2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 4 用向量討論垂直與平行（一）學(xué)案 北師大版選修2-1

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1、 4 用向量討論垂直與平行（一） 學(xué)習(xí)目標　1.會用待定系數(shù)法求平面的法向量.2.能用向量法證明直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行問題. 知識點一　空間中平行關(guān)系的向量表示 設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則 線線平行 l∥m?________?a＝kb(k∈R) 線面平行 l∥α?a⊥μ?__________ 面面平行 α∥β?μ∥v?____________ 知識點二　利用空間向量處理平行問題 思考　(1)設(shè)v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分別是直線l1，l2的方向向量.若直線l1∥l2，則向量

2、v1，v2應(yīng)滿足什么關(guān)系. (2)若已知平面外一直線的方向向量和平面的法向量，則這兩向量滿足哪些條件可說明直線與平面平行？ (3)用向量法處理空間中兩平面平行的關(guān)鍵是什么？ 梳理　利用空間向量解決平行問題時，第一，建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第二，通過向量的運算，研究平行問題；第三，把向量問題再轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的立體幾何問題，從而得出結(jié)論. 類型一　求直線的方向向量、平面的法向量 例1　如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點.AB＝AP＝1，AD＝，試

3、建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，求平面ACE的一個法向量. 引申探究 若本例條件不變，試求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量.　 反思與感悟　利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟 (1)設(shè)向量：設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z). (2)選向量：在平面內(nèi)選取兩個不共線向量，. (3)列方程組：由列出方程組. (4)解方程組： (5)賦非零值：取其中一個為非零值(常取±1). (6)得結(jié)論：得到平面的一個法向量. 跟蹤訓(xùn)練1　如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是邊長為1的正三角形，ABC

4、D是菱形.∠ABC＝60°，E是PC的中點，F(xiàn)是AB的中點，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，求平面DEF的法向量. 類型二　利用空間向量證明平行問題 例2　已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點，求證： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. 反思與感悟　利用向量證明平行問題，可以先建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關(guān)系證明平行問題. 跟蹤訓(xùn)練2　如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角

5、梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，問在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E點的位置；若不存在，請說明理由. 1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為(　　) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 2.已知直線l1的方向向量為a＝(2，－3,5)，直線l2的方向向量為b＝(－4，x，y)，若l1∥l2，則x，y的值分別是(　　) A.6和－10 B.－6和10 C.－6和－10 D.6和10 3.若μ＝(2，－

6、3,1)是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α的法向量的是(　　) A.(0，－3,1) B.(2,0,1) C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1) 4.若直線l∥α，且l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為，則m為(　　) A.－4 B.－6 C.－8 D.8 5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1的一個法向量為________. 1.應(yīng)用向量法證明線面平行問題的方法 (1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直. (2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一直線的方向向量共線. (3)證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的任兩

7、個不共線的向量表示.即用平面向量基本定理證明線面平行. 2.證明面面平行的方法 設(shè)平面α的法向量為n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R). 提醒：完成作業(yè)　第二章　§4(一) 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識點一 a∥b　a·μ＝0　μ＝kv(k∈R) 知識點二 思考　(1)由直線方向向量的定義知，若直線l1∥l2，則直線l1，l2的方向向量共線，即l1∥l2?v1∥v2?v1＝λv2(λ∈R). (2) 可探究直線的方向向量與平面的法向量是否垂直，進而確定線面是否平行.

8、 (3)關(guān)鍵是找到兩個平面的法向量，利用法向量平行來說明兩平面平行. 題型探究 例1　解　因為PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直. 如圖，以A為坐標原點，的方向為x軸的正方向， 建立空間直角坐標系，則 D(0，，0)，E(0，，)，B(1,0,0)， C(1，，0)， 于是＝(0，，)，＝(1，，0). 設(shè)n＝(x，y，z)為平面ACE的法向量， 則即 所以 令y＝－1，則x＝z＝. 所以平面ACE的一個法向量為n＝(，－1，). 引申探究 解　如圖所示，建立空間直角坐標系，則P(0,0,1)，C(1，，0)， 所以＝(1

9、，，－1)， 即為直線PC的一個方向向量. 設(shè)平面PCD的法向量為n＝(x，y，z). 因為D(0，，0)，所以＝(0，，－1). 由即 所以令y＝1，則z＝. 所以平面PCD的一個法向量為n＝(0,1，). 跟蹤訓(xùn)練1　解　因為PA＝PB，F(xiàn)為AB的中點，所以PF⊥AB. 又因為平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF平面PAB， 所以PF⊥平面ABCD，因為AB＝BC，∠ABC＝60°， 所以△ABC是等邊三角形，所以CF⊥AB. 以F為坐標原點，建立空間直角坐標系(如圖所示). 由題意得F(0,0,0)，P(0,0，)， D(－1，，

10、0)， C(0，，0)，E(0，，). 所以＝(0，，)，＝(－1，，0). 設(shè)平面DEF的法向量為m＝(x，y，z). 則即 所以令y＝2，則x＝， z＝－2. 所以平面DEF的一個法向量為m＝(，2，－2). 例2　證明　(1)建立如圖所示空間直角坐標系，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)， F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1). 設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 則n1⊥，n1⊥， 即 得 令z1＝2，則y1＝－1，所

11、以n1＝(0，－1,2). 因為·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1. 又因為FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE. (2)因為＝(2,0,0)，設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量.由n2⊥，n2⊥， 得 得 令z2＝2，得y2＝－1， 所以n2＝(0，－1,2)， 因為n1＝n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 跟蹤訓(xùn)練2　解　分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系， ∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0). 設(shè)E(0，y，z)，則＝(0，y，z－1)， ＝(0,2，－1). ∵∥， ∴y(－1)－2(z－1)＝0. ① ∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量， 又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB， ∴⊥，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0， ∴y＝1，代入①得z＝，∴E是PD的中點， ∴存在E點，當(dāng)點E為PD中點時，CE∥平面PAB. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.A　2.A　3.D　4.C 5.(1,1,1)(答案不唯一) 8