2019高考高考數(shù)學二輪復習 第二部分 第三講 數(shù)列學案 理

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1、第三講　數(shù)列 命 題 者 說 考 題 統(tǒng) 計 考 情 點 擊 2018·全國卷Ⅰ·T4·等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式 2018·全國卷Ⅰ·T14·數(shù)列的通項與前n項和的關系 2018·浙江高考·T10·數(shù)列的綜合應用 2018·北京高考·T4·數(shù)學文化、等比數(shù)列的通項公式 2017·全國卷Ⅰ·T4·等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式 1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)。 2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點，考查分析問題、解決問題的綜合能力。 考向一 等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量運算 【例1】　(1)(201

2、8·北京高考)設{an}是等差數(shù)列，且a1＝3，a2＋a5＝36，則{an}的通項公式為________。 (2)(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn。已知S3＝，S6＝，則a8＝________。 解析　(1)設等差數(shù)列的公差為d，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝6＋5d＝36，所以d＝6，所以an＝3＋(n－1)·6＝6n－3。 (2)設等比數(shù)列{an}的公比為q，則由S6≠2S3，得q≠1，則解得則a8＝a1q7＝×27＝32。 答案　(1)an＝6n－3　(2)32 在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯

3、，則均可化成關于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計算，以減少計算量。 變|式|訓|練 1．(2018·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)在等差數(shù)列{an}中，若Sn為前n項和，2a7＝a8＋5，則S11的值是(　　) A．55 B．11 C．50 D．60 解析　解法一：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，則S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55。故選A。 解法二：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由2a7＝a8＋5，得2(a6＋d)＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55。故選A。 答案

4、　A 2．(2018·湖南湘東五校聯(lián)考)已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前三項之和S3＝21，則公比q的值是(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 解析　當q＝1時，an＝7，S3＝21，符合題意；當q≠1時，得q＝－。綜上，q的值是1或－。故選C。 答案　C 考向二 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)應用 【例2】　(1)(2018·湖北荊州一模)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，則a12的值是(　　) A．15 B．30 C．31 D．64 (2)等差數(shù)列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項和取最小值時n

5、的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 (3)(2018·洛陽聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則的值為(　　) A．－ B．－ C． D．－或 解析　(1)因為a3＋a4＋a5＝3，所以3a4＝3，a4＝1，又2a8＝a4＋a12，所以a12＝2a8－a4＝2×8－1＝15。故選A。 (2)由d>0可得等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，所以a6＋a11＝a8＋a9＝0，又d>0，所以a8<0，a9>0，所以前8項和為前n項和的最小值。故選C。 (3)設等比數(shù)列{an}的公比為q，因

6、為a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，則a9＝－，所以＝＝a9＝－。故選B。 答案　(1)A　(2)C　(3)B 等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應用策略 (1)項數(shù)是關鍵：解題時特別關注條件中項的下標即項數(shù)的關系，尋找項與項之間、多項之間的關系選擇恰當?shù)男再|(zhì)解題。 (2)整體代入：計算時要注意整體思想，如求Sn可以將與a1＋an相等的式子整體代入，不一定非要求出具體的項。 (3)構(gòu)造不等式函數(shù)：可以構(gòu)造不等式函數(shù)利用函數(shù)性質(zhì)求范圍或最值。 變|式|訓|練 1．(2018·太原一模)已知等差數(shù)列{an

7、}的前n項和為Sn，若a2＋a3＋a10＝9，則S9＝(　　) A．3 B．9 C．18 D．27 解析　設等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a2＋a3＋a10＝9，所以3a1＋12d＝9，即a1＋4d＝3，所以a5＝3，所以S9＝＝9a5＝27。故選D。 答案　D 2．(2018·西安八校聯(lián)考)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SnSn＋1<0的正整數(shù)n的值為(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 解析　由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝＝13a

8、7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即滿足SnSn＋1<0的正整數(shù)n的值為12。故選C。 答案　C 3．已知－2，a1，a2，－8成等差數(shù)列，－2，b1，b2，b3，－8成等比數(shù)列，則等于(　　) A． B． C．－ D．或－ 解析　因為－2，a1，a2，－8成等差數(shù)列，所以a2－a1＝d＝＝－2，因為－2，b1，b2，b3，－8成等比數(shù)列，所以b2＝－＝－4，所以＝＝。故選B。 答案　B 考向三 數(shù)列的遞推關系 【例3】　(1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通

9、項公式an＝(　　) A．(n＋1)3 B．(2n＋1)2 C．8n2 D．(2n＋1)2－1 (2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋＋＋…＋＝an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________。 解析　(1)當n＝1時，4×(1＋1)×(a1＋1)＝(1＋2)2×a1，解得a1＝8。當n≥2時，4(Sn＋1)＝，則4(Sn－1＋1)＝，兩式相減得，4an＝－，整理得，＝，所以an＝··…··a1＝××…××8＝(n＋1)3。檢驗知，a1＝8也符合，所以an＝(n＋1)3。故選A。 (2)根據(jù)a1＋＋＋…＋＝an，　① 有a1＋＋＋…＋＝an－1(n≥2)，

10、?、? ①－②得，＝an－an－1， 即n2an－1＝(n2－1)an(n≥2)， 所以＝＝(n≥2)， 所以n≥2時，an＝a1×××…×＝1×××…×＝＝＝，檢驗a1＝1也符合，所以an＝。 答案　(1)A　(2) 由an與Sn的關系求通項公式的注意事項 (1)應重視分類整合思想的應用，分n＝1和n≥2兩種情況討論，特別注意an＝Sn－Sn－1成立的前提是n≥2。 (2)由Sn－Sn－1＝an推得an，當n＝1時，a1也適合，則需統(tǒng)一表示(“合寫”)。 (3)由Sn－Sn－1＝an推得an，當n＝1時，a1不適合，則數(shù)列的通項公式應分段表示(“分寫”)，即an＝

11、 變|式|訓|練 1．(2018·廣東五校聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，則＋＋…＋＝(　　) A．　 B． C．　 D． 解析　由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＝，所以an＝，所以＝＝2，故＋＋…＋＝2＝2＝。故選A。 答案　A 2．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn。若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則S5＝________。 解析　因為an＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，所以Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝

12、3，所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，所以＝3。又S2＝4，所以S1＝1，所以S5＋＝×34＝×34＝，所以S5＝121。 答案　121 考向四 數(shù)列與函數(shù)不等式的綜合問題 【例4】　(2018·浙江高考)已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)。若a1>1，則(　　) A．a(chǎn)1a3，a2a4 D．a(chǎn)1>a3，a2>a4 解析　解法一：因為函數(shù)y＝lnx在點(1,0)處的切線方程為y＝x－1，所以lnx≤x－1(x>0)，所以a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)

13、≤a1＋a2＋a3－1，所以a4≤－1，又a1>1，所以等比數(shù)列的公比q<0。若q≤－1，則a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)≤0，而a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)>a1>1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，與ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，所以－10，a2－a4＝a1q(1－q2)<0，所以a1>a3，a2

14、1，所以等比數(shù)列的公比q<0。若q≤－1，則a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)≤0，而a1＋a2＋a3≥a1>1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，與ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，所以－10，a2－a4＝a1q(1－q2)<0，所以a1>a3，a2

15、a2＝2，若an－2，若n＝1，則λ∈R，若n>1，則λ>－，所以λ≥0。當n為偶數(shù)時，由an－2，所以λ>－，即λ≥0。綜上，實數(shù)λ的取值范圍為[0，＋∞)

16、。 答案　[0，＋∞) 1．(考向一)(2018·山東淄博一模)已知{an}是等比數(shù)列，若a1＝1，a6＝8a3，數(shù)列的前n項和為Tn，則T5＝(　　) A．　　　　B．31 C．　　　　D．7 解析　設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a1＝1，a6＝8a3，所以q3＝8，解得q＝2。所以an＝2n－1。所以＝n－1。所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列。則T5＝＝。故選A。 答案　A 2．(考向二)(2018·湖南衡陽一模)在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則a2＋a14的值為(　　) A．6　 　　　B．12 C．24　　　　D．48 解析　因

17、為在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以a2＋a14＝2a8＝48。故選D。 答案　D 3．(考向二)(2018·廣東汕頭模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝9，－＝－4，則Sn取最大值時的n為(　　) A．4 B．5 C．6 D．4或5 解析　由{an}為等差數(shù)列，得－＝a5－a3＝2d＝－4，即d＝－2，由于a1＝9，所以an＝－2n＋11，令an＝－2n＋11<0，得n>，所以Sn取最大值時的n為5。故選B。 答案　B 4．(考向三)(2018·合肥質(zhì)檢)已

18、知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若3Sn＝2an－3n，則a2 018＝(　　) A．22 018－1 B．32 018－6 C．2 018－ D．2 018－ 解析　因為a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3?a1＝－3。當n≥2時，3Sn＝2an－3n,3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以數(shù)列{an＋1}是以－2為首項，－2為公比的等比數(shù)列，所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n，則a2 018＝22 018－1。故選A。 答案　A 5．(考向四)(2018·江蘇高考)已知集合A＝{x|x＝

19、2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}。將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列{an}。記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn>12an＋1成立的n的最小值為________。 解析　所有的正奇數(shù)和2n(n∈N*)按照從小到大的順序排列構(gòu)成{an}，在數(shù)列{an}中，25前面有16個正奇數(shù)，即a21＝25，a38＝26。當n＝1時，S1＝1<12a2＝24，不符合題意；當n＝2時，S2＝3<12a3＝36，不符合題意；當n＝3時，S3＝6<12a4＝48，不符合題意；當n＝4時，S4＝10<12a5＝60，不符合題意；…；當n＝26時，S26＝＋＝441＋62＝503<12a27＝516，不符合題意；當n＝27時，S27＝＋＝484＋62＝546>12a28＝540，符合題意。故使得Sn>12an＋1成立的n的最小值為27。 答案　27 9