2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.2.1 函數(shù)的單調(diào)性（一）學(xué)案 蘇教版必修1

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1、 2．2.1　函數(shù)的單調(diào)性(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解函數(shù)單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念.2.會(huì)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性.3.會(huì)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 知識(shí)點(diǎn)一　函數(shù)的單調(diào)性 思考　畫出函數(shù)f(x)＝x、f(x)＝x2的圖象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的圖象的升降情況如何？ 　 　 　 梳理　一般地，單調(diào)性是相對(duì)于區(qū)間來(lái)說(shuō)的，函數(shù)圖象在某區(qū)間上上升，則函數(shù)在該區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，該區(qū)間稱為單調(diào)增區(qū)間．反之則為單調(diào)減函數(shù)，相應(yīng)區(qū)間稱為單調(diào)減區(qū)間．因?yàn)楹芏鄷r(shí)候我們不知道函數(shù)圖象是什么樣的，而且用上升下降來(lái)刻畫單調(diào)性很粗糙．所以有以下定義： 設(shè)函數(shù)

2、y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間I?A. (1)如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1f(x2)，那么就說(shuō)y＝f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，I稱為y＝f(x)的單調(diào)減區(qū)間． 單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間． 知識(shí)點(diǎn)二　函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 思考　我們已經(jīng)知道f(x)＝x2的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，0]，f(x)＝的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，0)，這兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間的書寫形式能不能交換？ 　

3、 　 　 梳理　一般地，有下列常識(shí) (1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問(wèn)題，所以單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬于定義域，則該點(diǎn)處區(qū)間可開(kāi)可閉，若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開(kāi)． (2)單調(diào)區(qū)間D?定義域I. (3)遵循最簡(jiǎn)原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大． 類型一　求單調(diào)區(qū)間并判斷單調(diào)性 例1　如圖是定義在區(qū)間[－5,5]上的函數(shù)y＝f(x)，根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)？ 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單調(diào)區(qū)間是定義

4、域的子集；當(dāng)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)以上單調(diào)區(qū)間時(shí)，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開(kāi)，不能用“∪”，可以用“和”來(lái)表示；在單調(diào)區(qū)間D上函數(shù)要么是單調(diào)增函數(shù)，要么是單調(diào)減函數(shù)，不能二者兼有． 跟蹤訓(xùn)練1　寫出函數(shù)y＝|x2－2x－3|的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性． 　 　 　 　 　 　 　 類型二　證明單調(diào)性 命題角度1　證明具體函數(shù)的單調(diào)性 例2　證明f(x)＝在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)． 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　運(yùn)用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)給定的區(qū)間上任意取x1，x2且x1

5、2的條件下，轉(zhuǎn)化為確定f(x1)與f(x2)的大小，要牢記五大步驟：取值→作差→變形→定號(hào)→小結(jié)． 跟蹤訓(xùn)練2　求證：函數(shù)f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)． 　 　 　 　 　 　 命題角度2　證明抽象函數(shù)的單調(diào)性 例3　已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1.求證：函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)． 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助題目提

6、供的函數(shù)性質(zhì)來(lái)確定f(x1)－f(x2)的大小，這時(shí)就需要根據(jù)解題需要對(duì)抽象函數(shù)進(jìn)行賦值． 跟蹤訓(xùn)練3　已知函數(shù)f(x)的定義域是R，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且當(dāng)x>0時(shí)，0

7、一定是連續(xù)不斷的． 跟蹤訓(xùn)練4　已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3在區(qū)間[1,2]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______________． 命題角度2　用單調(diào)性解不等式 例5　已知y＝f(x)在定義域(－1,1)上是單調(diào)減函數(shù)，且f(1－a)

8、 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－2,2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是________． 2．函數(shù)y＝的單調(diào)減區(qū)間是________． 3．在下列函數(shù)f(x)中，滿足對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1f(x2)的是________．(填序號(hào)) ①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝|x|； ④f(x)＝2x＋1. 4．給出下列說(shuō)法： ①若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(3)＞f(2)，則函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)增函數(shù)；

9、 ②若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(3)＞f(2)，則函數(shù)f(x)在R上不可能為單調(diào)減函數(shù)； ③函數(shù)f(x)＝－在(－∞，0)∪(0，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)；④函數(shù)f(x)＝在定義域R上為單調(diào)增函數(shù)． 其中說(shuō)法正確的是________．(填序號(hào)) 5．若函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)，且f(|x|)>f(1)，則x的取值范圍是________． 1．若f(x)的定義域?yàn)镈，A?D，B?D，f(x)在A和B上都為單調(diào)減函數(shù)，未必有f(x)在A∪B上為單調(diào)減函數(shù)． 2．對(duì)單調(diào)增函數(shù)的判斷，對(duì)任意x1

10、x1)－f(x2)]>0或>0.對(duì)單調(diào)減函數(shù)的判斷，對(duì)任意x1f(x2)，相應(yīng)地也可用一個(gè)不等式來(lái)替代：(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0或<0. 3．熟悉常見(jiàn)的一些函數(shù)的單調(diào)性，包括一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等． 4．若f(x)，g(x)都是單調(diào)增函數(shù)，h(x)是單調(diào)減函數(shù)，則：①在定義域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)為單調(diào)增函數(shù)，f(x)－h(huán)(x)為單調(diào)增函數(shù)，②－f(x)為單調(diào)減函數(shù)，③為單調(diào)減函數(shù)(f(x)≠0)． 5．對(duì)于函數(shù)值恒正(或恒負(fù))的函數(shù)f(x)，證明單調(diào)性時(shí)，也可以作商與1比較． 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思

11、考　兩函數(shù)的圖象如下： 函數(shù)f(x)＝x的圖象由左到右是上升的；函數(shù)f(x)＝x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的． 知識(shí)點(diǎn)二 思考　f(x)＝x2的單調(diào)減區(qū)間可以寫成(－∞，0)，而f(x)＝的單調(diào)減區(qū)間(－∞，0)不能寫成(－∞，0]，因?yàn)?不屬于f(x)＝的定義域． 題型探究 例1　解　y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在區(qū)間[－5，－2]，[1,3]上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間[－2,1]，[3,5]上是單調(diào)增函數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練1　解　先畫出f(x)＝的圖象，如圖． 所以y＝|x2－2x－3|的單調(diào)區(qū)

12、間有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中單調(diào)減區(qū)間是(－∞，－1]，[1,3]；單調(diào)增區(qū)間是[－1,1]，[3，＋∞)． 例2　證明　f(x)＝的定義域?yàn)閇0，＋∞)． 設(shè)x1，x2是定義域[0，＋∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x10， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

13、＝(x1－x2)＋(－) ＝(x1－x2)＋ ＝(x1－x2)(1－) ＝(x1－x2)()． ∵1≤x10，故(x1－x2)()<0， 即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)x2.令x＋y＝x1，y＝x2，則x＝x1－x2>0. f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1. ∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0， ∴f(x1)－f(

14、x2)>0，即f(x1)>f(x2)． ∴函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)． 方法二　設(shè)x1>x2，則x1－x2>0， 從而f(x1－x2)>1， 即f(x1－x2)－1>0. f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)] ＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2)， 故f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練3　證明　∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，令m＝1，n＝0，可得f(1)＝f(1)·f(0)， ∵當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f(x)＜1，∴f(1)≠0，∴f(0)＝1. 令m＝x＜0，n＝－x＞0， 則f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，

15、 ∴f(x)f(－x)＝1， 又∵－x＞0時(shí)，0＜f(－x)＜1， ∴f(x)＝＞1. ∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f(x)恒大于0. 設(shè)任意x10， ∴0

16、(－∞，a]，而f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)，所以[1,2]?[a，＋∞)或[1,2]?(－∞，a]，即a≤1或a≥2. 例5　解　f(1－a)， ∴所求a的取值范圍是(，＋∞)． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．[－2,1]　2.(－∞，0)，(0，＋∞) 3．② 4．②④ 解析　由單調(diào)增函數(shù)的定義，可知①錯(cuò)誤；由單調(diào)減函數(shù)的定義，可知②正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)，所以③錯(cuò)誤；作出函數(shù)f(x)＝的圖象，如圖所示，由圖象可知④正確． 5．(－1,1) 12