2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專(zhuān)題 專(zhuān)題6 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 突破點(diǎn)15 函數(shù)與方程學(xué)案 文
《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專(zhuān)題 專(zhuān)題6 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 突破點(diǎn)15 函數(shù)與方程學(xué)案 文》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專(zhuān)題 專(zhuān)題6 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 突破點(diǎn)15 函數(shù)與方程學(xué)案 文(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 突破點(diǎn)15 函數(shù)與方程 [核心知識(shí)提煉] 提煉1 函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 (1)代數(shù)法:求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根. (2)幾何法:對(duì)于不能求解的方程,可以將它與函數(shù)y=f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái),并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn). (3)定理法:利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理,即如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn),并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn). 提煉2 已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù),求參數(shù)的值或取值范圍 已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù),求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題,一般利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.要注意觀(guān)察是否需要
2、將一個(gè)復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相對(duì)較為簡(jiǎn)單的函數(shù),常轉(zhuǎn)化為定曲線(xiàn)與動(dòng)直線(xiàn)問(wèn)題. [高考真題回訪(fǎng)] 回訪(fǎng) 已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù),求參數(shù)的值或取值范圍 1.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn),則a=( ) A.- B. C. D.1 C [法一:f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=(x-1)2+a[ex-1+e-(x-1)]-1, 令t=x-1,則g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1. ∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t), ∴函數(shù)g(t)為偶函數(shù). ∵f(x)有唯
3、一零點(diǎn),∴g(t)也有唯一零點(diǎn). 又g(t)為偶函數(shù),由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)=0, ∴2a-1=0,解得a=. 故選C. 法二:f(x)=0?a(ex-1+e-x+1)=-x2+2x. ex-1+e-x+1≥2=2, 當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”. -x2+2x=-(x-1)2+1≤1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”. 若a>0,則a(ex-1+e-x+1)≥2a, 要使f(x)有唯一零點(diǎn),則必有2a=1,即a=. 若a≤0,則f(x)的零點(diǎn)不唯一. 故選C.] 2.(2014·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值
4、范圍是( ) A.(-∞,-2) B.(1,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,-1) A [f′(x)=3ax2-6x, 當(dāng)a=3時(shí),f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2), 則當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)>0; x∈時(shí),f′(x)<0; x∈時(shí),f′(x)>0,注意f(0)=1,f=>0,則f(x)的大致圖象如圖(1)所示. 圖(1) 不符合題意,排除B、C. 當(dāng)a=-時(shí),f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),則當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0,x∈時(shí),f′(x)>0,x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)<0,注意f(0)=1,f=-,則f(x)的大致圖
5、象如圖(2)所示. 圖(2) 不符合題意,排除D.] 熱點(diǎn)題型1 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 題型分析:函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷常與函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性相結(jié)合命題,難度中等偏難. 【例1】(1)(2017·貴陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)=當(dāng)1<a<2時(shí),關(guān)于x的方程f[f(x)]=a實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):04024128】 A.2 B.3 C.4 D.5 (2)已知函數(shù)f(x)=cos x,g(x)=2-|x-2|,x∈[-2,6],則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的所有零點(diǎn)之和為( ) A.6 B.8 C.10 D.12
6、(1)C (2)D [(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=1<a<2,作出函數(shù)f(x)的圖象,令f(x)=t(t>0),則f(t)=a,a∈(1,2),所以t∈∪(e,e2),當(dāng)t∈時(shí),因?yàn)椋?,由f(x)=t可得此時(shí)有兩個(gè)解;當(dāng)t∈(e,e2)時(shí),因?yàn)閑>2,由f(x)=t可得此時(shí)有兩個(gè)解,故關(guān)于x的方程f[f(x)]=a實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為4,故選C. (2)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)之和可轉(zhuǎn)化為f(x)=g(x)的根之和,即轉(zhuǎn)化為y1=f(x)和y2=g(x)兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.又由函數(shù)g(x)=2-|x-2|與f(x)的圖象均關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng),可知函數(shù)h(x)的零點(diǎn)之和為12
7、.] [方法指津] 求解此類(lèi)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題時(shí),通常把它轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=g(x)的實(shí)數(shù)根,也就是函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).其解題的關(guān)鍵步驟為:①分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù);②在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象;③數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù),即原函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 提醒:在畫(huà)函數(shù)圖象時(shí),切忌隨手一畫(huà),注意“草圖不草”,畫(huà)圖時(shí)應(yīng)注意基本初等函數(shù)圖象的應(yīng)用,以及函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等)的適時(shí)運(yùn)用,可加快畫(huà)圖速度,從而將問(wèn)題簡(jiǎn)化. [變式訓(xùn)練1] (1)(2017·武漢一模)已知函數(shù)f
8、(x)=則函數(shù)g(x)=f(1-x)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2017·南昌一模)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且x>0時(shí),f(x)=ln x-x+1,則函數(shù)g(x)=f(x)-ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (1)C (2)C [(1)g(x)=f(1-x)-1 = ? 當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)g(x)有1個(gè)零點(diǎn);當(dāng)x<1時(shí),函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,故選C. (2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ln x-x+1,則f′(x)=-1=,由f′(x)=0得x=1,且x∈(0,1
9、),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,x∈(1,+∞),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x=1時(shí),f(x)有極大值f(1)=0,又奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),作出函數(shù)圖象如圖,由圖可知函數(shù)f(x)與y=ex的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2,則函數(shù)g(x)=f(x)-ex的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2,故選C. ] 熱點(diǎn)題型2 已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍 題型分析:已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想,對(duì)學(xué)生的畫(huà)圖能力有較高要求. 【例2】(1)(2017·焦作二模)已知函數(shù)f(x)=F(x)=f(x)-x-1,且函數(shù)F(x)有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ) A
10、.(-∞,0] B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(0,+∞) (2)(2017·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)=-kx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有且只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):04024129】 A.(0,2) B. C.(0,+∞) D.(0,e) (1)C (2)B [(1)當(dāng)x≤0時(shí),F(xiàn)(x)=ex-x-1,此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)0, 當(dāng)x>0時(shí),F(xiàn)(x)=x[x+(a-1)], ∵函數(shù)F(x)有2個(gè)零點(diǎn), ∴1-a>0,∴a<1.故選C. (2)由題意,知x≠0,函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程-kx=0只有一個(gè)根,即方程=k只有
11、一個(gè)根,則函數(shù)g(x)=與直線(xiàn)y=k只有一個(gè)交點(diǎn).因?yàn)間′(x)=,當(dāng)x<0時(shí),g′(x)>0,當(dāng)0<x<2時(shí),g′(x)<0,當(dāng)x>2時(shí),g′(x)>0,所以函數(shù)g(x)在(-∞,0)上是增函數(shù),在(0,2)上為減函數(shù),在(2,+∞)上為增函數(shù),g(x)的極小值為g(2)=,且x→0,g(x)→+∞;x→-∞,g(x)→0;x→+∞,g(x)→+∞,則g(x)的大致圖象如圖所示,由圖易知0<k<,故選B. ] [方法指津] 求解此類(lèi)逆向問(wèn)題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn):一是將原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題,并進(jìn)行適當(dāng)化簡(jiǎn)、整理;二是構(gòu)造新的函數(shù),把方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新構(gòu)造的兩個(gè)函數(shù)
12、的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題;三是對(duì)新構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行畫(huà)圖;四是觀(guān)察圖象,得參數(shù)的取值范圍. 提醒:把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根,在構(gòu)造兩個(gè)新函數(shù)的過(guò)程中,一般是構(gòu)造圖象易得的函數(shù),最好有一條是直線(xiàn),這樣在判斷參數(shù)的取值范圍時(shí)可快速準(zhǔn)確地得到結(jié)果. [變式訓(xùn)練2] (1)(2016·湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)λ的值是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):04024130】 A. B. C.- D.- (2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,恒有f(x)-f(-x)=0,當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f
13、(x)=x2,若g(x)=f(x)-logax在x∈(0,+∞)上有且僅有三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍為( ) A.[3,5] B.[4,6] C.(3,5) D.(4,6) (1)C (2)C [(1)令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,且f(x)是奇函數(shù),則f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),又因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)函數(shù),所以2x2+1=x-λ只有一個(gè)零點(diǎn),即2x2-x+1+λ=0只有一個(gè)零點(diǎn),則Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-, 故選C. (2)因?yàn)閒(x)-f(-x)=0, 所以f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函數(shù), 根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性作出f(x)的圖象如圖所示: 因?yàn)間(x)=f(x)-logax在x∈(0,+∞)上有且僅有三個(gè)零點(diǎn),所以y=f(x)和y=logax的圖象在(0,+∞)上只有三個(gè)交點(diǎn), 所以解得3<a<5.] 7
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