《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計案例 1.3 可線性化的回歸分析學(xué)案 北師大版選修2-3》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計案例 1.3 可線性化的回歸分析學(xué)案 北師大版選修2-3(8頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1.3 可線性化的回歸分析
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解回歸分析的基本思想.2.通過可線性化的回歸分析,判斷幾種不同模型的擬合程度.
知識點(diǎn)一 常見的可線性化的回歸模型
冪函數(shù)曲線____________,指數(shù)曲線____________.
倒指數(shù)曲線____________,對數(shù)曲線____________.
知識點(diǎn)二 可線性化的回歸分析
思考1 有些變量間的關(guān)系并不是線性相關(guān)關(guān)系,怎樣確定回歸模型?
思考2 如果兩個變量呈現(xiàn)非線性相關(guān)關(guān)系,怎樣求出回歸方程?
梳理 在大量的實(shí)際問題中,所研究的兩個變量不一定都呈線性相關(guān)關(guān)系,它們之間可能呈指數(shù)關(guān)系
2、或?qū)?shù)關(guān)系等非線性關(guān)系.在某些情況下可以借助線性回歸模型研究呈非線性關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系.
類型一 給定函數(shù)模型,求回歸方程
例1 在彩色顯影中,由經(jīng)驗(yàn)可知:形成染料光學(xué)密度y與析出銀的光學(xué)密度x由公式y(tǒng)=Ae (b<0)表示.現(xiàn)測得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:
xi
0.05
0.06
0.25
0.31
0.07
0.10
yi
0.10
0.14
1.00
1.12
0.23
0.37
xi
0.38
0.43
0.14
0.20
0.47
yi
1.19
1.25
0.59
0.79
1.29
試求y對x的回歸方程.
3、
跟蹤訓(xùn)練1 在試驗(yàn)中得到變量y與x的數(shù)據(jù)如下表:
x
0.066 7
0.038 8
0.033 3
0.027 3
0.022 5
y
39.4
42.9
41.0
43.1
49.2
由經(jīng)驗(yàn)知,y與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,試求y與x之間的回歸曲線方程,當(dāng)x0=0.038時,預(yù)測y0的值.
類型二 選取函數(shù)模型,求回歸方程
例2 下表所示是一組試驗(yàn)數(shù)據(jù):
x
0.5
0.25
0.125
0.1
y
64
138
205
285
360
(1)作出散點(diǎn)圖,并猜測y與x之間的關(guān)系
4、;
(2)利用所得的函數(shù)模型,預(yù)測x=10時y的值.
反思與感悟 實(shí)際問題中非線性相關(guān)的函數(shù)模型的選取
(1)采集數(shù)據(jù),畫出散點(diǎn)圖.
(2)根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布狀態(tài),選取所有可能的函數(shù)類型.
(3)作變量代換,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù).
(4)作出線性相關(guān)的散點(diǎn)圖,或計算線性相關(guān)系數(shù)r,通過比較選定函數(shù)模型.
(5)求回歸直線方程,并檢查.
(6)作出預(yù)報.
跟蹤訓(xùn)練2 對兩個變量x,y取得4組數(shù)據(jù)(1,1),(2,1.2),(3,1.3),(4,1.37),甲、乙、丙三人分別求得數(shù)學(xué)模型如下:
甲 y=0.1x+1,
乙 y=-0.05x
5、2+0.35x+0.7,
丙 y=-0.8·0.5x+1.4,試判斷三人誰的數(shù)學(xué)模型更接近于客觀實(shí)際.
1.指數(shù)曲線y=3e-2x的圖像為圖中的( )
2.對于指數(shù)曲線y=aebx,令u=ln y,c=ln a,經(jīng)過非線性化回歸分析之后,可以轉(zhuǎn)化成的形式為( )
A.u=c+bx B.u=b+cx
C.y=b+cx D.y=c+bx
3.在一次試驗(yàn)中,當(dāng)變量x的取值分別為1,,,時,變量y的值分別為2,3,4,5,則y與的回歸方程為( )
A.y=+1 B.y=+3
C.y=2x+1 D.y=x-1
6、4.某地今年上半年患某種傳染病的人數(shù)y(人)與月份x(月)之間滿足函數(shù)關(guān)系,模型為y=aebx,確定這個函數(shù)解析式為________________.
月份x/月
1
2
3
4
5
6
人數(shù)y/人
52
61
68
74
78
83
1.對于具有非線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量,可以通過對變量進(jìn)行變換,轉(zhuǎn)化為線性回歸問題去解決.
2.建立回歸模型的步驟
(1)確定研究對象,明確變量關(guān)系.
(2)畫出散點(diǎn)圖,觀察變量之間的關(guān)系.
(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型.
(4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù).
答案精析
問題導(dǎo)學(xué)
知識點(diǎn)一
y=axb
7、 y=aebx y=a y=a+bln x
知識點(diǎn)二
思考1 首先要作出散點(diǎn)圖,如果散點(diǎn)圖中的樣本點(diǎn)并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi),則兩個變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系,不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系.這時可以根據(jù)已有的函數(shù)知識,觀察樣本點(diǎn)是否呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系或二次函數(shù)關(guān)系,選定適當(dāng)?shù)幕貧w模型.
思考2 可以通過對解釋變量進(jìn)行變換,如對數(shù)變換或平方變換,先得到另外兩個變量間的回歸方程,再得到所求兩個變量的回歸方程.
題型探究
例1 解 由題意知,對于給定的公式y(tǒng)=A(b<0)兩邊取自然對數(shù),得ln y=ln A+,與線性回歸方程相對照可以看出,只要取u=,v=ln y,a=ln
8、A,就有v=a+bu.
這是v對u的線性回歸方程,對此我們再套用相關(guān)性檢驗(yàn),求回歸系數(shù)b和a.題目中所給的數(shù)據(jù)由變換u=,v=ln y,變?yōu)槿缦卤硭镜臄?shù)據(jù).
ui
20.000
16.667
4.000
3.226
14.286
10.000
vi
-2.303
-1.966
0
0.113
-1.470
-0.994
ui
2.632
2.326
7.143
5.000
2.128
vi
0.174
0.223
-0.528
-0.236
0.255
可求得b≈-0.146,a≈0.548,
∴v=0.548-0.146
9、u.
把u和v轉(zhuǎn)換回來,可得ln y=0.548-.
∴y==e0.548·≈1.73,
∴回歸曲線方程為y=1.73.
跟蹤訓(xùn)練1 解 令z=,則y=a+bz,由已知數(shù)據(jù)制成下表:
z=
14.992 5
25.773 2
30.030 0
36.630 0
44.444
y
39.4
42.9
41.0
43.1
49.2
計算得=30.373 9,=43.120 0,
ziyi=6 693.002 6,
z=5 107.859 8.
∴5 =6 548.612 8,52=4 612.869 0.
于是有b==
≈0.291 7.
∴a=-
10、b≈34.26.
∴y與x之間的回歸曲線方程是y=34.26+.
當(dāng)x0=0.038時,y0≈41.94,即y0的值約為41.94.
例2 解 (1)散點(diǎn)圖如圖所示,從散點(diǎn)圖可以看出y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系.
根據(jù)已有知識發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在函數(shù)y=+a的圖像的周圍,其中a,b為待定參數(shù),令x′=,y′=y(tǒng),由已知數(shù)據(jù)制成下表:
序號i
x′i
y′i
x′
y′
x′iy′i
1
2
64
4
4 096
128
2
4
138
16
19 044
552
3
6
205
36
42 025
1 230
4
8
285
64
11、81 225
2 280
5
10
360
100
129 600
3 600
∑
30
1 052
220
275 990
7 790
′=6,′=210.4,
故x′-5(′)2=40,
y′-5(′)2=54 649.2,
r=≈0.999 7,
由于r非常接近于1,
∴x′與y′具有很強(qiáng)的線性關(guān)系,計算知,
b≈36.95,a=210.4-36.95×6=-11.3,
∴y′=-11.3+36.95x′,
∴y對x的回歸曲線方程為y=-11.3.
(2)當(dāng)x=10時,y=-11.3=-7.605.
跟蹤訓(xùn)練2 解 甲模型,當(dāng)x=1時,
12、y=1.1;當(dāng)x=2時,y=1.2;
當(dāng)x=3時,y=1.3;當(dāng)x=4時,y=1.4.
乙模型,當(dāng)x=1時,y=1;當(dāng)x=2時,y=1.2;
當(dāng)x=3時,y=1.3;當(dāng)x=4時,y=1.3.
丙模型,當(dāng)x=1時,y=1;當(dāng)x=2時,y=1.2;
當(dāng)x=3時,y=1.3;當(dāng)x=4時,y=1.35.
觀察4組數(shù)據(jù)并對照知,丙的數(shù)學(xué)模型更接近于客觀實(shí)際.
當(dāng)堂訓(xùn)練
1.B 2.A 3.A
4.y=e3.910 3+0.090 5x
解析 設(shè)u=ln y,c=ln a,得u=c+bx,
則u與x的數(shù)據(jù)關(guān)系如下表:
x
1
2
3
4
5
6
u=ln y
3.95
4.11
4.22
4.30
4.36
4.42
由上表,得xi=21,ui=25.36,
x=91,u=107.339,
xiui=90.35,
=3.5,=4.227,
∴b==≈0.090 5.
c=-b=4.227-0.090 5×3.5=3.910 3,
∴y=e3.910 3+0.090 5x
8