－ax＋1

11、>0的解集為R的充要條件是－2

12、×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. ∴必要性成立． 再證充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b. 代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得： ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋b＋a)＝0. 故方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1. 故關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0. 充分條件、必要條件的應(yīng)用 [例3]　已知p：關(guān)于x的不等式＜x＜，q：x(x－3)＜0，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍． [思路點撥]　求出q對應(yīng)的集合，然后把問題轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系求解． [精解詳析]　記A＝{x|＜x＜}，B＝ {x|x

13、(x－3)＜0}＝{x|0＜x＜3}， 若p是q的充分不必要條件，則AB. 注意到B＝{x|0＜x＜3}≠?，分兩種情況討論： (1)若A＝?，即≥，解得m≤0，此時AB，符合題意； (2)若A≠?，即＜，解得m＞0， 要使AB，應(yīng)有 綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是(－∞，3)． [一點通]　 將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，是解決該類問題的一種有效的方法，關(guān)鍵是準(zhǔn)確把p，q用集合表示，借助數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合的方法建立方程或不等式，求參數(shù)的范圍． 7．已知條件p：x2＋x－6＝0，條件q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分不必要條件，求m的值． 解：解x2

14、＋x－6＝0得x＝2或x＝－3， 令A(yù)＝{2，－3}，B＝， ∵q是p的充分不必要條件，∴B A. 當(dāng)－＝2時，m＝－；當(dāng)－＝－3時，m＝. 所以m＝－或m＝. 8．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若x∈M是x∈N的充分條件，求a的取值范圍． 解：由(x－a)2<1得 x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0， ∴a－1

15、．充分必要條件與四種命題之間的對應(yīng)關(guān)系； (1)若p是q的充分條件，則原命題“若p，則q”及它的逆否命題都是真命題； (2)若p是q的必要條件，則逆命題及否命題為真命題； (3)若p是q的充要條件，則四種命題均為真命題． 2．涉及利用充分條件、必要條件、充要條件求參數(shù)的取值范圍時，常利用命題的等價性進行轉(zhuǎn)化，從集合的包含、相等關(guān)系上來考慮制約關(guān)系． 1．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的(　　) A．充分不必要條件　　 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：當(dāng)1＜x＜2時，必有x＜2；而x＜2時，如x＝0，推不出1＜x＜2，所

16、以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要條件． 答案：A 2．函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖像關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是(　　) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 解析：函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖像關(guān)于x＝1對稱?－＝1?m＝－2. 答案：A 3．已知命題p：“a，b，c成等差數(shù)列”，命題q：“＋＝2”，則命題p是命題q的(　　) A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：若＋＝2，則a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差數(shù)列；當(dāng)a，b，c成等差數(shù)列時，可得a＋c＝2b，但不一定得出＋

17、＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命題p是命題q的必要不充分條件，故選A. 答案：A 4．“a＞3”是“函數(shù)f(x)＝ax＋2在區(qū)間[－1,2]上存在零點”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：當(dāng)a＞3時，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)＜0，即函數(shù)f(x)＝ax＋2在區(qū)間[－1,2]上存在零點；但當(dāng)函數(shù)f(x)＝ax＋2在區(qū)間[－1,2]上存在零點；不一定是a＞3，如當(dāng)a＝－3時，函數(shù)f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在區(qū)間[－1,2]上存在零點．所以“a＞3”是“函數(shù)f(x)＝ax＋2在區(qū)間[－1,2

18、]上存在零點”的充分不必要條件，故選A. 答案：A 5．直線l：x－y＋m＝0與圓C：(x＋1)2＋y2＝2有公共點的充要條件是________． 解析：直線l與圓C有公共點?≤?|m－1|≤2?－1≤m≤3. 答案：m∈[－1,3] 6．在下列各項中選擇一項填空： ①充分不必要條件 ②必要不充分條件 ③充要條件 ④既不充分也不必要條件 (1)記集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，則“p＝3”是“A∩B＝B”的________； (2)“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝|2x－a|在區(qū)間上為增函數(shù)”的________． 解析：(1)當(dāng)p＝3時，A＝{－1,2,3}，此時

19、A∩B＝B；若A∩B＝B，則必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要條件．(2)當(dāng)a＝1時，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在上是增函數(shù)；但由f(x)＝|2x－a|在區(qū)間[，＋∞)上是增函數(shù)不能得到a＝1，如當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)＝|2x－a|＝|2x|在區(qū)間上是增函數(shù)．因此“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝|2x－a|在區(qū)間[，＋∞)上為增函數(shù)”的充分不必要條件． 答案：(1)③　(2)① 7．指出下列各組命題中，p是q的什么條件(充分不必要條件，必要不充分條件，充要條件，既不充分也不必要條件)? (1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC為鈍角三角形； (2)p：

20、△ABC有兩個角相等，q：△ABC是正三角形； (3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； (4)p：△ABC中，A≠30°，q：sin A≠. 解：(1)△ABC中，∵b2＞a2＋c2，∴cos B＝＜0， ∴B為鈍角，即△ABC為鈍角三角形，反之若△ABC為鈍角三角形，B可能為銳角，這時b2＜a2＋c2. ∴p?q，q?/ p，故p是q的充分不必要條件． (2)有兩個角相等不一定是等邊三角形，反之一定成立， ∴p?/ q，q?p，故p是q的必要不充分條件． (3)若a2＋b2＝0，則a＝b＝0，故p?q；若a＝b＝0，則a2＋b2＝0，即q?p，所以p是q的充要條件． (4)轉(zhuǎn)化為△ABC中sin A＝是A＝30°的什么條件． ∵A＝30°?sin A＝，但是sin A＝?/ A＝30°， ∴△ABC中sin A＝是A＝30°的必要不充分條件． 即p是q的必要不充分條件． 8．求方程ax2＋2x＋1＝0有兩個不相等的負(fù)實根的充要條件． 解：①當(dāng)a＝0時，方程為一元一次方程，其根為x＝－，不符合要求； ②當(dāng)a≠0時，方程ax2＋2x＋1＝0為一元二次方程，有兩個不相等的負(fù)實根的充要條件為 解得0