2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和教學(xué)案 文（含解析）北師大版

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1、第二節(jié)　等差數(shù)列及其前n項和 [考綱傳真]　1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系． 1．等差數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．用符號表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))． (2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫做a，b的等差中項． 2．等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式 (1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d

2、. (2)前n項和公式：Sn＝na1＋＝. 3．等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}和{a2n＋1}也是等差數(shù)列，公差為2d. (4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列． (5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． (6)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． (7)

3、等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn＝n2＋n. 1．等差數(shù)列前n項和的最值 在等差數(shù)列{an}中，若a1＞0，d＜0，則Sn有最大值，即所有正項之和最大，若a1＜0，d＞0，則Sn有最小值，即所有負(fù)項之和最?。? 2．兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則有＝. 3．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則數(shù)列也是等差數(shù)列． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2． (　　) (2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的

4、． (　　) (3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)． (　　) (4)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改編)等差數(shù)列11,8,5，…，中－49是它的第幾項(　　) A．第19項　　　 B．第20項 C．第21項 D．第22項 C　[由題意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14＝－49得n＝21，故選C．] 3．在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6等于(　　) A．－1　　 B．0 C．1　　　　D．6 B　[a

5、2，a4，a6成等差數(shù)列，則a6＝0，故選B．] 4．小于20的所有正奇數(shù)的和為________． 100　[小于20的正奇數(shù)組成首項為1，末項為19的等差數(shù)列，共有10項，因此它們的和S10＝＝100.] 5．(教材改編)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S2＝S6，a4＝1，則a5＝________. －1　[由S2＝S6得a3＋a4＋a5＋a6＝0，即a4＋a5＝0，又a4＝1，則a5＝－1.] 等差數(shù)列基本量的運算 1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a6＋a18＝54，S19＝437，則a2 018的值是(　　) A．4 039　 B．4 0

6、38　　　C．2 019　　　D．2 038 A　[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意可知 解得 所以a2 018＝5＋2017×2＝4 039，故選A．] 2．(2019·武漢模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－8，a2＝2，則數(shù)列{an}的公差d等于(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 C　[由題意知 解得故選C．] 3．《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾．初日織五尺，今一月日織九匹三丈．”其意思為今有一女子擅長織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個月(按30天計)共織390尺布．

7、則該女子最后一天織布的尺數(shù)為(　　) A．18 B．20 C．21 D．25 C　[用an表示第n天織布的尺數(shù)，由題意知， 數(shù)列{an}是首項為5，項數(shù)為30的等差數(shù)列． 所以＝390， 即＝390，解得a30＝21，故選C．] 4．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝__________. －72　[設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d， 由已知，得 解得 ∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.] [規(guī)律方法]　等差數(shù)列運算問題的通性通法 (1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公差d，然后由通項公式或前n

8、項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解． (2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題． 等差數(shù)列的判定與證明 【例1】　已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}中的最大項和最小項，并說明理由． [解]　(1)證明：因為an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)， 所以bn＋1－bn＝－ ＝－ ＝－＝1. 又b1＝＝－. 所以數(shù)列{bn}是以－為首項，1為公差的等

9、差數(shù)列． (2)由(1)知bn＝n－， 則an＝1＋＝1＋. 設(shè)f(x)＝1＋， 則f(x)在區(qū)間和上為減函數(shù)． 所以當(dāng)n＝3時，an取得最小值－1， 當(dāng)n＝4時，an取得最大值3. [拓展探究]　本例中，若將條件變?yōu)閍1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，試求數(shù)列{an}的通項公式． [解]　由已知可得 ＝＋1， 即－＝1，又a1＝， ∴是以＝為首項，1為公差的等差數(shù)列， ∴＝＋(n－1)·1＝n－， ∴an＝n2－n. [規(guī)律方法]　等差數(shù)列的四個判定方法 (1)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個常數(shù)． (2)等差中項法：證明對

10、任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可遞推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根據(jù)定義得出數(shù)列{an}為等差數(shù)列． (3)通項公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p對任意正整數(shù)n恒成立，根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列． (4)前n項和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根據(jù)Sn，an的關(guān)系，得出an，再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列． (2019·貴州模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n. (1)求a2，a3； (2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}的通項

11、公式． [解]　(1)由已知，得a2－2a1＝4， 則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6. 由2a3－3a2＝12， 得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15. (2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得 ＝2，即－＝2， 所以數(shù)列是首項為＝1，公差d＝2的等差數(shù)列． 則＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n. 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 ?考法1　等差數(shù)列項的性質(zhì)的應(yīng)用 【例2】　(1)(2019·長沙模擬)數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，則a3＋a4＋a5等于(　　) A．9　

12、　 B．10　　　　C．11　　　　D．12 (2)(2019·銀川模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m的值為(　　) A．8 B．12 C．6 D．4 (1)D　(2)A　[(1)數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a3＋a4＋a5＝a2＋a4＋a6＝12. (2)由a3＋a6＋a10＋a13＝32得4a8＝32，即a8＝8. 又d≠0，所以等差數(shù)列{an}是單調(diào)數(shù)列，由am＝8，知m＝8，故選A．] ?考法2　等差數(shù)列前n項和的性質(zhì) 【

13、例3】　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 (2)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2 014，－＝6，則S2 019＝________. (1)B　(2)8 076　[(1)由{an}是等差數(shù)列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數(shù)列． 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45，故選B． (2)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列． 設(shè)其公差為d，則－＝6d＝6，∴d＝1. 故＝＋2 0

14、18d＝－2 014＋2 018＝4， ∴S2 019＝8 076.] [規(guī)律方法]　應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)注意兩點 (1)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m、n、p、q、k∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性質(zhì)． (2)掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，悉心研究每個性質(zhì)的使用條件及應(yīng)用方法，認(rèn)真分析項數(shù)、序號、項的值的特征，這是解題的突破口． (1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝10，S20＝30，則S30＝________. (2)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若am＝10，S2m－1＝110，則m＝________. (3)等差數(shù)列{a

15、n}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若＝，則＝________. (1)60　(2)6　(3)　[(1)由題意知，S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列． 則2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， 即40＝10＋(S30－30)，解得S30＝60. (2)S2m－1＝＝＝110，解得m＝6. (3)＝＝＝ ＝＝＝.] 等差數(shù)列的前n項和及其最值 【例4】　(1)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時，n的值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 C　[(1)法一：由S3＝S11，得a4

16、＋a5＋…＋a11＝0，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a7＋a8＝0.根據(jù)首項等于13可推知這個數(shù)列遞減，從而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7時，Sn最大． 法二：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)n＝7時Sn最大． 法三：根據(jù)a1＝13，S3＝S11，知這個數(shù)列的公差不等于零，且這個數(shù)列的和是先遞增后遞減．根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，以及二次函數(shù)圖像的對稱性，可得只有當(dāng)n＝＝7時，Sn取得最大值．] (2)已知等差數(shù)列{an}的前三項和為－3，前三項

17、的積為8. ①求等差數(shù)列{an}的通項公式； ②若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn. [解]　①設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d. 由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項公式可得，an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5或an＝3n－7. ②當(dāng)an＝－3n＋5時，a2，a3，a1分別為－1，－4,2，不成等比數(shù)列； 當(dāng)an＝3n－7時，a2，a3，a1分別為－1,2，－4，成等比數(shù)列，滿足條件． 故|an|＝|3n－7|＝ 記數(shù)列{3n－7}的前n項和為Sn，

18、 則Sn＝＝n2－n. 當(dāng)n≤2時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－n2＋n， 當(dāng)n≥3時，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋an)＝Sn－2S2＝n2－n＋10， 綜上知：Tn＝ [規(guī)律方法]　求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法 (1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解． (2)鄰項變號法： ①當(dāng)a1>0，d<0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； ②當(dāng)a1<0，d>0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.

19、 (1)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使Sn達(dá)到最大值的n是(　　) A．21 B．20 C．19 D．18 (2)設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________. (1)B　(2)130　[(1)因為a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33，所以d＝－2，a1＝39.由an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n≥0，解得n≤，所以當(dāng)n＝20時Sn達(dá)到最大值，故選B． (2

20、)由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以n≤5時，an≤0，當(dāng)n＞5時，an＞0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋(a6＋…＋a15)＝S15－2S5＝130.] 1．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(　　) A．1　　 B．2　　　　C．4　　　　D．8 C　[設(shè){an}的公差為d，則由 得解得d＝4. 故選C．] 2．(2015·全國卷Ⅰ)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，S

21、n為{an}的前n項和，若S8＝4S4，則a10＝(　　) A． B． C．10 D．12 B　[∵公差為1， ∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. ∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝， ∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.故選B．] 3．(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 A　[a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5.] 4．(2018·全國卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通項公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． [解]　(1)設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2. 所以{an}的通項公式為an＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以當(dāng)n＝4時，Sn取得最小值，最小值為－16. - 10 -