2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第1章 集合與常用邏輯用語 第3節(jié) 全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞教學(xué)案 理（含解析）北師大版

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1、第三節(jié)　全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞 [考綱傳真]　1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定． 1．全稱量詞和存在量詞 (1)常見的全稱量詞有：“任意一個”“一切”“每一個”“任給”“所有的”等． (2)常見的存在量詞有：“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“某個”“有的”等． 2．全稱命題與特稱命題 (1)含有全稱量詞的命題叫全稱命題． (2)含有存在量詞的命題叫特稱命題. 3．命題的否定 (1)全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題． (2)p或q的否定為：綈p且綈

2、q；p且q的否定為：綈p或綈q. 4．邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1)命題中的且、或、非叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞． (2)命題p且q、p或q、非p的真假判 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 [常用結(jié)論] 1．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷規(guī)律 (1)p或q：p，q中有一個為真，則p或q為真，即有真為真． (2)p且q：p，q中有一個為假，則p且q為假，即有假即假． (3)綈p：與p的真假相反，即一真一假，真假相反． 2．含有一個量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”．

3、3．命題的否定和否命題的區(qū)別：命題“若p，則q”的否定是“若p，則綈q”，否命題是“若綈p，則綈q”． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)命題“3≥2”是真命題． (　　) (2)若命題p且q為假命題，則命題p，q都是假命題． (　　) (3)命題“對頂角相等”的否定是“對頂角不相等”． (　　) (4)“全等的三角形面積相等”是全稱命題． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．命題“存在x0∈R，x－x0－1＞0”的否定是(　　) A．任意x∈R，x2－x－1≤0 B．任意x∈R，x2－

4、x－1＞0 C．存在x0∈R，x－x0－1≤0 D．存在x0∈R，x－x0－1≥0 A　[特稱命題的否定是全稱命題，故選A.] 3．下列命題中的假命題是(　　) A．存在x0∈R，lg x0＝1 B．存在x0∈R，sin x0＝0 C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞0 C　[當x＝0時，x3＝0，故選項C錯誤，故選C.] 4．(教材改編)已知p：2是偶數(shù)，q：2是質(zhì)數(shù)，則命題綈p，綈q，p或q，p且q中真命題的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[p和q顯然都是真命題，所以綈p，綈q都是假命題，p或q，p且q都是真命題．] 5．

5、若命題“任意x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________． [－8,0]　[當a＝0時，不等式顯然成立． 當a≠0時，依題意知 解得－8≤a＜0. 綜上可知－8≤a≤0.] 全稱命題、特稱命題 1. 命題“任意x∈R，存在n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是(　　) A．任意x∈R，存在n∈N*，使得n＞x2 B．任意x∈R，任意n∈N*，使得n＞x2 C．存在x∈R，存在n∈N*，使得n＞x2 D．存在x∈R，任意n∈N*，使得n＞x2 D　[結(jié)合全(特)稱命題的否定形式可知，D選項正確．] 2．(2019·商丘模擬)已知f(x

6、)＝sin x－x，命題p：存在x∈，f(x)＜0，則(　　) A．p是假命題，綈p：任意x∈，f(x)≥0 B．p是假命題，綈p：存在x∈，f(x)≥0 C．p是真命題，綈p：任意x∈，f(x)≥0 D．p是真命題，綈p：存在x∈，f(x)≥0 C　[易知f′(x)＝cos x－1≤0，所以f(x)在上是減函數(shù)，因為f(0)＝0，所以f(x)＜0，所以命題p：存在x∈，f(x)＜0是真命題，綈p：任意x∈，f(x)≥0，故選C.] 3．下列四個命題： p1：存在x0∈(0，＋∞)，x0＜x0； p2：存在x0∈(0,1)，logx0＞logx0； p3：任意x∈(0，＋∞)

7、，x＞logx； p4：任意x∈，x＜logx. 其中的真命題是(　　) A．p1，p3　　　　　 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 D　[對于p1，當x0∈(0，＋∞)時，總有x0＞x0成立，故p1是假命題；對于p2，當x0＝時，有1＝log ＝log＞log 成立，故p2是真命題；對于p3，結(jié)合指數(shù)函數(shù)y＝x與對數(shù)函數(shù)y＝logx在(0，＋∞)上的圖像，可以判斷p3是假命題；對于p4，結(jié)合指數(shù)函數(shù)y＝x與對數(shù)函數(shù)y＝log x在上的圖像可以判斷p4是真命題．] [規(guī)律方法]　(1)全(特)稱命題的否定方法：任意x∈M，p(x)存在x0∈M，綈p(x0)，簡記：

8、改量詞，否結(jié)論． (2)判定全稱命題“任意x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)至少找到一個x＝x0，使p(x0)成立． 判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假 【例1】　(1)若命題“p或q”是真命題，“綈p為真命題”，則(　　) A．p真，q真 B．p假，q真 C．p真，q假 D．p假，q假 (2)(2019·山師大附中模擬)設(shè)命題p：函數(shù)f(x)＝2x＋2－x在R上遞增，命題q：△ABC中，A＞B?sin A＞sin B，下列命題為真命題的是(　　) A．p且q B．p或(綈q) C．(

9、綈p)且q D．(綈p)且(綈q) (1)B　(2)C　[(1)因為綈p為真命題，所以p為假命題，又因為p或q為真命題，所以q為真命題． (2)f(x)＝2x＋2－x是復(fù)合函數(shù)，在R上不是單調(diào)函數(shù)，命題p是假命題，在△ABC中，A＞B?sin A＞sin B成立，命題q是真命題，所以(綈p)且q為真，故選C.] [規(guī)律方法]　“p或q”“p且q”“綈p”形式命題真假的判斷步驟 (1)確定命題的構(gòu)成形式； (2)判斷命題p，q的真假；,(3)根據(jù)真值表確定“p或q”“p且q”“綈p”形式命題的真假. 已知命題p：存在x0∈R，使tan x0＝，命題q：x2－3x＋2＜0的解集是

10、{x|1＜x＜2}，下列結(jié)論： ①命題“p且q”是真命題；②命題“p且(綈q)”是假命題； ③命題“(綈p)或q”是真命題；④命題“(綈p)或(綈q)”是假命題．其中正確的是(　　) A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ D　[由題意可知：p，q均為真命題，∴p且q是真命題，p且(綈q)是假命題；(綈p)或q是真命題；(綈p)或(綈q)是假命題，故①②③④均正確．] 由命題的真假確定參數(shù)的取值范圍 【例2】　(1)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若對任意x1∈[0,3]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數(shù)m的取值范圍是

11、(　　) A. B. C. D. (2)給定命題p：對任意實數(shù)x都有ax2＋ax＋1＞0成立；q：關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0有實數(shù)根．如果p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為________． (1)A　(2)(－∞，0)∪　[(1)當x∈[0,3]時，f(x)min＝f(0)＝0， 當x∈[1,2]時， g(x)min＝g(2)＝－m， 由f(x)min≥g(x)min， 得0≥－m，所以m≥，故選A. (2)當p為真命題時，“對任意實數(shù)x都有ax2＋ax＋1＞0成立”?a＝0或 所以0≤a＜4. 當q為真命題時，“關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0

12、有實數(shù)根”?Δ＝1－4a≥0，所以a≤. 因為p或q為真命題，p且q為假命題， 所以p，q一真一假． 所以若p真q假，則0≤a＜4，且a＞， 所以＜a＜4；若p假q真，則即a＜0.故實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0)∪.] [母題探究]　若將本例(1)中“存在x2∈[1,2]”改為“任意x2∈[1,2]”，其他條件不變，則實數(shù)m的取值范圍是什么？ [解]　當x∈[1,2]時，g(x)max＝g(1)＝－m， 由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，所以m≥，即m的取值范圍為. [規(guī)律方法]　根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)的思路,與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題的

13、本質(zhì)是恒成立問題或有解問題，解決此類問題時，一般先利用等價轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍. (2019·遼寧五校聯(lián)考)已知命題“存在x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A．(－∞，0) B．[0,4] C．[4，＋∞) D．(0,4) D　[因為命題“存在x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命題，所以其否定“對任意x∈R,4x2＋(a－2)x＋＞0”是真命題，則Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故選D.] 1．(2015·全國卷Ⅰ

14、)設(shè)命題p：存在n∈N，n2＞2n，則綈p為(　　) A．任意n∈N，n2＞2n　　　　 B．存在n∈N，n2≤2n C．任意n∈N，n2≤2n D．存在n∈N，n2＝2n C　[因為“存在x∈M，p(x)”的否定是“任意x∈M，綈p(x)”，所以命題“存在n∈N，n2>2n”的否定是“任意n∈N，n2≤2n”．故選C.] 2．(2013·全國卷Ⅰ)已知命題p：任意x∈R,2x＜3x；命題q：存在x∈R，x3＝1－x2，則下列命題中為真命題的是(　　) A．p且q B．綈p且q C．p且綈q D．綈p且綈 B　[當x＝0時，有2x＝3x，不滿足2x＜3x，∴p：任意x∈R,2x＜3x是假命題． 如圖，函數(shù)y＝x3與y＝1－x2有交點，即方程x3＝1－x2有解， ∴q：存在x∈R，x3＝1－x2是真命題． ∴p且q為假命題，排除A. ∴綈p為真命題，∴綈p且q是真命題，選B.] - 7 -