2017-2018版高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 2 充分條件與必要條件學案 北師大版選修2-1

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1、 2 充分條件與必要條件 學習目標　1.理解充分條件、必要條件、充要條件的定義.2.會求某些簡單問題成立的充分條件、必要條件、充要條件.3.能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進行充要條件的證明. 知識點一　充分條件與必要條件 “若p，則q”形式的命題為真命題是指：由條件p可以得到結(jié)論q，通常記作：p?q，讀作“p推出q”.此時我們稱p是q的________條件，同時，我們稱q是p的______條件. 若p?q，但q?p，稱p是q的__________條件，若q?p，但p?q，稱p是q的________條件. 知識點二　充要條件 思考　在△ABC中，角A、B、C為它的三個

2、內(nèi)角，則“A、B、C成等差數(shù)列”是“B＝60°”的什么條件？ 梳理　(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q，此時，我們說，p是q的__________條件，簡稱充要條件. (2)充要條件的實質(zhì)是原命題“若p，則q”和其逆命題“若q，則p”均為真命題，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件. (3)從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件. 若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件 若B?A，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件 若A＝B，則p，q互為充要

3、條件 若A?B且B?A，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}. 類型一　判斷充分條件、必要條件、充要條件 命題角度1　在常見數(shù)學問題中的判斷 例1　下列各題中，p是q的什么條件？ (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是矩形； (3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝； (4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0無實根； (5)p：ab≠0，q：直線ax＋by＋c＝0與兩坐標軸都相交. 反思與感悟　判斷充分條件和必要條件的方法：(1)

4、定義法；(2)等價命題法，原命題與其逆否命題是“同真同假”的等價命題，這一點在充要條件的判斷中經(jīng)常用到；(3)集合法，P是Q的充分不必要條件?集合PQ，P是Q的必要不充分條件?集合PQ，P是Q的充要條件?集合P＝Q，P是Q的既不充分也不必要條件?集合P?Q，且P?Q；(4)傳遞法，對于較復(fù)雜的關(guān)系，常用?，?，?等符號進行傳遞，畫出它們的綜合結(jié)構(gòu)圖，可降低解題難度. 跟蹤訓練1　指出下列各題中，p是q的什么條件？ (1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0

5、 命題角度2　在實際問題中的判斷 例2　如圖所示的電路圖中，“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的什么條件？ 反思與感悟　“充分”的含義是“有它即可”，“必要”的含義是“無它不可”.用日常生活中的現(xiàn)象來說明“條件”和“結(jié)論”之間的關(guān)系，更容易理解和接受.用“條件”和“結(jié)論”之間的關(guān)系來解釋生活中的現(xiàn)象，更加明白、透徹. 跟蹤訓練2　俗語云“好人有好報”，“好人”是“有好報”的(　　) A.充分條件 B.必要條件 C.既不充分又不必要條件 D.無法判斷 類型二　充要條件的探求與證明 命題角度1　充要條件的探求 例3　求ax2＋2x＋1＝0至少有一個負實

6、根的充要條件是什么？ 反思與感悟　探求一個命題的充要條件，可以利用定義法進行探求，即分別證明“條件?結(jié)論”和“結(jié)論?條件”，也可以尋求結(jié)論的等價命題，還可以先尋求結(jié)論成立的必要條件，再證明它也是其充分條件. 跟蹤訓練3　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝(n＋1)2＋t(t為常數(shù))，試問t＝－1是否為數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件？請說明理由. 命題角度2　充要條件的證明 例4　已知A，B是直線l上的任意兩點，O是直線l外一點，求證：點P在直線l上的充要條件是＝x＋y，其中x，y∈R，且x＋y＝1. 反思與感悟　證明充要條件時要從充分性

7、和必要性兩個方面分別證明，首先分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，然后確定推出方向，即充分性需要證明“條件”?“結(jié)論”，必要性需要證明“結(jié)論”?“條件”. 跟蹤訓練4　已知ab≠0，求證：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件. 類型三　利用充分條件、必要條件求參數(shù)的值(或范圍) 例5　已知函數(shù)f(x)＝的定義域為A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定義域為B. (1)求A； (2)記p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍. 反思與感悟　在有些含參數(shù)的充要條件問題中，要注意將條件p和q轉(zhuǎn)化

8、為集合，從而轉(zhuǎn)化為兩集合之間的子集關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為不等式(或方程)，從而求得參數(shù)的取值范圍. 根據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)范圍的步驟： (1)記集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}； (2)若p是q的充分不必要條件，則MN，若p是q的必要不充分條件，則NM，若p是q的充要條件，則M＝N； (3)根據(jù)集合的關(guān)系列不等式(組)； (4)求出參數(shù)的范圍. 跟蹤訓練5　設(shè)A＝{y|y＝，x∈R}，B＝{y|y＝x＋m，x∈[－1,1]}，記命題p：“y∈A”，命題q：“y∈B”，若p是q的必要不充分條件，則m的取值范圍為______________. 1.人們常說“無功不

9、受祿”，這句話表明“受祿”是“有功”的(　　) A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 2.設(shè)命題p：x2－3x＋2<0，q：≤0，則p是q的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 3.“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 4.記不等式x2＋x－6<0的解集為集合A，函數(shù)y＝lg(x－a)的定義域為集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為________. 5.

10、“a＝0”是“直線l1：x－2ay－1＝0與l2：2x－2ay－1＝0平行”的________條件. 充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分又不必要條件反映了條件p和結(jié)論q之間的因果關(guān)系，在結(jié)合具體問題進行判斷時，常采用如下方法： (1)定義法：分清條件p和結(jié)論q，然后判斷“p?q”及“q?p”的真假，根據(jù)定義下結(jié)論. (2)等價法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個與之等價的又便于判斷真假的命題. (3)集合法：寫出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之間的包含關(guān)系加以判斷. 提醒：完成作業(yè)　第一章　§2 答案精析 §2　充分條件與必要條件 問題導學

11、 知識點一 充分　必要　充分不必要　必要不充分 知識點二 思考　因為A、B、C成等差數(shù)列，故2B＝A＋C，又因為A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差數(shù)列”是“B＝60°”的充分必要條件. 梳理　(1)充分必要 題型探究 例1　解　(1)∵a＋b＝0?a2＋b2＝0； a2＋b2＝0?a＋b＝0， ∴p是q的必要不充分條件. (2)∵四邊形的對角線相等?四邊形是矩形； 四邊形是矩形?四邊形的對角線相等， ∴p是q的必要不充分條件. (3)∵x＝1或x＝2?x－1＝； x－1＝?x＝1或x＝2， ∴p是q的充要條件. (4)若方程x2

12、－x－m＝0無實根， 則Δ＝1＋4m<0， 即m<－.∵m<－1?m<－； m<－?m<－1， ∴p是q的充分不必要條件. (5)由ab≠0，即a≠0且b≠0，此時直線ax＋by＋c＝0與兩坐標軸都相交；又當ax＋by＋c＝0與兩坐標軸都相交時，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的充要條件. 跟蹤訓練1　解　(1)當a＝0時，1>0滿足題意； 當a≠0時，由可得0

13、，有即p?q. 但? 比如，當α＝1，β＝5時， 而α<2， 所以q?p，所以p是q的充分不必要條件. 例2　解　如圖(1)，閉合開關(guān)A或者閉合開關(guān)C都可能使燈泡B亮.反之，若要燈泡B亮，不一定非要閉合開關(guān)A.因此“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的充分不必要條件.如圖(2)，閉合開關(guān)A而不閉合開關(guān)C，燈泡B不亮.反之，若要燈泡B亮，則開關(guān)A必須閉合，說明“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的必要不充分條件.如圖(3)，閉合開關(guān)A可使燈泡B亮，而燈泡B亮，開關(guān)A一定是閉合的，因此“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的充要條件.如圖(4)，閉合開關(guān)A但不閉合開關(guān)C，燈泡B不亮.反之，燈泡B亮也可不必閉合開關(guān)

14、A，只要閉合開關(guān)C即可，說明“閉合開關(guān)A”是“燈泡B亮”的既不充分又不必要條件. 跟蹤訓練2　A 例3　解　(1)當a＝0時，原方程變?yōu)?x＋1＝0，即x＝－，符合要求. (2)當a≠0時，ax2＋2x＋1＝0為一元二次方程，它有實根的充要條件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1. ①方程ax2＋2x＋1＝0只有一個負根的充要條件是即∴a<0. ②方程ax2＋2x＋1＝0有兩個負根的充要條件是即 ∴0

15、1＝3， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1. 又a1＝3適合上式， ∴an＝2n＋1(n∈N＋)， 又∵an＋1－an＝2(常數(shù))， ∴數(shù)列{an}是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列. 故t＝－1是{an}為等差數(shù)列的充分條件. 必要性：∵{an}為等差數(shù)列， 則2a2＝a1＋a3，解得t＝－1， 故t＝－1是{an}為等差數(shù)列的必要條件. 綜上，t＝－1是數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件. 例4　證明?、俪浞中裕喝酎cP滿足＝x＋y，其中x，y∈R， 且x＋y＝1，消去y，得 ＝x＋(1－x)＝x(－)＋， ∴－＝x(－)， 即＝x. ∴點P在直線AB上

16、，即點P在直線l上. ②必要性：設(shè)點P在直線l上，則由共線向量基本定理知，存在實數(shù)t， 使得＝t＝t(－)， ∴＝＋＝＋t－t ＝(1－t)＋t. 令1－t＝x，t＝y(tǒng)，則＝x＋y，其中x，y∈R，且x＋y＝1. 跟蹤訓練4　證明?、俪浞中裕? ∵a＋b＝1，∴b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0， 即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. ②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，

17、∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0， ∴a2－ab＋b2≠0. ∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1. 綜上可知，當ab≠0時，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件. 例5　解　(1)要使f(x)有意義，則3－(x＋2)(2－x)≥0， 化簡整理得(x＋1)(x－1)≥0， 解得x≤－1或x≥1， ∴A＝{x|x≤－1或x≥1}. (2)要使g(x)有意義， 則(x－a－1)(2a－x)>0， 即(x－a－1)(x－2a)<0， 又∵a<1，∴a＋1>2a， ∴B＝{x|2a