2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 2.1 一元二次不等式的解法學(xué)案 北師大版必修5

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1、 2．1　一元二次不等式的解法 學(xué)習(xí)目標　1.理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系.2.掌握圖像法解一元二次不等式.3.體會數(shù)形結(jié)合、分類討論思想． 知識點一　一元二次不等式的概念 思考　我們知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一個元素均可使等式成立．那么你能寫出不等式x2>1的解集嗎？　 梳理　(1)形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式． (2)使某個一元二次不等式成立的x的值叫這個一元二次不等式的解． (3)一元二次不等式所有解組成的集，叫作一元二次不等式的解集． 知識點二　“

2、三個二次”的關(guān)系 思考　分析二次函數(shù)y＝x2－1與一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之間的關(guān)系． 梳理　一元二次不等式與相應(yīng)的一元二次方程、二次函數(shù)的聯(lián)系，如下表． Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖像 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 沒有實數(shù)根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 ? 知識點三　一元二次不等式的解法 思考　根據(jù)上表，嘗試解不等式x2＋2>3x. 梳理　解一元二次方程的步

3、驟 解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步： (1)確定對應(yīng)方程ax2＋bx＋c＝0的解； (2)畫出對應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像簡圖； (3)由圖像得出不等式的解集． 類型一　一元二次不等式的解法 命題角度1　二次項系數(shù)大于0 例1　求不等式4x2－4x＋1>0的解集． 反思與感悟　當所給不等式是非一般形式的不等式時，應(yīng)先化為一般形式，在具體求解一個一般形式的一元二次不等式的過程中，要密切結(jié)合一元二次方程的根的情況以及二次函數(shù)的圖像． 跟蹤訓(xùn)練1　求不等式2x2－3x－2≥0的解集． 命題角度2　二次項系

4、數(shù)小于0 例2　解不等式－x2＋2x－3>0. 反思與感悟　將－x2＋2x－3>0轉(zhuǎn)化為x2－2x＋3<0的過程注意符號的變化，這是解本題關(guān)鍵之處． 跟蹤訓(xùn)練2　求不等式－3x2＋6x>2的解集． 命題角度3　含參數(shù)的二次不等式 例3　解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0. 反思與感悟　解含參數(shù)的不等式，可以按常規(guī)思路進行：先考慮開口方向，再考慮判別式的正負，最后考慮兩根的大小關(guān)系，當遇到不確定因素時再討論． 跟蹤訓(xùn)練3　解關(guān)于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0. 類型二　“三個二次”間對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用 例4　已知關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集為{x|1＜x＜

5、2}，試求關(guān)于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 反思與感悟　給出一元二次不等式的解集，相當于知道了相應(yīng)二次函數(shù)的開口及與x軸的交點，可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練4　已知不等式ax2－bx＋2<0的解集為{x|10的解集是(　　) A. B．{x|x＞1} C．{x|x＜1或x＞2} D. 2．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是(　　) A. B. C. D. 3．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7

6、C．3 D．4 4．不等式x2＋x－2<0的解集為_________________________________________________． 5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍． 1．解一元二次不等式的常見方法 (1)圖像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟 ①化不等式為標準形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并畫出對應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖像的簡圖； ③由圖像得出不等式的解集． (2

7、)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解． 當m0，則可得x>n或x0，a<0，a＝0. (2)關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的討論：兩根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ<0)． (3)關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的大小的討論：x1>x2，x1＝x2，x1

8、2. 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識點一 思考　不等式x2>1的解集為{x|x<－1或x>1}，該集合中每一個元素都是不等式的解，而不等式的每一個解均屬于解集． 知識點二 思考　x2－1>0y＝x2－1x2－1＝0. 梳理　有兩相異實根x1，x2(x1x2}　{x|x10. ∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2， ∴原不等式的解集為{x|x<1或x>2}． 題型探究 例1　解　因為Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x

9、1＝x2＝， 所以原不等式的解集為. 跟蹤訓(xùn)練1　解　∵2x2－3x－2＝0的兩解為x1＝－，x2＝2， 且a＝2>0， ∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是 {x|x≤－或x≥2}． 例2　解　不等式可化為x2－2x＋3<0. 因為Δ<0，方程x2－2x＋3＝0無實數(shù)解， 而y＝x2－2x＋3的圖像開口向上， 所以原不等式的解集是?. 跟蹤訓(xùn)練2　解　不等式可化為3x2－6x＋2<0， ∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0， ∴x1＝1－，x2＝1＋， ∴不等式－3x2＋6x>2的解集是 {x|1－

10、(x－1)＞0， ∵a＜0，∴＜1， ∴不等式的解集為{x|x＜或x＞1}． 當a＝0時，不等式即－x＋1＜0，解集為{x|x＞1}． 當a＞0時，不等式可化為 (x－)(x－1)＜0. 當0＜a＜1時，＞1，不等式的解集為{x|1＜x＜}． 當a＝1時，不等式的解集為?. 當a＞1時，＜1，不等式的解集為 {x|＜x＜1}． 綜上，當a＜0時，解集為{x|x＜或x＞1}； 當a＝0時，解集為{x|x＞1}； 當0＜a＜1時，解集為{x|1＜x＜}； 當a＝1時，解集為?； 當a＞1時，解集為{x|＜x＜1}． 跟蹤訓(xùn)練3　解　當a＜0或a＞1時，有a＜a2，此時

11、，不等式的解集為{x|a＜x＜a2}； 當0＜a＜1時，有a2＜a，此時，不等式的解集為{x|a2＜x＜a}； 當a＝0或a＝1時，原不等式無解． 綜上，當a＜0或a＞1時，原不等式的解集為{x|a＜x＜a2}； 當0＜a＜1時，原不等式的解集為 {x|a2＜x＜a}； 當a＝0或a＝1時，解集為?. 例4　解　由根與系數(shù)的關(guān)系，可得 即 ∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0. 由2x2－3x＋1>0，解得x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集為. 跟蹤訓(xùn)練4　解　方法一　由題設(shè)條件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的兩實根． 由根與系數(shù)的關(guān)系，知解得 方法二　把x＝1,2分別代入方程ax2－bx＋2＝0中， 得解得 當堂訓(xùn)練 1．D　2.B　3.C　4.{x|－2