2017-2018版高中數學 第3章 數系的擴充與復數的引入 3.2 復數的四則運算（二）學案 蘇教版選修1-2

《2017-2018版高中數學 第3章 數系的擴充與復數的引入 3.2 復數的四則運算（二）學案 蘇教版選修1-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018版高中數學 第3章 數系的擴充與復數的引入 3.2 復數的四則運算（二）學案 蘇教版選修1-2（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 3.2 復數的四則運算（二） 學習目標　1.進一步熟練掌握復數的乘法運算，了解復數的乘方，正整數指數冪的運算律在復數范圍內仍成立.2.理解復數商的定義，能夠進行復數除法運算.3.了解i冪的周期性． 知識點一　復數的乘方與in(n∈N*)的周期性 思考　計算i5，i6，i7，i8的值，你能推測in(n∈N*)的值有什么規(guī)律嗎？ 　 　 　 1．復數范圍內正整數指數冪的運算性質 對任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn＝zm＋n，(zm)n＝________，(z1z2)n＝zz. 2．虛數單位in(n∈N*)的周期性 i4n＝__________

2、，i4n＋1＝__________，i4n＋2＝__________，i4n＋3＝__________. 知識點二　復數的除法 思考　如何規(guī)定兩復數z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？ 　 　 　 　 把滿足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的復數x＋yi(x，y∈R)叫做復數a＋bi除以復數c＋di的商．且x＋yi＝＝＋i. 類型一　i的運算性質 例1　計算下列各式的值． (1)1＋i＋i2＋…＋i2 017.(2)(1－)2 014＋(1－i)2 014.(3)(－＋i)3. 　 　

3、 　 　 　 反思與感悟　(1)虛數單位i的性質： ①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)． ②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． (2)復數的乘方運算，要充分運用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i等一些重要結論簡化運算． (3)設ω＝－＋i，則ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝. 跟蹤訓練1　計算下列各式： (1)i2 006＋(＋i)8－()50. (2)(－1－i)3＋(－1＋i)3. 　 　 　 類型二　復數的除法 例2　(1)設z＝1＋i(i是虛數單位

4、)，則＋z2＝__________. (2)復數z＝的共軛復數是____________． 反思與感悟　(1)這類問題求解的關鍵在于“分母實數化”類似于根式除法的分母“有理化”． (2)復數除法的運算結果一般寫成實部與虛部分開的形式． 跟蹤訓練2　(1)設i是虛數單位，則＝________. (2)復數z滿足(1＋2i)＝4＋3i，則z＝________. 類型三　復數四則運算的綜合應用 例3　計算下列各式： (1)＋(5＋i2)－()2； (2). 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)進行復數四則混合運算時，要先算乘方，再

5、算乘除，最后計算加減． (2)復數乘法、除法運算中注意一些結論的應用． ①＝＝＝i.利用此法可將一些特殊類型的計算過程簡化； ②記住一些簡單結論如＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i等． 跟蹤訓練3　復數z＝，若z2＋<0，求純虛數a. 　 　 　 　 1．設i為虛數單位，則復數＝____________. 2.＋＝______________. 3．如果復數的實部與虛部互為相反數，那么實數b＝________. 4．設z1＝i＋i2＋i3＋…＋i11，z2＝i1·i2…i12，則z1·z2＝________. 5．計算：(1)若＝－

6、i，求實數a的值； (2)若復數z＝，求＋3i. 　 　 　 　 　 　 　 1．熟練掌握乘除法運算規(guī)則．求解運算時要靈活運用in的周期性．此外，實數運算中的平方差公式，兩數和、差的平方公式在復數運算中仍然成立． 2．在進行復數四則運算時，我們既要做到會做、會解，更要做到快速解答．在這里需要掌握一些常用的結論，如(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i，＝i，－b＋ai＝i(a＋bi)．利用這些結論，我們可以更有效地簡化計算，提高計算速度且不易出錯． 3．在進行復數運算時，要理解好i的性質，切記不要出現如“i2＝1”，“i4＝－1”．

7、 答案精析 問題導學 知識點一 思考　i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推測i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)． 1．zmn 2．1　i?。??。璱 知識點二 思考　通常先把(a＋bi)÷(c＋di)寫成的形式再把分子與分母都乘c－di，化簡后可得結果． 題型探究 例1　解　(1)原式＝＝＝1＋i. (2)1－＝1＋＝1＋i且(1±i)2＝±2i. ∴原式＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007 ＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝21 007i3－21 007i3＝0. (3)(－＋i)3＝(－＋i

8、)2(－＋i) ＝(－－i)(－＋i)＝1. 跟蹤訓練1　解　(1)i2 006＋(＋i)8－()50 ＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－[]25 ＝i2＋(4i)4－i25＝－1＋256－i＝255－i. (2)原式＝23(－－i)3＋23(－＋i)3 ＝23×1＋23×1＝16. 例2　(1)1＋i　(2)－1－i 解析　(1)＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i＝1＋i. (2)∵z＝＝＝＝－1＋i， ∴z的共軛復數＝－1－i. 跟蹤訓練2　(1)－1　(2)2＋i 解析　(1)∵＝＝＝－i， ∴＝i3(－i)＝－i4＝－1. (2)∵＝＝＝＝2－i， ∴

9、復數z＝2＋i. 例3　解　(1)＋(5＋i2)－()2 ＝＋(5－1)－＝i＋4－i＝4. (2)原式＝＝ ＝＝·(2i)2·i＝－4i. 跟蹤訓練3　解?。? ＝＝＝1－i. ∵a是純虛數，設a＝mi(m∈R，且m≠0)，則 z2＋＝(1－i)2＋ ＝－2i＋＝－2i＋ ＝－＋(－2)i<0， ∴得m＝4， ∴a＝4i. 達標檢測 1．－6－5i 解析?。剑剑?5i－6i2)＝－(5i＋6)＝－6－5i. 2.＋i 解析　原式＝＋ ＝＋＝＋i＝＋i. 3．－ 解析　＝＝＝－i.由題意知，2－2b＝4＋b，得b＝－. 4．1 解析　z1＝(i＋i2＋i3＋i4＋…＋i8)＋(i9＋i10＋i11)＝0－1＝－1. z2＝i1＋2＋…＋12＝i78＝－1，∴z1z2＝1. 5．解　(1)依題意，得2＋ai＝－i(1＋i)＝2－i， ∴a＝－. (2)∵z＝＝ ＝i(1＋i)＝－1＋i， ∴＝－1－i， ∴＋3i＝－1＋2i. 8