2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第3節(jié) 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題學(xué)案 北師大版

《2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第3節(jié) 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題學(xué)案 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第3節(jié) 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題學(xué)案 北師大版（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第3節(jié)　二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題 最新考綱　1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決. 知 識(shí) 梳 理 1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不含邊界直線.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域包括邊界直線，把邊界直線畫成實(shí)線. (2)對(duì)直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，代入Ax＋By＋C所得值

2、的符號(hào)都相同，所以只需取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測(cè)試點(diǎn)，由Ax0＋By0＋C的符號(hào)可判斷Ax＋By＋C>0表示的是直線Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域. (3)不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分. 2.線性規(guī)劃的有關(guān)概念 名稱 意義 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組，是對(duì)x，y的約束條件 目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的解析式 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 求線性目標(biāo)函數(shù)

3、在線性約束條件下的最大值或最小值的問題 [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點(diǎn)定域： (1)直線定界：不等式中無(wú)等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線； (2)特殊點(diǎn)定域：若直線不過(guò)原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選原點(diǎn)；若直線過(guò)原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(0，1)或(1，0)來(lái)驗(yàn)證. 2.在通過(guò)求直線的截距的最值間接求出z的最值時(shí)，要注意：當(dāng)b>0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z也取最大值；截距取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)b<0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z取最小值；截距取最小值時(shí)，z取最大值. 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)不等式Ax＋By＋

4、C＞0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方.(　　) (2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的.(　　) (3)線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上.(　　) (4)在目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距.(　　) 解析　(1)不等式x－y＋1>0表示的平面區(qū)域在直線x－y＋1＝0的下方. (4)直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距是. 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.下列各點(diǎn)中，不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是(　　) A.(0，0) B.(－1，1) C.(－1，3)

5、 D.(2，－3) 解析　把各點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得(－1，3)不適合. 答案　C 3.(教材習(xí)題原題)不等式組表示的平面區(qū)域是(　　) 解析　x－3y＋6≥0表示直線x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直線x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)B. 答案　B 4.(2017·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝3x－2y的最小值為________. 解析　不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示. 由z＝3x－2y得y＝x－，當(dāng)直線y＝x－過(guò)圖中點(diǎn)A時(shí)，縱截距最大，此時(shí)z取最小值. 由解得點(diǎn)A(－1，1)，此時(shí)z＝3×(－1)－2×1＝－5. 答

6、案?。? 5.(2018·石家莊質(zhì)檢)若x，y滿足約束條件則z＝的最大值為________. 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示陰影部分，z＝＝，表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，易知zmax＝kOA.由得A， kOA＝＝3，∴zmax＝3. 答案　3 考點(diǎn)一　二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 【例1】 (1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)，應(yīng)是下列圖形中的(　　) (2)若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于，則m的值為(　　) A.－3 B.1 C. D.3 解析　(1)(x－2y＋1

7、)(x＋y－3)≤0?或畫出平面區(qū)域后，只有C符合題意. (2)如圖，要使不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，則－2m＜2，則m＞－1， 由解得即A(1－m，1＋m). 由解得 即B，所圍成的區(qū)域?yàn)椤鰽BC，則S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝， 解得m＝－3(舍去)或m＝1. 答案　(1)C　(2)B 規(guī)律方法　1.二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測(cè)試點(diǎn)定域. 2.求平面區(qū)域的面積： (1)首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出

8、平面區(qū)域； (2)對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和. 【訓(xùn)練1】 (2018·鄭州預(yù)測(cè))若不等式x2＋y2≤2所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镹，現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域N內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域M內(nèi)的概率為________. 解析　作出不等式組與不等式表示的可行域如圖陰影部分所示，平面區(qū)域N的面積為×3×(6＋2)＝12，區(qū)域M在區(qū)域N內(nèi)的面積為π()2＝，故所求概率P＝＝. 答案　 考點(diǎn)二　求目標(biāo)函數(shù)的最值問題(多維探究) 命題角度1　求線性目

9、標(biāo)函數(shù)的最值 【例2－1】 (2017·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分(含邊界)，則當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y經(jīng)過(guò)A(3，0)時(shí)取得最大值，故zmax＝3＋0＝3. 答案　D 命題角度2　求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 【例2－2】 (1)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A.4 B.9 C.10 D.12 (2)(2018·湘中高三聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的最小值是________. 解析　(1)作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖

10、中陰影部分所示(包括邊界)，x2＋y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方.由圖易知平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)A(3，－1)與原點(diǎn)的距離最大，所以x2＋y2的最大值是10. (2)作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，又表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線所在直線的斜率的倒數(shù).由圖知，直線OA的斜率最大，此時(shí)取得最小值，所以＝＝. 答案　(1)C　(2) 命題角度3　求參數(shù)的值或范圍 【例2－3】 (2018·惠州三調(diào))已知實(shí)數(shù)x，y滿足：若z＝x＋2y的最小值為－4，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，當(dāng)直線z＝x＋2

11、y經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，z取得最小值－4，所以－a＋2·＝－4，解得a＝2. 答案　B 規(guī)律方法　1.先準(zhǔn)確作出可行域，再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值. 2.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時(shí)，常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來(lái)解題，常見代數(shù)式的幾何意義： (1)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0，0)的距離，表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離； (2)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0，0)連線的斜率，表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率. 3.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件. 【訓(xùn)練2】 (1)(2017·山東卷)已知x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的最大值是(　　)

12、 A.0 B.2 C.5 D.6 (2)(2018·新鄉(xiāng)模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足且z＝mx－y(m<2)的最小值為－，則m等于(　　) A. B.－ C.1 D. 解析　(1)由已知得約束條件的可行域如圖中陰影部分所示，故目標(biāo)函數(shù)z＝x＋2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(－3，4)時(shí)取最大值z(mì)max＝－3＋2×4＝5. (2)作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示， z＝mx－y(m<2)的最小值為－，可知目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解過(guò)點(diǎn)A，由解得A， ∴－＝－3，解得m＝1. 答案　(1)C　(2)C 考點(diǎn)三　實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問題 【例3】 (2016·全國(guó)Ⅰ卷)某高科

13、技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為________元. 解析　設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、工時(shí)要求等其他限制條件，得線性約束條件為 目標(biāo)函數(shù)z＝2 100x＋900y. 作出可行域?yàn)閳D中的陰影部分(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，圖中陰影四

14、邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)處取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案　216 000 規(guī)律方法　解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟： (1)分析題意，設(shè)出未知量； (2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)； (3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解； (4)作答. 【訓(xùn)練3】 (2018·黃岡聯(lián)考)一個(gè)小型加工廠用一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝飲料，生產(chǎn)一桶甲飲料需要白糖4千克，果汁18千克，用時(shí)3小時(shí)；生產(chǎn)一桶乙飲料需要白糖1千克，果汁15千克，用時(shí)1小時(shí).現(xiàn)庫(kù)存白糖10千克，果汁66千

15、克，生產(chǎn)一桶甲飲料利潤(rùn)為200元，生產(chǎn)一桶乙飲料利潤(rùn)為100元，在使用該機(jī)器用時(shí)不超過(guò)9小時(shí)的條件下，生產(chǎn)甲、乙兩種飲料利潤(rùn)之和的最大值為________. 解析　設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種飲料分別為x桶、y桶，利潤(rùn)為z元， 則得即目標(biāo)函數(shù)z＝200x＋100y. 作出可行域(如圖陰影部分所示).當(dāng)直線z＝200x＋100y經(jīng)過(guò)可行域上點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值.解方程組得點(diǎn)B的坐標(biāo)(2，2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600. 答案　600 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：30分鐘) 一、選擇題 1.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為(　　) A.1 B. C. D.

16、解析　作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椤鰾CD，由題意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝. 答案　D 2.(2017·北京卷)若x，y滿足則x＋2y的最大值為(　　) A.1 B.3 C.5 D.9 解析　畫出可行域，設(shè)z＝x＋2y，則y＝－x＋，當(dāng)直線y＝－x＋過(guò)B(3，3)時(shí)，z取得最大值9. 答案　D 3.(2017·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是(　　) A.－15 B.－9 C.1 D.9 解析　作出不等式組表示的可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義得函數(shù)在點(diǎn)B(－6，－3)處取得最小值z(mì)min

17、＝－12－3＝－15. 答案　A 4.(2017·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝x－y的取值范圍是(　　) A.[－3，0] B.[－3，2] C.[0，2] D.[0，3] 解析　畫出不等式組表示的可行域(如圖陰影部分所示)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn)A(0，3)處取得最小值z(mì)＝0－3＝－3，在點(diǎn)B(2，0)處取得最大值z(mì)＝2－0＝2. 答案　B 5.(2018·河北名校聯(lián)盟質(zhì)檢)設(shè)變量x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最大值為(　　) A.－12 B.－1 C.0 D. 解析　作出可行域，如圖陰影部分，作直線l0：x－2y＝0，

18、平移直線l0，可知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z＝x－2y取得最大值， 由得A(2，1)，所以zmax＝2－2×1＝0， 故選C. 答案　C 6.(2018·上饒調(diào)研)若1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，則x－2y的最大值與最小值之和是(　　) A.0 B.－2 C.2 D.6 解析　1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1即變量x，y滿足約束條件即 作出可行域(圖略)，得x－2y的最大值、最小值分別為4，－2，其和為2. 答案　C 7.(2018·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)、衡陽(yáng)八中等十三校聯(lián)考)若x，y滿足且z＝3x－y的最大值為2，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A.

19、 B. C.1 D.2 解析　若z＝3x－y的最大值為2，則此時(shí)目標(biāo)函數(shù)為y＝3x－2，直線y＝3x－2與3x－2y＋2＝0和x＋y＝1分別交于A(2，4)，B.mx－y＝0經(jīng)過(guò)其中一點(diǎn)，所以m＝2或m＝，當(dāng)m＝時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意，故m＝2. 答案　D 8.若變量x，y滿足約束條件則(x－2)2＋y2的最小值為(　　) A. B. C. D.5 解析　作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示. 設(shè)z＝(x－2)2＋y2，則z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D(2，0)的距離的平方，由圖知C，D間的距離最小，此時(shí)z最小.由得即C(0，1)， 此時(shí)zmin

20、＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5. 答案　D 二、填空題 9.(2017·全國(guó)Ⅲ卷)若x，y滿足約束條件則z＝3x－4y的最小值為________. 解析　畫出可行域如圖陰影部分所示. 由z＝3x－4y，得y＝x－， 作出直線y＝x，平移使之經(jīng)過(guò)可行域，觀察可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)處取最小值，故zmin＝3×1－4×1＝－1. 答案?。? 10.(2018·銅川模擬)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，1)，若點(diǎn)N(x，y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則·的最大值是________. 解析　依題意，得不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 其中A， B，

21、C(1，1). 設(shè)z＝·＝2x＋y， 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過(guò)點(diǎn)C(1，1)時(shí)，z＝2x＋y取得最大值3. 答案　3 11.(一題多解)已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，則z＝2x－3y的取值范圍是________(答案用區(qū)間表示). 解析　法一　設(shè)2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，則由待定系數(shù)法可得解得 所以z＝－(x＋y)＋(x－y). 又 所以兩式相加可得z∈(3，8). 法二　作出不等式組 表示的可行域，如圖中陰影部分所示. 平移直線2x－3y＝0，當(dāng)相應(yīng)直線經(jīng)過(guò)x－y＝2與x＋y＝4的交點(diǎn)A(3，1)時(shí)，z取得最小值，zmin＝2×3－3×1＝3；當(dāng)相

22、應(yīng)直線經(jīng)過(guò)x＋y＝ －1與x－y＝3的交點(diǎn)B(1，－2)時(shí)，z取得最大值，zmax＝2×1＋3×2＝8.所以z∈(3，8). 答案　(3，8) 12.x，y滿足約束條件若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為________. 解析　如圖，由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距.故當(dāng)a＞0時(shí)，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝2；當(dāng)a＜0時(shí)，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝－1. 答案　2或－1 能力提升題組 (建議用時(shí)：15分鐘) 13.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的

23、可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為(　　) 甲 乙 原料限額 A(噸) 3 2 12 B(噸) 1 2 8 A.12萬(wàn)元 B.16萬(wàn)元 C.17萬(wàn)元 D.18萬(wàn)元 解析　設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x噸、y噸，每天所獲利潤(rùn)為z萬(wàn)元，則有目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋4y，線性約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示： 可得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取到最大值. 由得A(2，3). 則zmax＝3×2＋4×3＝18(萬(wàn)元). 答案　D 14.(2018·高安中學(xué)聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足z＝|2x－2y－

24、1|，則z的取值范圍是(　　) A. B.[0，5) C.[0，5] D. 解析　作出可行域如圖所示： 易求得A，B，C(2，－1)， 令u＝2x－2y－1，則y＝x－，當(dāng)直線y＝x－過(guò)點(diǎn)C(2，－1)時(shí)，u有最大值5；過(guò)點(diǎn)B時(shí)，u有最小值－. 因?yàn)榭尚杏虿话▁＝2的邊界，所以z＝|2x－2y－1|的取值范圍是[0，5). 答案　B 15.已知變量x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(其中a>0)僅在點(diǎn)(3，0)處取得最大值，則a的取值范圍是________. 解析　畫出x，y滿足約束條件的可行域如圖所示， 要使目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y僅在點(diǎn)(3，0)處取得最大值，則直線y＝－ax＋z的斜率應(yīng)小于直線x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－，∴a>. 答案　 16.(2018·安徽江南十校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則z＝的取值范圍為________. 解析　作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖陰影部分.z＝表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與A(0，－1)連線的斜率k，由圖可知，kmin＝0，kmax＝kAP，P為切點(diǎn)，設(shè)P(x0，ln x0)，kAP＝， ∴＝，∴x0＝1，kAP＝1， 即z＝的取值范圍為[0，1]. 答案　[0，1] 16