《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第3節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)教學(xué)案 理(含解析)新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第3節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)教學(xué)案 理(含解析)新人教A版(8頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第三節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)
[考綱傳真] 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.
1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理
文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)
?l∥α
性質(zhì)定理
一條直線與一個(gè)平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)
?a∥b
2.平面與平面平行的判定定理和性
2、質(zhì)定理
文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定定理
一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)
?α∥β
性質(zhì)定理
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行
?a∥b
[常用結(jié)論]
1.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.
2.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.
3.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.
4.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化:
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×
3、”)
(1)若一條直線平行于一個(gè)平面,則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線.( )
(2)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.( )
(3)如果兩個(gè)平面平行,那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.( )
(4)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a∥α.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(教材改編)下列命題中正確的是( )
A.若a,b是兩條直線,且a∥b,那么a平行于經(jīng)過b的任何平面
B.若直線a和平面α滿足a∥α,那么a與α內(nèi)的任何直線平行
C.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行
D.若直線a,b和平面
4、α滿足a∥b,a∥α,b?α,則b∥α
D [A錯(cuò)誤,a可能在經(jīng)過b的平面內(nèi);B錯(cuò)誤,a與α內(nèi)的直線平行或異面;C錯(cuò)誤,兩個(gè)平面可能相交.]
3.平面α與平面β平行的條件可以是( )
A.α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行
B.直線a∥α,a∥β,且直線a不在α內(nèi),也不在β內(nèi)
C.α內(nèi)的任何直線都與β平行
D.直線a在α內(nèi),直線b在β內(nèi),且a∥β,b∥α
C [在選項(xiàng)A中,α內(nèi)有無數(shù)條直線都與β平行,α與β有可能相交,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;在選項(xiàng)B中,直線a∥α,a∥β,且直線a不在α內(nèi),也不在β內(nèi),則α與β相交或平行,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;在選項(xiàng)C中,α內(nèi)的任何直線都與β平行,由面面平行的判定定理得
5、α∥β,故選項(xiàng)C正確;在選項(xiàng)D中,直線a在α內(nèi),直線b在β內(nèi),且a∥β,b∥α,則α與β相交或平行,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C.]
4.已知直線l∥平面α,P∈α,則過點(diǎn)P且平行于直線l的直線( )
A.只有一條,不在平面α內(nèi)
B.只有一條,且在平面α內(nèi)
C.有無數(shù)條,不一定在平面α內(nèi)
D.有無數(shù)條,一定在平面α內(nèi)
B [過直線l和點(diǎn)P作一個(gè)平面β與α相交于m,
∵l∥α,∴l(xiāng)∥m,且m?α,
若n也是過點(diǎn)P且平行于l的直線,
則m∥n,這與m∩n=P相矛盾,故選B.]
5.(教材改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中點(diǎn),則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為__
6、______.
平行 [如圖所示,連接BD交AC于F,連接EF,則EF是△BDD1的中位線,
∴EF∥BD1,
又EF?平面ACE,
BD1?平面ACE,
∴BD1∥平面ACE.]
與線、面平行相關(guān)命題的判定
1.平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是( )
A.存在一條直線a,a∥α,a∥β
B.存在一條直線a,a?α,a∥β
C.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α
D.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α
D [若α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,則a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a?α,a∥l,則a∥β,故排除
7、B.若α∩β=l,a?α,a∥l,b?β,b∥l,則a∥β,b∥α,故排除C.故選D.]
2.下列四個(gè)正方體圖形中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),則能得出AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是( )
① ?、凇? ③ ?、?
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
C [對(duì)于圖形①,易得平面MNP與AB所在的對(duì)角面平行,所以AB∥平面MNP;對(duì)于圖形④,易得AB∥PN,又AB?平面MNP,PN?平面MNP,所以AB∥平面MNP;圖形②③無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行.故選C.]
[規(guī)律方法] 與線、面平行相
8、關(guān)命題的判定,必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理,特別注意定理所要求的條件是否完備,圖形是否有特殊情形.
直線與平面平行的判定與性質(zhì)
?考法1 直線與平面平行的判定
【例1】 如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=3,F(xiàn)是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),E為PD的中點(diǎn),O為AC的中點(diǎn).
(1)證明:OE∥平面PAB;
(2)若AF=1,求證:CE∥平面BDF;
(3)若AF=2,M為△ABC的重心,證明FM∥平面PBC.
[證明] (1)由已知四邊形ABCD為菱形,
又O為AC的中點(diǎn),所以O(shè)為BD的中點(diǎn),
又E為PD的中點(diǎn),
所
9、以O(shè)E∥PB.
又OE?平面PAB,PB?平面PAB,
所以O(shè)E∥平面PAB.
(2)過E作EG∥FD交AP于G,連接CG,F(xiàn)O.
因?yàn)镋G∥FD,EG?平面BDF,F(xiàn)D?平面BDF,
所以EG∥平面BDF,
因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,O是AC的中點(diǎn),
又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn),所以G為PF的中點(diǎn),
因?yàn)锳F=1,PA=3,所以F為AG的中點(diǎn),
所以O(shè)F∥CG.
因?yàn)镃G?平面BDF,OF?平面BDF,
所以CG∥平面BDF.
又EG∩CG=G,EG,CG?平面CGE,
所以平面CGE∥平面BDF,
又CE?平面CGE,所以CE∥平面BDF.
(3)連接AM,并延長
10、,交BC于點(diǎn)Q,連接PQ,
因?yàn)镸為△ABC的重心,
所以Q為BC中點(diǎn),且=.
又AF=2,所以=.
所以=,
所以MF∥PQ,
又MF?平面PBC,PQ?平面PBC,
所以FM∥平面PBC.
?考法2 線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用
【例2】 如圖所示,CD,AB均與平面EFGH平行,E,F(xiàn),G,H分別在BD,BC,AC,AD上,且CD⊥AB.求證:四邊形EFGH是矩形.
[證明] ∵CD∥平面EFGH,
而平面EFGH∩平面BCD=EF,
∴CD∥EF.
同理HG∥CD,∴EF∥HG.
同理HE∥GF,
∴四邊形EFGH為平行四邊形,
∵CD∥EF,HE∥AB,
11、∴∠HEF為異面直線CD和AB所成的角.
又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF.
∴平行四邊形EFGH為矩形.
[規(guī)律方法] 1.證明線面平行的常用方法
(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)).
(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α).
(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,a?α?a∥β).,(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?β,a∥α?a∥β).
2.利用判定定理判定線面平行,注意三條件缺一不可,關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊平行或過已知直線作一平面找其交線.
如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,F(xiàn)
12、是AB的中點(diǎn),E是PD的中點(diǎn).
(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)在PC上求一點(diǎn)G,使FG∥平面AEC,并證明你的結(jié)論.
[解] (1)證明:連接BD,設(shè)BD交AC于O,連接EO,
因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點(diǎn),
又E為PD的中點(diǎn),所以EO∥PB.
又EO?平面AEC,
PB?平面AEC,
∴PB∥平面AEC.
(2)PC的中點(diǎn)G即為所求的點(diǎn).
證明如下:
連接GE,F(xiàn)G,∵E為PD的中點(diǎn),∴EG綊CD;
又F是AB的中點(diǎn),∴AF綊CD,∴AF綊EG,∴四邊形AFGE為平行四邊形,∴FG∥AE,又FG?平面AEC,AE?平面AEC,
∴FG∥平面AEC.
13、
平面與平面平行的判定與性質(zhì)
【例3】 如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn),求證:
(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[證明] (1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),
∴GH是△A1B1C1的中位線,GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點(diǎn)共面.
(2)在△ABC中,E,F(xiàn)分別為AB,AC的中點(diǎn),
∴EF∥BC.
∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB,
∴四邊形A1EBG是平
14、行四邊形,則A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,
∴平面EFA1∥平面BCHG.
[母題探究] (1)在本例條件下,若點(diǎn)D為BC1的中點(diǎn),求證:HD∥平面A1B1BA.
(2)在本例條件下,若D1,D分別為B1C1,BC的中點(diǎn),求證:平面A1BD1∥平面AC1D.
[證明] (1)如圖所示,連接HD,A1B,
∵D為BC1的中點(diǎn),H為A1C1的中點(diǎn),
∴HD∥A1B.
又HD?平面A1B1BA,
A1B?平面A1B1BA,
∴HD∥平面A1B1BA.
(2)如圖所示,連接A1C交AC1于點(diǎn)M,
15、∵四邊形A1ACC1是平行四邊形,
∴M是A1C的中點(diǎn),連接MD,
∵D為BC的中點(diǎn),
∴A1B∥DM.
∵A1B?平面A1BD1,
DM?平面A1BD1,
∴DM∥平面A1BD1,
又由三棱柱的性質(zhì)知,D1C1綊BD,
∴四邊形BDC1D1為平行四邊形,
∴DC1∥BD1.
又DC1?平面A1BD1,
BD1?平面A1BD1,
∴DC1∥平面A1BD1.
又∵DC1∩DM=D,
DC1,DM?平面AC1D,
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
[規(guī)律方法] 證明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定義.
(2)利用面面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條
16、相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.
(3)利用“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”.
(4)利用“如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行”.
(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.
如圖所示,四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點(diǎn).求證:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
[證明] (1)如圖所示,設(shè)DF與GN交于點(diǎn)O,
連接AE,則AE必過點(diǎn)O,連接MO,
則MO為△ABE的中位線,
所以BE∥MO.
因?yàn)锽E?平面DMF,
MO?平面DMF,
所以
17、BE∥平面DMF.
(2)因?yàn)镹,G分別為平行四邊形ADEF的邊AD,EF的中點(diǎn),
所以DE∥GN.
因?yàn)镈E?平面MNG,GN?平面MNG,
所以DE∥平面MNG.
因?yàn)镸為AB的中點(diǎn),
所以MN為△ABD的中位線,
所以BD∥MN.
因?yàn)锽D?平面MNG,MN?平面MNG,
所以BD∥平面MNG.
因?yàn)镈E∩BD=D,BD,DE?平面BDE,
所以平面BDE∥平面MNG.
(2016·全國卷Ⅲ節(jié)選)如圖所示,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).
證明:MN∥平面PAB.
[證明] 由已知得AM=AD=2.
取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC的中點(diǎn)知TN∥BC,TN=BC=2.
又AD∥BC,故TN綊AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN∥AT.
因?yàn)镸N?平面PAB,AT?平面PAB,
所以MN∥平面PAB.
- 8 -