2019屆高考數學二輪復習 第三部分 回顧教材 以點帶面 4 回顧4 數列與不等式學案

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1、回顧4　數列與不等式 [必記知識] 等差數列 設Sn為等差數列{an}的前n項和，則 (1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an. (2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd. (3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構成的數列是等差數列． (4)＝n＋是關于n的一次函數或常數函數，數列也是等差數列． (5)Sn＝＝＝＝…. (6)若等差數列{an}的項數為偶數2m(m∈N*)，公差為d，所有奇數項之和為S奇，所有偶數項之和為S偶，則所有項之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，a

2、m＋1為中間兩項)，S偶－S奇＝md，＝. (7)若等差數列{an}的項數為奇數2m－1(m∈N*)，所有奇數項之和為S奇，所有偶數項之和為S偶，則所有項之和S2m－1＝(2m－1)am(am為中間項)，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝. (8)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，則Sm＋n＝－(m＋n)． 等比數列 (1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*)． (3)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a

3、3m，…成等比數列(m∈N*)． (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…成等比數列(n≥2，且n∈N*)． (5)若等比數列的項數為2n(n∈N*)，公比為q，奇數項之和為S奇，偶數項之和為S偶，則＝q. (6){an}，{bn}成等比數列，則{λan}，{}，{anbn}，{}成等比數列(λ≠0，n∈N*)． (7)通項公式an＝a1qn－1＝·qn，從函數的角度來看，它可以看作是一個常數與一個關于n的指數函數的積，其圖象是指數型函數圖象上一系列孤立的點． (8)與等差中項不同，只有同號的兩個數才能有等比中項；兩個同號的數的等比中項有兩個，它們互為

4、相反數． (9)三個數成等比數列，通常設這三個數分別為，x，xq；四個數成等比數列，通常設這四個數分別為，，xq，xq3. [提醒])?。?）如果數列{an}成等差數列，那么數列{Aan}（Aan總有意義）必成等比數列. （2）如果數列{an}成等比數列，且an＞0，那么數列{logaan}（a＞0且a≠1）必成等差數列. （3）如果數列{an}既成等差數列又成等比數列，那么數列{an}是非零常數列；數列{an}是常數列僅是數列{an}既成等差數列又成等比數列的必要不充分條件. （4）如果兩個等差數列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原來兩

5、個等差數列的公差的最小公倍數. （5）如果由一個等差數列與一個等比數列的公共項順次組成一個新數列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進行討論，且以等比數列的項為主，探求等比數列中哪些項是它們的公共項，從而分析構成什么樣的新數列. 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項系數化為正數)；二判(判斷Δ的符號)；三解(解對應的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)． 解含有參數的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：①二次項系數，它決定二次函數的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩

6、根的大?。? 一元二次不等式的恒成立問題 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的條件是 分式不等式 ＞0(＜0)?f(x)g(x)＞0(＜0)； ≥0(≤0)? [提醒])?。?）不等式兩端同時乘以一個數或同時除以一個數，不討論這個數的正負，從而出錯. （2）解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0時，易忽視系數a的討論導致漏解或錯解，要注意分a＞0，a＜0進行討論. （3）應注意求解分式不等式時正確進行同解變形，不能把≤0直接轉化為f（x）·g（x）≤0，而忽視g（x）≠0. 圖解法求解線性規(guī)劃問題的基本要點

7、 (1)定域：畫出不等式(組)所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號的對應． (2)平移：畫出目標函數等于0時所表示的直線l，平行移動直線，讓其與可行域有公共點，根據目標函數的幾何意義確定最優(yōu)解；注意熟練掌握常見的幾類目標函數的幾何意義． (3)求值：利用直線方程構成的方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數，求出最值． [提醒])　（1）直線定界，特殊點定域：注意不等式中的不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線.若直線不過原點，特殊點常選取原點；若直線過原點，則特殊點常選?。?，0），（0，1）. （2）線性約束條件下的線性目標函數的最優(yōu)解一般在平面區(qū)

8、域的頂點或邊界處取得，最優(yōu)解不一定唯一，有時可能有多個；非線性目標函數或非線性可行域的最值問題，最優(yōu)解不一定在頂點或邊界處取得. 利用基本不等式求最值 (1)對于正數x，y，若積xy是定值p，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2. (2)對于正數x，y，若和x＋y是定值s，則當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值s2. (3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，則有＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2. (4)已知a，b，x，y∈R＋，若＋＝1，則有x＋y＝(x＋y)·＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2. [提醒])　利用基本不等式求最大值、最小值時應注意“一正、二定、三

9、相等”，即：①所求式中的相關項必須是正數；②求積xy的最大值時，要看和x＋y是否為定值，求和x＋y的最小值時，要看積xy是否為定值，求解時，常用到“拆項”“湊項”等解題技巧；③當且僅當對應項相等時，才能取等號.以上三點應特別注意，缺一不可. [必會結論] 判斷數列單調性的方法 (1)作差比較法：an＋1－an＞0?數列{an}是遞增數列；an＋1－an＜0?數列{an}是遞減數列；an＋1－an＝0?數列{an}是常數列． (2)作商比較法：①當an＞0時，則＞1?數列{an}是遞增數列；0＜＜1?數列{an}是遞減數列；＝1?數列{an}是常數列．②當an＜0時，則＞1?數列{a

10、n}是遞減數列；0＜＜1?數列{an}是遞增數列；＝1?數列{an}是常數列． (3)結合相應函數的圖象直觀判斷． 數列中項的最值的求法 (1)借用構造法求解：根據數列與函數之間的對應關系，構造函數f(n)＝an(n∈N*)，利用求解函數最值的方法進行求解即可，但要注意自變量的取值必須是正整數． (2)利用數列的單調性求解：利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求出n的取值范圍，從而確定數列單調性的變化，進而求出數列中項的最值． (3)轉化為關于n的不等式組求解：若求數列{an}的最大項，則可轉化為求解若求數列{an}的最小項，則可轉化為求解求出n的取值范圍之后再確定取得最值

11、的項． 求數列通項公式的常用方法 (1)公式法：①等差數列的通項公式；②等比數列的通項公式． (2)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：an＝ (3)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝ (4)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)． (5)已知＝f(n)，求an，用累乘法：an＝··…··a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)． (6)構造等比數列法：若已知

12、數列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠，設存在非零常數λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝，則數列{an＋}就是以a1＋為首項，p為公比的等比數列，先求出數列{an＋}的通項公式，再求出數列{an}的通項公式即可． (7)倒數法：若an＝(mkb≠0，n≥2)，對an＝取倒數，得到＝·，即＝·＋.令bn＝，則{bn}可歸納為bn＋1＝pbn＋q(p≠0，q≠0)型． 數列求和的常用方法 (1)公式法：①等差數列的求和公式；②等比數列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，

13、1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N*. (2)分組求和法：當直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和． (3)倒序相加法：在數列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項的和有共性，則?？紤]選用倒序相加法進行求和． (4)錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成的，那么常選用錯位相減法將其和轉化為“一個新的等比數列的和”，從而進行求解． (5)裂項相消法：如果數列的通項可分裂成“兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和．常用的裂項形式有 ①＝－； ②＝； ③＜＝， －＝＜＜＝

14、－； ④＝. 解不等式恒成立問題的常用方法 (1)若所求問題可以化為一元二次不等式，可以考慮使用判別式法求解，利用二次項系數的正負和判別式進行求解，若二次項系數含參數時，應對參數進行分類討論． (2)對于含參數的函數在閉區(qū)間上的函數值恒大于等于或小于等于零的問題，一般的轉化原理是：在閉區(qū)間D上，f(x)≥0恒成立?f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸上方或x軸上；f(x)≤0?f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸下方或x軸上． (3)對于含參數的函數在閉區(qū)間上的函數值恒大于等于或小于等于常數的問題，即“f(x)≥a”或“f(x)≤a”型不等式恒成立問題，通常利用函數最值進行轉化，其一般的轉化原

15、理是：f(x)≥a在閉區(qū)間D上恒成立?f(x)min≥a(x∈D)；f(x)≤a在閉區(qū)間D上恒成立?f(x)max≤a(x∈D)． (4)分離參數法：將恒成立的不等式F(x，m)≥0(或≤0)(m為參數)中的參數m單獨分離出來，不等號一側是不含參數的函數，將問題轉化為求函數最值的問題，該方法主要適用于參數與變量能分離和函數的最值易于求出的題目，其一般轉化原理是：當m為參數時，g(m)＞f(x)?g(m)＞f(x)max；g(m)＜f(x)?g(m)＜f(x)min. [必練習題] 1．已知數列{an}為等差數列，其前n項和為Sn，若a3＝6，S3＝12，則公差d＝(　　) A．1　　　

16、　　　　　　　 B．2 C．3 D. 解析：選B.在等差數列{an}中，S3＝＝＝12，解得a1＝2，又a3＝a1＋2d＝2＋2d＝6，解得d＝2，選B. 2．設等差數列{an}的前n項和為Sn，a2＋a4＝6，則S5等于(　　) A．10 B．12 C．15 D．30 解析：選C.由等差數列的性質可得a2＋a4＝a1＋a5，所以S5＝＝15，故選C. 3．已知等比數列{an}的公比為正數，且a2·a6＝9a4，a2＝1，則a1的值為(　　) A．3 B．－3 C．－ D. 解析：選D.設數列{an}的公比為q，由a2·a6＝9a4，得a2·a2q4＝9a2q2，解得q2＝

17、9，所以q＝3或q＝－3(舍)，所以a1＝＝.故選D. 4．已知數列{an}為等比數列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝(　　) A．7 B．5 C．－5 D．－7 解析：選D.設數列{an}的公比為q.由題意，得 所以或解得或當時，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7；當時，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝(－8)×＝－7.綜上，a1＋a10＝－7.故選D. 5．設x，y滿足約束條件則目標函數z＝x＋y的最大值是(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：選C.法一：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作直線x＋y＝0，平移該直

18、線，當直線經過點A(6，0)時，z取得最大值，即zmax＝6，故選C. 法二：目標函數z＝x＋y的最值在可行域的三個頂點處取得，易知三條直線的交點分別為(3，0)，(6，0)，(2，2)．當x＝3，y＝0時，z＝3；當x＝6，y＝0時，z＝6；當x＝2，y＝2時，z＝4.所以zmax＝6，故選C. 6．若數列{an}的首項為3，{bn}為等差數列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，則a8＝(　　) A．0 B．3 C．8 D．11 解析：選B.依題意可設等差數列{bn}的公差為d，則b10＝b3＋7d＝－2＋7d＝12，解得d＝2，所以bn＝b3＋(

19、n－3)d＝2n－8，又bn＝an＋1－an，則b7＝a8－a7，b6＝a7－a6，…，b1＝a2－a1，采用累加法可得，b7＋b6＋…＋b1＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋…＋(a2－a1)＝a8－a1，又易知b1＋b2＋…＋b7＝0，則a8＝a1＝3，故選B. 7．在各項均不為零的數列{an}中，若a1＝1，a2＝，2anan＋2＝an＋1an＋2＋anan＋1(n∈N*)，則a2 018＝(　　) A. B. C. D. 解析：選C.因為2anan＋2＝an＋1an＋2＋anan＋1(n∈N*)，所以＝＋，所以是等差數列，其公差d＝－＝2，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，a

20、n＝，所以a2 018＝. 8．已知函數f(x)＝則不等式f(x－1)≤0的解集為________． 解析：由題意，得f(x－1)＝當x≥2時，由2x－2－2≤0，解得2≤x≤3；當x＜2時，由22－x－2≤0，解得1≤x＜2.綜上所述，不等式f(x－1)≤0的解集為{x|1≤x≤3}． 答案：[1，3] 9．已知數列{an}滿足a1＝，an＝(n≥2，n∈N*)，則通項公式an＝________． 解析：由an＝?＝·＋，令＝bn，則bn＝·bn－1＋?bn－1＝·(bn－1－1)，由a1＝，得b1－1＝－，所以{bn－1}是以－為首項，為公比的等比數列，所以bn－1＝－·，得an＝＝. 答案： 10．已知Sn為數列{an}的前n項和，且a1＝1，anan＋1＝3n，則S2 017＝________． 解析：由anan＋1＝3n，得an－1an＝3n－1(n≥2)，所以＝3(n≥2)，則數列{an}的所有奇數項和偶數項均構成以3為公比的等比數列，又a1＝1，a1a2＝3，所以a2＝3，所以S2 017＝＋＝31 009－2. 答案：31 009－2 8