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1、
5．1 平行關(guān)系的判定
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理的含義.2.會用圖形語言、文字語言、符號語言準(zhǔn)確描述直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能運(yùn)用直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理證明一些空間線面關(guān)系的簡單問題．
知識點(diǎn)一 直線與平面平行的判定定理
思考 如圖，一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面α內(nèi)，把這塊木板繞AB轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中，AB的對邊CD(不落在α內(nèi))和平面α有何位置關(guān)系？
梳理 判定定理
表示
定理
圖形
文字
符號
直線與平面平行的判定定理
2、
若平面外一條直線與__ __________________________，則該直線與此平面平行
?a∥α
知識點(diǎn)二 平面與平面平行的判定定理
思考1 三角板的一條邊所在平面與平面α平行，這個三角板所在平面與平面α平行嗎？
思考2 三角板的兩條邊所在直線分別與平面α平行，這個三角板所在平面與平面α平行嗎？
梳理 判定定理
表示
定理
圖形
文字
符號
平面與平面平行的判定定理
如果一個平面內(nèi)的______________都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行
?α∥β
類型一 直線與平面平行的判定問題
例
3、1 如圖，S是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是SA，BD上的點(diǎn)，且＝.
求證：MN∥平面SBC.
引申探究
本例中若M，N分別是SA，BD的中點(diǎn)，試證明MN∥平面SBC.
反思與感悟 利用直線與平面平行的判定定理證線面平行的步驟
上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：利用三角形、梯形中位線的性質(zhì)；利用平行四邊形的性質(zhì)；利用平行線分線段成比例定理．
跟蹤訓(xùn)練1 在四面體A－BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________．
例2 如圖，在三棱柱ABC－A1B1
4、C1中，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面A1CD.
反思與感悟 證明以柱體為背景包裝的線面平行證明題時，常用線面平行的判定定理，遇到題目中含有線段中點(diǎn)時，常利用取中點(diǎn)去尋找平行線．
跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示，已知長方體ABCD－A1B1C1D1.
(1)求證：BC1∥平面AB1D1；
(2)若E，F(xiàn)分別是D1C，BD的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ADD1A1.
類型二 平面與平面平行的判定
例3 如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1
5、，A1C1的中點(diǎn)，求證：
(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
反思與感悟 判定平面與平面平行的四種常用方法
(1)定義法：證明兩個平面沒有公共點(diǎn)，通常采用反證法．
(2)利用判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面．證明時應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個平面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．
(3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β.
(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
跟蹤訓(xùn)練
6、3 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO?
1．在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，則正方體的六個面中與EF平行的平面有( )
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
2．過直線l外兩點(diǎn)，作與l平行的平面，則這樣的平面( )
A．不可能作出
B．只能作出一個
C．能作出無數(shù)個
D．上述三種情況都存在
3．在正方體EFGH－E1F
7、1G1H1中，下列四對截面彼此平行的一對是( )
A．平面E1FG1與平面EGH1
B．平面FHG1與平面F1H1G
C．平面F1H1H與平面FHE1
D．平面E1HG1與平面EH1G
4．經(jīng)過平面α外兩點(diǎn)，作與α平行的平面，則這樣的平面可以作( )
A．1個或2個 B．0個或1個
C．1個 D．0個
5. 如圖，四棱錐P－ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F(xiàn)、E分別是PA，AD的中點(diǎn)，求證：平面PCD∥平面FEB.
1．直線與平面平行的關(guān)鍵是在已知平面內(nèi)找一條直線和已知直線平行，即要證直線和平面平行，
8、先證直線和直線平行，即由立體向平面轉(zhuǎn)化，由高維向低維轉(zhuǎn)化．
2．證明面面平行的一般思路：線線平行?線面平行?面面平行．
3．準(zhǔn)確把握線面平行及面面平行兩個判定定理，是對線面關(guān)系及面面關(guān)系作出正確推斷的關(guān)鍵．
答案精析
問題導(dǎo)學(xué)
知識點(diǎn)一
思考 平行．
梳理 此平面內(nèi)一條直線平行
知識點(diǎn)二
思考1 不一定．
思考2 平行．
梳理 兩條相交直線 a∩b＝P
題型探究
例1 證明 連接AN并延長交BC于點(diǎn)P，連接SP.
因為AD∥BC，所以＝，
又因為＝，
所以＝，所以MN∥SP，
又MN 平面SBC，SP平面SBC，
所以MN∥平面SBC.
引申探究
9、證明 連接AC，由平行四邊形的性質(zhì)可知，AC必過BD的中點(diǎn)N，在△SAC中，M，N分別為SA，AC的中點(diǎn)，MN∥SC，又因為SC平面SBC，MN?平面SBC，所以MN∥平面SBC.
跟蹤訓(xùn)練1 平面ABD與平面ABC
解析 如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE.
則EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以MN∥AB.
又AB平面ABD，MN 平面ABD，
所以MN∥平面ABD，
同理，AB平面ABC，MN 平面ABC，
所以MN∥平面ABC.
例2 證明 ∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，F(xiàn)為A1C1的中點(diǎn)，
∴A1F綊AC，
∵D、E分別是棱AB，B
10、C的中點(diǎn)，
∴DE綊AC，
∴A1F綊DE，
則四邊形A1DEF為平行四邊形，
∴EF∥A1D.
又EF 平面A1CD且A1D平面A1CD，
∴EF∥平面A1CD.
跟蹤訓(xùn)練2 證明 (1)∵BC1 平面AB1D1，AD1平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.
(2)∵點(diǎn)F為BD的中點(diǎn)，∴F為AC的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)E為D1C的中點(diǎn)，∴EF∥AD1，∵EF 平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.
例3 證明 (1)因為G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，
所以GH是△A1B1C1的中位線，
所以GH∥B1C1.
又因為
11、B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．
(2)因為E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，
所以EF∥BC.
因為EF 平面BCHG，BC平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因為A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四邊形A1EBG是平行四邊形，
所以A1E∥GB.
因為A1E 平面BCHG，GB平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因為A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
跟蹤訓(xùn)練3 解 當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時，平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，連接PQ，如圖，易證四邊形PQBA是平行四邊形，
12、∴QB∥PA.
又∵AP平面APO，QB 平面APO，
∴QB∥平面APO.
∵P，O分別為DD1，DB的中點(diǎn)，
∴D1B∥PO.
同理可得D1B∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO.
當(dāng)堂訓(xùn)練
1．D 2.D 3.A 4.B
5．證明 連接BD，在△ABD中，
∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等邊三角形，E為AD的中點(diǎn)，
∴BE⊥AD，又CD⊥AD，
∴在四邊形ABCD中，BE∥CD.
又CD 平面FEB，BE平面FEB，
∴CD∥平面FEB.
在△APD中，EF∥PD，
同理可得PD∥平面FEB.
又CD∩PD＝D，
∴平面PCD∥平面FEB.
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