2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 第一講 高考?？伎陀^題 微專題4 算法初步、推理與證明學(xué)案 理

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1、微專題4　算法初步、推理與證明 命 題 者 說 考向一 程序框圖 【例1】　(1)(2018·天津高考)閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為20，則輸出T的值為(　　) A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 (2)(2018·全國卷Ⅱ)為計(jì)算S＝1－＋－＋…＋－，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入(　　) A．i＝i＋1 B．i＝i＋2 C．i＝i＋3 D．i＝i＋4 解析　(1)N＝20，i＝2，T＝0，＝＝10，是整數(shù)；T＝0＋1＝1，i＝2＋1＝3,3<5，＝，不是整數(shù)；i＝3＋1＝4,4<5，＝＝5，是整數(shù)；

2、T＝1＋1＝2，i＝4＋1＝5，結(jié)束循環(huán)。輸出的T＝2。故選B。 (2)由S＝1－＋－＋…＋－得程序框圖N先對(duì)奇數(shù)項(xiàng)累加，T再對(duì)偶數(shù)項(xiàng)累加，最后相減S＝N－T。因此在空白框中應(yīng)填入i＝i＋2。故選B。 答案　(1)B　(2)B 程序框圖的解題策略 (1)要明確是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，根據(jù)各自的特點(diǎn)執(zhí)行循環(huán)體。 (2)要明確圖中的累計(jì)變量，明確每一次執(zhí)行循環(huán)體前和執(zhí)行循環(huán)體后，變量的值發(fā)生的變化。 (3)要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會(huì)判斷什么 時(shí)候終止循環(huán)體。 變|式|訓(xùn)|練 1．我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》中提出了計(jì)算多項(xiàng)式f(x

3、)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值的秦九韶算法，即將f(x)改寫成如下形式：f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，首先計(jì)算最內(nèi)層一次多項(xiàng)式的值，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值。這種算法至今仍是比較先進(jìn)的算法。將秦九韶算法用程序框圖表示，如圖所示，則在空白的執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入(　　) A．v＝vx＋ai B．v＝v(x＋ai) C．v＝aix＋v D．v＝ai(x＋v) 解析　秦九韶算法的過程是(k＝1,2，…，n)，這個(gè)過程用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)，應(yīng)在題圖中的空白執(zhí)行框內(nèi)填入v＝vx＋ai。故選A。 答案　A 2．執(zhí)行如

4、圖的程序框圖，若輸入k的值為3，則輸出S的值為________。 解析　執(zhí)行如題干圖所示的程序框圖，過程如下：k＝3，n＝1，S＝1，滿足條件2S

5、思想方法。我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“”當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻“”當(dāng)作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下： 依次類推，則六十四卦中的“屯卦”，符號(hào)為“”，其表示的十進(jìn)制數(shù)是(　　) A．33 B．34 C．36 D．35 解析　由題意類推，可知六十四卦中的“屯卦”的符號(hào)“”表示的二進(jìn)制數(shù)為100010，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34。故選B。 答案　B 歸納推理思想在解決問題時(shí)，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后予以證明，這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命

6、題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用。其思維模式是“觀察—?dú)w納—猜想—證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想。 變|式|訓(xùn)|練 缺8數(shù)是一個(gè)非常神奇的數(shù)，觀察以下等式： 12 345 679×9＝111 111 111 12 345 679×18＝222 222 222 12 345 679×27＝333 333 333 12 345 679×36＝444 444 444 … 則第8個(gè)等式為________。 解析　由分析知，當(dāng)乘數(shù)為9＝9×1時(shí)，結(jié)果為9位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均是1；當(dāng)乘數(shù)為18＝9×2時(shí)，結(jié)果為9位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均是2，歸納推理易得結(jié)果。 答案　12 345 679

7、×72＝888 888 888 微考向2：類比推理 【例3】　我們知道：“平面中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓”。拓展至空間：“空間中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是球”，類似可得：已知A(－1,0,0)，B(1,0,0)，則點(diǎn)集{P(x，y，z)||PA|－|PB|＝1}在空間中的軌跡描述正確的是(　　) A．以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面 B．以A，B為焦點(diǎn)的橢球體 C．以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線單支繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面 D．以上都不對(duì) 解析　由特殊到特殊進(jìn)行類比推理可得：點(diǎn)集{P(x，y，z)||PA|－|PB|＝1}在空間中的軌跡描述正確的是以A，B為焦點(diǎn)

8、的雙曲線單支繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面。故選C。 答案　C 類比推理是合情推理中的一類重要推理，強(qiáng)調(diào)的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起。當(dāng)然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比。 變|式|訓(xùn)|練 已知點(diǎn)A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數(shù)y＝ax(a>1)的圖象上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論>a成立。運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函數(shù)y＝sinx

9、(x∈(0，π))的圖象上的不同兩點(diǎn)，則類似地有________成立。 解析　運(yùn)用類比思想與數(shù)形結(jié)合思想，可知y＝sinx(x∈(0，π))的圖象是上凸的，因此線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)總是小于函數(shù)y＝sinx(x∈(0，π))圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即

10、其相配順序?yàn)榧鬃?、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳、…、癸亥?0個(gè)為一周，周而復(fù)始，循環(huán)記錄。2014年是“干支紀(jì)年法”中的甲午年，那么2020年是“干支紀(jì)年法”中的(　　) A．己亥年 B．戊戌年 C．庚子年 D．辛丑年 解析　由題意知2014年是甲午年，則2015到2020年分別為乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年。故選C。 答案　C 演繹推理就是依照已知的定義、定理、公理推導(dǎo)我們所要的結(jié)論，它是一種從一般到特殊的推理。 變|式|訓(xùn)|練 某參觀團(tuán)根據(jù)下列約束條件從A，B，C，D，E五個(gè)鎮(zhèn)選擇參觀地點(diǎn)：

11、①若去A鎮(zhèn)，也必須去B鎮(zhèn)； ②D，E兩鎮(zhèn)至少去一鎮(zhèn)； ③B，C兩鎮(zhèn)只去一鎮(zhèn)； ④C，D兩鎮(zhèn)都去或者都不去； ⑤若去E鎮(zhèn)，則A，D兩鎮(zhèn)也必須去。 則該參觀團(tuán)至多去了(　　) A．B，D兩鎮(zhèn) B．A，B兩鎮(zhèn) C．C，D兩鎮(zhèn) D．A，C兩鎮(zhèn) 解析　若去A鎮(zhèn)，根據(jù)①可知一定去B鎮(zhèn)，根據(jù)③可知不去C鎮(zhèn)，根據(jù)④可知不去D鎮(zhèn)，根據(jù)②可知去E鎮(zhèn)，與⑤矛盾，故不能去A鎮(zhèn)；若不去A鎮(zhèn)，根據(jù)⑤可知也不去E鎮(zhèn)，再根據(jù)②知去D鎮(zhèn)，再根據(jù)④知去C鎮(zhèn)，再根據(jù)③可知不去B鎮(zhèn)，再檢驗(yàn)每個(gè)條件都成立，所以該參觀團(tuán)至多去了C，D兩鎮(zhèn)。故選C。 答案　C 1．(考向一)(2018·北京高考)執(zhí)行如

12、圖所示的程序框圖，輸出的s值為(　　) A． B． C． D． 解析　運(yùn)行程序框圖，k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×＝，k＝2；s＝＋(－1)2×＝，k＝3；滿足條件，跳出循環(huán)，輸出的s＝。故選B。 答案　B 2．(考向二)使用“□”和“○”按照如下規(guī)律從左到右進(jìn)行排位：□，○，□，○，○，○，□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，○，○，…，若每一個(gè)“□”或“○”占一個(gè)位置，如上述圖形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是“□”，則第2 017位之前(不含第2 017位)，共有________個(gè)“○”。 解析　記“□，○”為第1組，“□，○，○，○

13、”為第2組，“□，○，○，○，○，○”為第3組，以此類推，第k組共有2k個(gè)圖形，故前k組共有2×1＋2×2＋2×3＋…＋2k＝2×(1＋2＋3＋…＋k)＝k(k＋1)個(gè)圖形，因?yàn)?4×45＝1 980<2 016<45×46＝2 070，所以在這2 016個(gè)圖形中有45個(gè)“□”，1 971個(gè)“○”。 答案　1 971 3．(考向二)學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)A，B，C，D四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四件參賽作品預(yù)測如下：甲說“C或D作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說“B作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說“A，D兩件作品未獲得一等獎(jiǎng)”；丁說“C作品獲得一等獎(jiǎng)”。 評(píng)獎(jiǎng)揭曉后，發(fā)現(xiàn)這四位同

14、學(xué)中只有兩位說的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是________。 解析　若A為一等獎(jiǎng)，則甲，乙，丙，丁的說法均錯(cuò)誤，故不滿足題意；若B獲得一等獎(jiǎng)，則乙，丙說法正確，甲，丁的說法錯(cuò)誤，故滿足題意；若C獲得一等獎(jiǎng)，則甲，丙，丁的說法均正確，故不滿足題意；若D獲得一等獎(jiǎng)，則只有甲的說法正確，故不合題意，所以若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是B。 答案　B 4．(考向二)祖暅(公元前5～6世紀(jì))是我國齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家，是祖沖之的兒子。他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異?！边@里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高。這句話的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面

15、的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等。設(shè)由橢圓＋＝1(a>b>0)所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體(如圖)(稱為橢球體)，課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理求球體體積公式的做法，請類比此法，求出橢球體體積，其體積等于________。 解析　橢圓的長半軸為a，短半軸為b，現(xiàn)構(gòu)造兩個(gè)底面半徑為b，高為a的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，根據(jù)祖暅原理得出橢球體的體積V＝2(V圓柱－V圓錐)＝2＝πb2a。 答案　πb2a 5．(考向二)(2018·孝義模擬)有編號(hào)依次為1,2,3,4,5,6的6名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽選拔賽，今有甲、乙、丙、丁

16、四位老師在猜誰將得第一名，甲猜不是3號(hào)就是5號(hào)；乙猜6號(hào)不可能；丙猜2號(hào)，3號(hào)，4號(hào)都不可能；丁猜是1號(hào)，2號(hào)，4號(hào)中的某一個(gè)。若以上四位老師中只有一位老師猜對(duì)，則猜對(duì)者是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析　若1號(hào)是第1名，則甲錯(cuò)，乙對(duì)，丙對(duì)，丁對(duì)，不符合題意；若2號(hào)是第1名，則甲錯(cuò)，乙對(duì)，丙錯(cuò)，丁對(duì)，不符合題意；若3號(hào)是第1名，則甲對(duì)，乙對(duì)，丙錯(cuò)，丁錯(cuò)，不符合題意；若4號(hào)是第1名，則甲錯(cuò)，乙對(duì)，丙錯(cuò)，丁對(duì)，不符合題意；若5號(hào)是第1名，則甲對(duì)，乙對(duì)，丙對(duì)，丁錯(cuò)，不符合題意；若6號(hào)是第1名，則甲錯(cuò)，乙錯(cuò)，丙對(duì)，丁錯(cuò)，符合題意。故猜對(duì)者是丙。故選C。 答案　C 10