2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 5.2 平行關(guān)系的性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修2

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1、 5．2　平行關(guān)系的性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能應(yīng)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面平行，兩平面平行的性質(zhì)定理.2.能用兩個(gè)性質(zhì)定理，證明一些空間線面平行關(guān)系的簡(jiǎn)單問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)一　直線與平面平行的性質(zhì) 思考1　如圖，直線l∥平面α，直線a平面α，直線l與直線a一定平行嗎？為什么？ 　 　 思考2　如圖，直線a∥平面α，直線a平面β，平面α∩平面β＝直線b，滿足以上條件的平面β有多少個(gè)？直線a，b有什么位置關(guān)系？ 　 　 　 梳理　性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 如果一條直線與一個(gè)平面______，那么過(guò)該直線的任意一個(gè)平面與已知平面的______與該直線

2、________ 符號(hào)語(yǔ)言 a∥α，________________?a∥b 圖形語(yǔ)言 知識(shí)點(diǎn)二　平面與平面平行的性質(zhì) 觀察長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的兩個(gè)面：平面ABCD及平面A1B1C1D1. 思考1　平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎？ 　 思考2　若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，則m∥n嗎？ 　 思考3　過(guò)BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1與BC是什么關(guān)系？ 　 梳理　性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線________ 符號(hào)語(yǔ)言 α∥β，α∩γ＝a

3、，β∩γ＝b?________ 圖形語(yǔ)言 類(lèi)型一　線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用 例1　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)O，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH， 求證：AP∥GH. 　 　 　 　 　 　 引申探究 如圖，在三棱錐P－ABQ中，E，F(xiàn)，C，D分別是PA，PB，QB，QA的中點(diǎn)，平面PCD∩平面QEF＝GH.求證：AB∥GH. 反思與感悟　線∥面線∥線．在空間平行關(guān)系中，交替使用線線平行、線面平行的判定定理與性質(zhì)定理是解決此類(lèi)問(wèn)題的

4、關(guān)鍵． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段FE的長(zhǎng)度等于________． 類(lèi)型二　面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用 例2　如圖，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直線AB與CD交于點(diǎn)S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的長(zhǎng)． 　 　 　 　 　 　 　 引申探究 若將本例改為：點(diǎn)S在平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，求CS的長(zhǎng)． 反思與感悟　應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟 跟蹤訓(xùn)練2　已知：平面α∥平面β∥平面

5、γ，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)，如右圖所示，求證：＝. 　 　 　 　 　 類(lèi)型三　平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 例3　設(shè)AB，CD為夾在兩個(gè)平行平面α，β之間的線段，且直線AB，CD為異面直線，M，P分別為AB，CD的中點(diǎn)．求證：MP∥平面β. 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　線線平行、線面平行、面面平行是一個(gè)有機(jī)的整體，平行關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理是轉(zhuǎn)化平行關(guān)系的關(guān)鍵，其內(nèi)在聯(lián)系如圖所示： 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM＝DN.求證MN∥平面AA1B

6、1B. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 例4　在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中點(diǎn)是P，過(guò)點(diǎn)A1作與截面PBC1平行的截面，能否確定截面的形狀？如果能，求出截面的面積． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　在將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，注意觀察圖形中是不是性質(zhì)定理中符合條件的平面． 跟蹤訓(xùn)練4　如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，平面PBC∩平面PAD＝l. (1)求證：l∥BC； (2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論． 　 　 　

7、　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．如圖所示，在三棱錐S－ABC中，E，F(xiàn)分別是SB，SC上的點(diǎn)，且EF∥平面ABC，則(　　) A．EF與BC相交 B．EF∥BC C．EF與BC異面 D．以上均有可能 2．直線a∥平面α，α內(nèi)有n條直線交于一點(diǎn)，則這n條直線中與直線a平行的直線有(　　) A．0條 B．1條 C．0條或1條 D．無(wú)數(shù)條 3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，則交線a，b，c，d的位置關(guān)系是(　　) A．互相平行 B．交于一點(diǎn) C．相互異面

8、 D．不能確定 4．如圖所示，直線a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α兩側(cè)，點(diǎn)B，C∈a，AB，AC分別交平面α于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，則EF＝______. 5. 如圖，AB是圓O的直徑 ，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)．記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的示意圖 2．證明線與線、線與面的平行關(guān)系的一般規(guī)律是：“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，是分析和解決問(wèn)題的

9、一般思維方法，而作輔助線和輔助面往往是溝通已知和未知的有效手段． 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考1　不一定，因?yàn)檫€可能是異面直線． 思考2　無(wú)數(shù)個(gè)，a∥b. 梳理　平行　交線　平行　aβ，α∩β＝b 知識(shí)點(diǎn)二 思考1　是的． 思考2　不一定，也可能異面． 思考3　平行． 梳理　平行　a∥b 題型探究 例1　證明　連接MO. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴O是AC的中點(diǎn)． 又∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM. 又∵AP 平面BDM，OM平面BDM， ∴AP∥平面BDM. 又∵AP平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.

10、引申探究 證明　因?yàn)镈，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)， 所以EF∥AB，DC∥AB. 所以EF∥DC. 又EF 平面PCD，DC平面PCD， 所以EF∥平面PCD. 又EF平面EFQ， 平面EFQ∩平面PCD＝GH， 所以EF∥GH. 又EF∥AB，所以AB∥GH. 跟蹤訓(xùn)練1　 例2　解　設(shè)AB，CD共面γ，因?yàn)棣谩搔粒紸C，γ∩β＝BD，且α∥β， 所以AC∥BD， 所以△SAC∽△SBD， 所以＝， 即＝，所以SC＝272. 引申探究 解　設(shè)AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD. 因?yàn)棣痢桅拢訟C與BD無(wú)公共點(diǎn)， 所以

11、AC∥BD， 所以△ACS∽△BDS，所以＝. 設(shè)CS＝x，則＝，所以x＝16， 即CS＝16. 跟蹤訓(xùn)練2　證明　如圖，連接DC，設(shè)DC與平面β相交于點(diǎn)G，則平面ACD與平面α，β分別相交于直線AD，BG，平面DCF與平面β，γ分別相交于直線GE，CF. 因?yàn)棣痢桅拢隆桅?，所以BG∥AD，GE∥CF. 于是，得＝，＝，所以＝. 例3　證明　如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD交平面β于點(diǎn)E， 連接DE，BE. ∵AE∥CD，∴AE，CD確定一個(gè)平面，設(shè)為γ， 則α∩γ＝AC，β∩γ＝DE. 又α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性質(zhì)定理)， 取AE的中點(diǎn)N，連接NP，MN，

12、 ∴M，P分別為AB，CD的中點(diǎn)， ∴NP∥DE，MN∥BE. 又NPβ，DEβ，MN β，BEβ， ∴NP∥β，MN∥β， ∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β. ∵M(jìn)P平面MNP，MP β，∴MP∥β. 跟蹤訓(xùn)練3　證明　如圖，作MP∥BB1交BC于點(diǎn)P，連接NP， ∵M(jìn)P∥BB1， ∴＝. ∵BD＝B1C， DN＝CM， ∴B1M＝BN. ∴＝， ∴NP∥CD∥AB. ∵NP 平面AA1B1B，AB平面AA1B1B， ∴NP∥平面AA1B1B. ∵M(jìn)P∥BB1，MP 平面AA1B1B， BB1平面AA1B1B， ∴MP∥平面AA1B1B，

13、 又∵M(jìn)P平面MNP，NP平面MNP，MP∩NP＝P， ∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵M(jìn)N平面MNP， ∴MN∥平面AA1B1B. 例4　解　能，如圖，取AB，C1D1的中點(diǎn)M，N，連接A1M，MC，CN，NA1. ∵平面A1C1∥平面AC，平面A1C∩平面A1C1＝A1N，平面AC∩平面A1C＝MC， ∴A1N∥MC. 同理，A1M∥NC. ∴四邊形A1MCN是平行四邊形． ∵C1N＝C1D1＝A1B1＝A1P， C1N∥A1P， ∴四邊形A1PC1N是平行四邊形， ∴A1N∥PC1且A1N＝PC1. 同理，A1M∥BP且A1M＝BP. 又∵A1

14、N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P， ∴平面A1MCN∥平面PBC1. 故過(guò)點(diǎn)A1與截面PBC1平行的截面是?A1MCN. 連接MN，作A1H⊥MN于點(diǎn)H. 由題意，易得A1M＝A1N＝，MN＝2. ∴MH＝NH＝，∴A1H＝. 故＝2＝2××2×＝2. 跟蹤訓(xùn)練4　(1)證明 因?yàn)锽C∥AD， BC 平面PAD，AD平面PAD， 所以BC∥平面PAD. 又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD＝l，所以BC∥l. (2)解 平行．證明如下： 如圖，取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE， 可以證得NE∥AM且NE＝AM， 所以四邊形MNEA是平行四邊形，所以MN∥AE. 又AE平面PAD，MN 平面PAD， 所以MN∥平面PAD. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．B　2.C　3.A　4. 5．解　直線l∥平面PAC. 證明如下： 因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)， 所以EF∥AC. 又EF 平面ABC，且AC平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l， 所以EF∥l. 因?yàn)閘 平面PAC，EF平面PAC， 所以l∥平面PAC. 13