2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第4節(jié) 平行關(guān)系學(xué)案 北師大版

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1、 第4節(jié) 平行關(guān)系 最新考綱 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點,認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理;2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題. 知 識 梳 理 1.直線與平面平行 (1)直線與平面平行的定義 直線l與平面α沒有公共點,則稱直線l與平面α平行. (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語言 圖形表示 符號表示 判定定理 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線平行于此平面 aα,bα,a∥b?a∥α 性質(zhì)定理 一條直線和一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行

2、 a∥α,aβ,α∩β=b?a∥b 2.平面與平面平行 (1)平面與平面平行的定義 沒有公共點的兩個平面叫作平行平面. (2)判定定理與性質(zhì)定理 文字語言 圖形表示 符號表示 判定定理 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行 aα,bα,a∩b=P,a∥β,b∥β?α∥β 性質(zhì)定理 兩個平面平行,則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面 α∥β,aα?a∥β 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b [常用結(jié)論與微點提醒] 1.平行關(guān)系中的兩個重要結(jié)論 (1)

3、垂直于同一條直線的兩個平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β. (2)平行于同一平面的兩個平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ. 2.線線、線面、面面平行間的轉(zhuǎn)化 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.(  ) (2)若直線a∥平面α,P∈α,則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條.(  ) (3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(  ) (4)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.(  ) 解析 (1)若一條直線和平面內(nèi)的一條直線平

4、行,那么這條直線和這個平面平行或在平面內(nèi),故(1)錯誤. (2)若a∥α,P∈α,則過點P且平行于a的直線只有一條,故(2)錯誤. (3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行或相交,故(3)錯誤. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.(教材習(xí)題改編)下列命題中正確的是(  ) A.若a,b是兩條直線,且a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面 B.若直線a和平面α滿足a∥α,那么a與α內(nèi)的任何直線平行 C.平行于同一條直線的兩個平面平行 D.若直線a,b和平面α滿足a∥b,a∥α,bα,則b∥α 解析 根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知,選D.

5、 答案 D 3.設(shè)α,β是兩個不同的平面,m是直線且mα.“m∥β”是“α∥β”的(  ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 當(dāng)m∥β時,可能α∥β,也可能α與β相交. 當(dāng)α∥β時,由mα可知,m∥β. ∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件. 答案 B 4.(2018·西安模擬)已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,則下列命題中正確的是(  ) A.m∥α,n∥α,則m∥n B.m∥n,m∥α,則n∥α C.m⊥α,m⊥β,則α∥β D.α⊥γ,β⊥γ,則α∥β 解析 

6、A中,m與n平行、相交或異面,A不正確;B中,n∥α或nα,B不正確;根據(jù)線面垂直的性質(zhì),C正確;D中,α∥β或α與β相交,D錯. 答案 C 5.(教材練習(xí)改編)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點,則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________. 解析 連接BD,設(shè)BD∩AC=O,連接EO,在△BDD1中,O為BD的中點,E為DD1的中點,所以EO為△BDD1的中位線,則BD1∥EO,而BD1平面ACE,EO平面ACE,所以BD1∥平面ACE. 答案 平行 考點一 與線、面平行相關(guān)命題的判定 【例1】 (1)(2018·成都診斷)已知m,n是空間

7、中兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且mα,nβ.有下列命題: ①若α∥β,則m∥n; ②若α∥β,則m∥β; ③若α∩β=l,且m⊥l,n⊥l,則α⊥β; ④若α∩β=l,且m⊥l,m⊥n,則α⊥β. 其中真命題的個數(shù)是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(2018·安慶模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分別是棱D1C1,A1D1,BC的中點,點P在BD1上且BP=BD1,則下面說法正確的是________(填序號). ①MN∥平面APC;②C1Q∥平面APC;③A,P,M三點共線;④平面MNQ∥平面APC. 解析 (1

8、)①若α∥β,則m∥n或m,n異面,不正確; ②若α∥β,根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì),可得m∥β,正確; ③若α∩β=l,且m⊥l,n⊥l,則α與β不一定垂直,不正確; ④若α∩β=l,且m⊥l,m⊥n,l與n不一定相交,不能推出α⊥β,不正確. (2)如圖,對于①,連接MN,AC,則MN∥AC,連接AM,CN, 易得AM,CN交于點P,即MN面APC,所以MN∥面APC是錯誤的. 對于②,由①知M,N在平面APC內(nèi),由題易知AN∥C1Q,且AN平面APC,C1Q平面APC. 所以C1Q∥面APC是正確的. 對于③,由①知,A,P,M三點共線是正確的. 對于④,由①知MN

9、面APC,又MN面MNQ,所以面MNQ∥面APC是錯誤的. 答案 (1)B (2)②③ 規(guī)律方法 1.判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假,必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個定義、定理,無論是單項選擇還是含選擇項的填空題,都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項先確定或排除,再逐步判斷其余選項. 2.(1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形,結(jié)合圖形作出判斷. (2)特別注意定理所要求的條件是否完備,圖形是否有特殊情況,通過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確. 【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)m,n是不同的直線,α,β是不同的平面,且m,nα,則“α∥β”是“m∥β且n∥β”的(  ) A.充分不必要條件

10、 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 (2)(2016·全國Ⅱ卷)α,β是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β. ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. ③如果α∥β,mα,那么m∥β. ④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有________(填寫所有正確命題的編號). 解析 (1)若m,nα,α∥β,則m∥β且n∥β;反之若m,nα,m∥β且n∥β,則α與β相交或平行,即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要條件. (2)當(dāng)m⊥n,m⊥α,n∥

11、β時,兩個平面的位置關(guān)系不確定,故①錯誤,經(jīng)判斷知②③④均正確,故正確答案為②③④. 答案 (1)A (2)②③④ 考點二 直線與平面平行的判定與性質(zhì)(多維探究) 命題角度1 直線與平面平行的判定 【例2-1】 (2016·全國Ⅲ卷)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點. (1)證明:MN∥平面PAB; (2)求四面體N-BCM的體積. (1)證明 由已知得AM=AD=2. 如圖,取BP的中點T,連接AT,TN,由N為PC中點知TN∥BC,TN=BC=2. 又AD∥B

12、C,故TN綊AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN∥AT. 因為AT平面PAB,MN平面PAB, 所以MN∥平面PAB. (2)解 因為PA⊥平面ABCD,N為PC的中點, 所以N到平面ABCD的距離為PA. 如圖,取BC的中點E,連接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==. 由AM∥BC得M到BC的距離為,故S△BCM=×4×=2.所以四面體N-BCM的體積VN-BCM=×S△BCM×=. 命題角度2 直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用 【例2-2】 (2018·宜春質(zhì)檢)如圖,五面體ABCDE,四邊形ABDE是矩形,△ABC是正三角形,AB=1,AE=2,F(xiàn)是線

13、段BC上一點,直線BC與平面ABD所成角為30°,CE∥平面ADF. (1)試確定F的位置; (2)求三棱錐A-CDF的體積. 解 (1)連接BE交AD于點O,連接OF, ∵CE∥平面ADF,CE平面BEC,平面ADF∩平面BEC=OF, ∴CE∥OF. ∵O是BE的中點,∴F是BC的中點. (2)∵BC與平面ABD所成角為30°,BC=AB=1, ∴C到平面ABD的距離為h=BC·sin 30°=. ∵AE=2, ∴VA-CDF=VF-ACD=VB-ACD=VC-ABD =×××1×2×=. 規(guī)律方法 1.利用判定定理判定線面平行,關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線

14、.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線. 2.在解決線面、面面平行的判定時,一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而在應(yīng)用性質(zhì)定理時,其順序恰好相反. 【訓(xùn)練2】 (2017·江蘇卷)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E,F(xiàn)(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求證:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. 證明 (1)在平面ABD內(nèi),AB⊥AD,EF⊥AD, 則AB∥EF. ∵AB平面ABC,EF平面ABC, ∴EF

15、∥平面ABC. (2)∵BC⊥BD,平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABD⊥平面BCD,BC平面BCD, ∴BC⊥平面ABD. ∵AD平面ABD,∴BC⊥AD. 又AB⊥AD,BC,AB平面ABC,BC∩AB=B, ∴AD⊥平面ABC, 又因為AC平面ABC,∴AD⊥AC. 考點三 面面平行的判定與性質(zhì)(典例遷移) 【例3】 (經(jīng)典母題)如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點,求證: (1)B,C,H,G四點共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG. 證明 (1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點,

16、 ∴GH是△A1B1C1的中位線,則GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC, ∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點共面. (2)∵E,F(xiàn)分別為AB,AC的中點,∴EF∥BC, ∵EF平面BCHG,BC平面BCHG, ∴EF∥平面BCHG. 又G,E分別為A1B1,AB的中點,A1B1綊AB, ∴A1G綊EB, ∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB. ∵A1E平面BCHG,GB平面BCHG, ∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF=E, ∴平面EFA1∥平面BCHG. 【遷移探究1】 在本例中,若將條件“E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1

17、的中點”變?yōu)椤癉1,D分別為B1C1,BC的中點”,求證:平面A1BD1∥平面AC1D. 證明 如圖所示,連接A1C交AC1于點M, ∵四邊形A1ACC1是平行四邊形, ∴M是A1C的中點,連接MD, ∵D為BC的中點, ∴A1B∥DM. ∵A1B平面A1BD1, DM平面A1BD1, ∴DM∥平面A1BD1, 又由三棱柱的性質(zhì)知,D1C1綊BD, ∴四邊形BDC1D1為平行四邊形, ∴DC1∥BD1. 又DC1平面A1BD1,BD1平面A1BD1, ∴DC1∥平面A1BD1, 又DC1∩DM=D,DC1,DM平面AC1D, 因此平面A1BD1∥平面AC

18、1D. 【遷移探究2】 在本例中,若將條件“E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點”變?yōu)椤包cD,D1分別是AC,A1C1上的點,且平面BC1D∥平面AB1D1”,試求的值. 解 連接A1B交AB1于O,連接OD1. 由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,所以BC1∥D1O,則==1. 又由題設(shè)=, ∴=1,即=1. 規(guī)律方法 1.判定面面平行的主要方法 (1)利用面面平行的判定定理. (2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行). 2.面面平行條件的應(yīng)用 (1)兩平面平

19、行,分析構(gòu)造與之相交的第三個平面,交線平行. (2)兩平面平行,其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行. 提醒 利用面面平行的判定定理證明兩平面平行,需要說明是在一個平面內(nèi)的兩條直線是相交直線. 【訓(xùn)練3】 (2018·東北三省四校聯(lián)考)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1,E,F(xiàn)分別是棱BC,CC1的中點. (1)若線段AC上存在點D滿足平面DEF∥平面ABC1,試確定點D的位置,并說明理由; (2)證明:EF⊥A1C. (1)解 點D是AC的中點,理由如下: ∵平面DEF∥平面ABC1,平面ABC∩平面DEF=DE,平面AB

20、C∩平面ABC1=AB, ∴AB∥DE, ∵在△ABC中,E是BC的中點, ∴D是AC的中點. (2)證明 ∵三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AA1, ∴四邊形A1ACC1是菱形,∴A1C⊥AC1. ∵AA1⊥底面ABC,AB平面ABC,∴AA1⊥AB, 又AB⊥AC,AA1∩AC=A,∴AB⊥平面AA1C1C, ∵A1C平面AA1C1C,∴AB⊥A1C. 又AB∩AC1=A,從而A1C⊥平面ABC1, 又BC1平面ABC1, ∴A1C⊥BC1. 又∵E,F(xiàn)分別是BC,CC1的中點, ∴EF∥BC1,從而EF⊥A1C. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時:40

21、分鐘) 一、選擇題 1.(2018·安康模擬)有下列命題: ①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則直線l∥α; ②若直線a在平面α外,則a∥α; ③若直線a∥b,b∥α,則a∥α; ④若直線a∥b,b∥α,則a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線. 其中真命題的個數(shù)是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 命題①l可以在平面α內(nèi),不正確;命題②直線a與平面α可以是相交關(guān)系,不正確;命題③a可以在平面α內(nèi),不正確;命題④正確. 答案 A 2.(2018·長郡中學(xué)質(zhì)檢)如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,過A1B1的平面與平面ABC交于DE,則DE與AB的位置

22、關(guān)系是(  ) A.異面    B.平行 C.相交    D.以上均有可能 解析 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1, ∵AB平面ABC,A1B1平面ABC, ∴A1B1∥平面ABC,∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1,∴DE∥AB. 答案 B 3.(2018·廣東省際名校聯(lián)考)已知α,β為平面,a,b,c為直線,下列命題正確的是(  ) A.aα,若b∥a,則b∥α B.α⊥β,α∩β=c,b⊥c,則b⊥β C.a⊥b,b⊥c,則a∥c D.a∩b=A,aα,bα,a∥β,b∥β,則α∥β 解析 選項A中,bα或b

23、∥α,不正確. B中b與β可能斜交,B錯誤. C中a∥c,a與c異面,或a與c相交,C錯誤. 利用面面平行的判定定理,易知D正確. 答案 D 4.(2018·合肥模擬)若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形,則該三棱錐與平面α平行的棱有(  ) A.0條 B.1條 C.2條 D.1條或2條 解析 如圖所示,四邊形EFGH為平行四邊形,則EF∥GH. ∵EF平面BCD,GH平面BCD, ∴EF∥平面BCD. 又∵EF平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD, ∴EF∥CD. 又EF平面EFGH,CD平面EFGH. ∴CD∥平面EFGH, 同理,AB

24、∥平面EFGH, 所以與平面α(面EFGH)平行的棱有2條. 答案 C 5.(2018·吉安模擬)設(shè)直線l,m,平面α,β,則下列條件能推出α∥β的是(  ) A.lα,mα,且l∥β,m∥β B.lα,mβ,且l∥m C.l⊥α,m⊥β,且l∥m D.l∥α,m∥β,且l∥m 解析 借助如圖所示的長方體模型,可以判定選項A,B,D不一定推出α∥β.對于選項C,由l⊥α,l∥m,得m⊥α,又m⊥β,從而α∥β. 答案 C 二、填空題 6.設(shè)α,β,γ是三個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,在命題“α∩β=m,nγ,且________,則m∥n”中的橫線處填入下

25、列三組條件中的一組,使該命題為真命題. ①α∥γ,nβ;②m∥γ,n∥β;③n∥β,mγ. 可以填入的條件有________. 解析 由面面平行的性質(zhì)定理可知,①正確;當(dāng)n∥β,mγ時,n和m在同一平面內(nèi),且沒有公共點,所以平行,③正確. 答案 ①或③ 7.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點E為AD的中點,點F在CD上.若EF∥平面AB1C,則線段EF的長度等于________. 解析 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,∴AC=2. 又E為AD中點,EF∥平面AB1C,EF平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,∴EF∥AC,

26、∴F為DC中點, ∴EF=AC=. 答案  8.(2018·鄭州調(diào)研)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個不同的平面,給出下列四個命題: ①若mα,n∥α,則m∥n; ②若α∥β,β∥γ,m⊥α,則m⊥γ; ③若α∩β=n,m∥n,m∥α,則m∥β; ④若m∥α,n∥β,m∥n,則α∥β. 其中是真命題的是________(填上正確命題的序號). 解析 ①m∥n或m,n異面,故①錯誤;易知②正確;③m∥β或mβ,故③錯誤;④α∥β或α與β相交,故④錯誤. 答案?、? 三、解答題 9.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示. (1)請將字母

27、F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點處(不需說明理由); (2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 解 (1)點F,G,H的位置如圖所示. (2)平面BEG∥平面ACH,證明如下:因為ABCD-EFGH為正方體, 所以BC∥FG,BC=FG, 又FG∥EH,F(xiàn)G=EH, 所以BC∥EH,BC=EH, 于是四邊形BCHE為平行四邊形,所以BE∥CH. 又CH平面ACH,BE平面ACH,所以BE∥平面ACH. 同理BG∥平面ACH. 又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH. 10.(2018·張家口檢測)如圖,四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正

28、方形,PD⊥平面ABCD,PD=DC=2,點E,F(xiàn)分別為AD,PC的中點. (1)證明:DF∥平面PBE; (2)求點F到平面PBE的距離. (1)證明 取PB的中點G,連接EG,F(xiàn)G,則FG∥BC,且FG=BC. ∵DE∥BC且DE=BC, ∴DE∥FG且DE=FG, ∴四邊形DEGF為平行四邊形, ∴DF∥EG. 又DF平面PBE,EG平面PBE, 故DF∥平面PBE. (2)解 由(1)知DF∥平面PBE, ∴點D到平面PBE的距離與F到平面PBE的距離是相等的,故轉(zhuǎn)化為求點D到平面PBE的距離,設(shè)為d,連接BD. ∵VD-PBE=VP-BDE,∴S△PBE·

29、d=S△BDE·PD, 由題意可求得PE=BE=,PB=2, ∴S△PBE=×2×=. 又S△BDE=DE·AB=×1×2=1, ∴d=,即點F到平面PBE的距離為. 能力提升題組 (建議用時:20分鐘) 11.已知m,n是兩條不同直線,α,β是兩個不同平面,則下列命題正確的是(  ) A.若α,β垂直于同一平面,則α與β平行 B.若m,n平行于同一平面,則m與n平行 C.若α,β不平行,則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D.若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面 解析 A項,α,β可能相交,故錯誤;B項,直線m,n的位置關(guān)系不確定,可能相交、平行或異面,故錯誤;C項

30、,若mα,α∩β=n,m∥n,則m∥β,故錯誤;D項,假設(shè)m,n垂直于同一平面,則必有m∥n與已知m,n不平行矛盾,所以原命題正確,故D項正確. 答案 D 12.如圖所示,棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形,設(shè)D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD,則A1D∶DC1的值為________. 解析 設(shè)BC1∩B1C=O,連接OD. ∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD=OD, ∴A1B∥OD,∵四邊形BCC1B1是菱形,∴O為BC1的中點,∴D為A1C1的中點,則A1D∶DC1=1. 答案 1 13.(2016·山東卷)在如圖所示的幾何體中,D

31、是AC的中點,EF∥DB. (1)已知AB=BC,AE=EC.求證:AC⊥FB; (2)已知G,H分別是EC和FB的中點.求證:GH∥平面ABC. 證明 (1)因為EF∥DB,所以EF與DB確定平面BDEF, 圖① 如圖①,連接DE.因為AE=EC,D為AC的中點, 所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC. 又BD∩DE=D, 所以AC⊥平面BDEF. 因為FB平面BDEF, 所以AC⊥FB. (2)如圖②,設(shè)FC的中點為I,連接GI,HI. 圖② 在△CEF中,因為G是CE的中點, 所以GI∥EF.又EF∥DB, 所以GI∥DB. 在△CFB中,因為H是FB的中點,所以HI∥BC.又HI∩GI=I, 所以平面GHI∥平面ABC, 因為GH平面GHI, 所以GH∥平面ABC. 15

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