2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 第四講 立體幾何 微專題2 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)案 理

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1、微專題2 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 命 題 者 說 考 題 統(tǒng) 計(jì) 考 情 點(diǎn) 擊 2018·全國(guó)卷Ⅱ·T9·異面直線所成的角 2018·浙江高考·T6·直線與平面平行 2017·全國(guó)卷Ⅱ·T10·異面直線所成的角 2017·全國(guó)卷Ⅲ·T16·圓錐、異面直線所成的角 1.以選擇題、填空題的形式考查線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理,對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷,屬基礎(chǔ)題。 2.空間中的平行、垂直關(guān)系的證明也是高考必考內(nèi)容,多出現(xiàn)在立體幾何解答題中的第(1)問。 考向一 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系判斷 【例1】 (1)已知α,β是兩個(gè)不同的平面,l,m,n是不

2、同的直線,下列命題中不正確的是(  ) A.若l⊥m,l⊥n,m?α,n?α,則l⊥α B.若l⊥α,l∥β,則α⊥β C.若α⊥β,α∩β=l,m?α,m⊥l,則m⊥β D.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,則m⊥n (2)已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是(  ) A.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β B.若m⊥α,n⊥α,則m∥n C.若m∥α,n∥α,則m∥n D.若l∥α,α∥β,則l∥β 解析 (1)由l⊥m,l⊥n,m?α,n?α,不能推出l⊥α,缺少條件m與n相交,故A不正確;若l⊥α,l∥β,則過l作平面γ,使γ∩β=c,則l∥c

3、,故c⊥α,c?β,故α⊥β,B正確;根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知C正確;D正確。故選A。 (2)若α⊥γ,β⊥γ,則α與β相交或平行,故A錯(cuò)誤;若m⊥α,n⊥α,則由直線與平面垂直的性質(zhì)得m∥n,故B正確;若m∥α,n∥α,則m與n相交、平行或異面,故C錯(cuò)誤;若l∥α,α∥β,則l?β或l∥β,故D錯(cuò)誤。故選B。 答案 (1)A (2)B 判斷空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,主要依據(jù)四個(gè)公理、平行關(guān)系和垂直關(guān)系的有關(guān)定義及定理,具體處理時(shí)可以構(gòu)建長(zhǎng)方體或三棱錐等模型,把要考查的點(diǎn)、線、面融入模型中,判斷會(huì)簡(jiǎn)潔明了。如果要否定一結(jié)論,只需找到一個(gè)反例即可。 變|式|訓(xùn)|練 1.已知直線

4、a,b和平面α,β,下列命題中是假命題的有________(只填序號(hào))。 ①若a∥b,則a平行于經(jīng)過b的任何平面; ②若a∥α,b∥α,則a∥b; ③若a∥α,b∥β,且α⊥β,則a⊥b; ④若α∩β=a,且b∥α,則b∥a。 解析 ①若a∥b,a,b可以確定平面,則a平行于經(jīng)過b的任何平面,不正確;②若a∥α,b∥α,則a∥b或a,b相交、異面,不正確;③若a∥α,b∥β,且α⊥β,則a,b關(guān)系不確定,不正確;④若α∩β=a,且b∥α,則b與a關(guān)系不確定,不正確。 答案?、佗冖邰? 2.(2018·益陽、湘潭調(diào)研)下圖中,G,N,M,H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的

5、頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有(  ) A.①③    B.②③ C.②④    D.②③④ 解析 由題意,可知題圖①中,GH∥MN,因此直線GH與MN共面;題圖②中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;題圖③中,連接MG,則GM∥HN,因此直線GH與MN共面;題圖④中,連接GN,G,M,N三點(diǎn)共面,但H?平面GMN,所以直線GH與MN異面。故選C。 答案 C 考向二 異面直線所成的角 【例2】 (2018·全國(guó)卷Ⅱ)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值

6、為(  ) A. B. C. D. 解析  解法一:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則D(0,0,0),A(1,0,0),B1(1,1,),D1(0,0,),所以=(-1,0,),=(1,1,),因?yàn)閏os〈,〉===,所以異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為。故選C。 解法二:如圖,補(bǔ)上一相同的長(zhǎng)方體CDEF-C1D1E1F1,連接DE1,B1E1。易知AD1∥DE1,則∠B1DE1或其補(bǔ)角為異面直線AD1與DB1所成角。因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,所以DE1==

7、=2,DB1==,B1E1===,在△B1DE1中,由余弦定理,得cos∠B1DE1==>0,所以∠B1DE1為銳角,即為異面直線AD1與DB1所成的角,即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為,故選C。 解法三:如圖,連接BD1,交DB1于點(diǎn)O,取AB的中點(diǎn)M,連接DM,OM,易知O為BD1的中點(diǎn),所以AD1∥OM,則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角。因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,AD1==2,DM==,DB1==,所以O(shè)M=AD1=1,OD=DB1=,于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD==,即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值

8、為,故選C。 答案 C 求異面直線所成的角,一般是用平移法把異面直線平移為相交直線,然后再解三角形求解。 變|式|訓(xùn)|練 (2018·陜西質(zhì)量檢測(cè))已知△ABC與△BCD均為正三角形,且AB=4。若平面ABC⊥平面BCD,且異面直線AB和CD所成的角為θ,則cosθ=(  ) A.-  B. C.-   D. 解析  如圖,取BC的中點(diǎn)O,取BD的中點(diǎn)E,取AC的中點(diǎn)F,連接OA,OE,OF,EF,則OE∥CD,OF∥AB,則∠EOF或其補(bǔ)角為異面直線AB與CD所成的角,依題得OE=CD=2,OF=AB=2,過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G,易得FG⊥平面BCD,且F

9、G=OA=,G為OC的中點(diǎn),則OG=1,又OE=2,∠EOG=60°,所以由余弦定理得EG= ==,由勾股定理得EF2=FG2+EG2=()2+()2=6,在△OEF中,由余弦定理得cos∠EOF===,所以cosθ=。故選D。 答案 D 考向三 空間點(diǎn)、線、面的綜合問題 【例3】 (1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD的中點(diǎn),則(  ) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC (2)若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,給出下列結(jié)論: ①四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直; ②四面

10、體ABCD每個(gè)面的面積相等; ③從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°且小于180°; ④連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分; ⑤從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)。 其中正確結(jié)論的序號(hào)是________。 解析 (1)解法一:由正方體的性質(zhì),得A1B1⊥BC1,B1C⊥BC1,A1B1∩B1C=B1,所以BC1⊥平面A1B1CD。又A1E?平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1。故選C。 解法二:因?yàn)锳1E在平面ABCD上的投影為AE,而AE不與AC,BD垂直,所以B、D錯(cuò)誤;因?yàn)锳1E在平面BCC1B1上的投影為B1

11、C,且B1C⊥BC1,所以A1E⊥BC1,(證明:由條件易知,BC1⊥B1C,BC1⊥CE,又CE∩B1C=C,所以BC1⊥平面CEA1B1。又A1E?平面CEA1B1,所以A1E⊥BC1。),C正確;因?yàn)锳1E在平面DCC1D1上的投影為D1E,而D1E不與DC1垂直。A錯(cuò)誤。故選C。 (2)對(duì)于①,如圖①,AE,CF分別為BD邊上的高,由AD=BC,AB=CD,BD=DB可知△ABD≌△CDB,所以AE=CF,DE=BF,當(dāng)且僅當(dāng)AD=AB,CD=BC時(shí),E,F(xiàn)重合,此時(shí)AC⊥BD,所以當(dāng)四面體ABCD為正四面體時(shí),每組對(duì)棱才相互垂直,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,由題設(shè)可知四面體的四個(gè)面全等,所以

12、四面體ABCD每個(gè)面的面積相等,故②正確;對(duì)于③,當(dāng)四面體為正四面體時(shí),同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的任意兩條棱的夾角均為60°,此時(shí)四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和等于180°,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,如圖②,G,H,I,J為各邊中點(diǎn),因?yàn)锳C=BD,所以四邊形GHIJ為菱形,所以GI,HJ相互垂直平分,其他同理可得,所以連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分,故④正確;對(duì)于⑤,從A點(diǎn)出發(fā)的三條棱為AB,AC,AD,因?yàn)锳C=BD,所以AB,AC,AD可以構(gòu)成三角形,其他同理可得,所以從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),故⑤正確。綜上所述,正確的結(jié)論為②④⑤

13、。 答案 (1)C (2)②④⑤ 破解此類問題需:(1)認(rèn)真審題,并細(xì)觀所給的圖形,利用空間直線、平面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理求解;(2)懂得轉(zhuǎn)化,即把面面關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系問題,再把線面關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系問題,通過轉(zhuǎn)化,把問題簡(jiǎn)單化,問題的解決也就水到渠成了。 變|式|訓(xùn)|練 1.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形,則該三棱錐中與平面α平行的棱有(  ) A.0條 B.1條 C.2條 D.0條或2條 解析 如圖,因?yàn)槠叫杏谌忮F的兩條相對(duì)棱的平面截三棱錐所得的截面是平行四邊形,所以該三棱錐中與平面α平行的棱有2條。故選C。 答案 C

14、 2.如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是(  )   A      B      C     D 解析  解法一:對(duì)于B,如圖所示,連接CD,因?yàn)锳B∥CD,M,Q分別是所在棱的中點(diǎn),所以MQ∥CD,所以AB∥MQ,又AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ,所以AB∥平面MNQ。同理可證選項(xiàng)C,D中均有AB∥平面MNQ。故選A。 解法二:對(duì)于A,設(shè)正方體的底面對(duì)角線的交點(diǎn)為O(如圖所示),連接OQ,則OQ∥AB,因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn),所以AB與平面MNQ有交點(diǎn),即AB與平

15、面MNQ不平行。故選A。 答案 A 1.(考向一)(2018·重慶六校聯(lián)考)設(shè)a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則α∥β的一個(gè)充分條件是(  ) A.存在一條直線a,a∥α,a∥β B.存在一條直線a,a?α,a∥β C.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 解析 對(duì)于A,若存在一條直線a,a∥α,a∥β,則α∥β或α與β相交,若α∥β,則存在一條直線a,使得a∥α,a∥β,所以選項(xiàng)A的內(nèi)容是α∥β的一個(gè)必要條件;同理,選項(xiàng)B,C的內(nèi)容也是α∥β的一個(gè)必要條件而不是充分條件;對(duì)于D,可

16、以通過平移把兩條異面直線平移到一個(gè)平面中,成為相交直線,則有α∥β,所以選項(xiàng)D的內(nèi)容是α∥β的一個(gè)充分條件。故選D。 答案 D 2.(考向二)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30°,則該長(zhǎng)方體的體積為(  ) A.8     B.6 C.8    D.8 解析  在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,連接BC1,根據(jù)線面角的定義可知∠AC1B=30°,因?yàn)锳B=2,所以BC1=2,從而求得CC1=2,所以該長(zhǎng)方體的體積為V=2×2×2=8。故選C。 答案 C 3.(考向三)在底面是菱形的四棱錐

17、P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AD上,平面CEF與PA交于點(diǎn)K,且PA=AB=3,AF=2,則等于(  ) A.    B. C.    D. 解析 如圖所示,延長(zhǎng)BA,CF交于點(diǎn)G,連接EG,與PA的交點(diǎn)就是K點(diǎn),則AG=6,過點(diǎn)A作AH∥PB,與EG交于點(diǎn)H,則=====。故選A。 答案 A 4.(考向三)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,若P為三角形A1B1C1內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界),則點(diǎn)P在底面ABC的投影可能在(  ) A.△ABC的內(nèi)部 B.△ABC的外部 C.直線AB上 D.以上均有

18、可能 解析 因?yàn)锳C⊥AB,AC⊥BC1,所以AC⊥平面ABC1,AC?平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線 AB上。若P為三角形A1B1C1內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界),則點(diǎn)P在底面ABC的投影可能在△ABC的外部。故選B。 答案 B 5.(考向三)(2018·成都診斷)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知底面ABCD為正方形,P為A1D1的中點(diǎn),AD=2,AA1=,點(diǎn)Q是正方形ABCD所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且QC=QP,則線段BQ的長(zhǎng)度的最大值為________。 解析 以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則P(1,0,),C(0,2,0),B(2,2,0),Q(x,y,0),因?yàn)镼C=QP,所以=?(x-2)2+(y+2)2=4,所以(y+2)2=4-(x-2)2≤4?|y+2|≤2?-4≤y≤0,BQ===,根據(jù)-4≤y≤0可得4≤4-8y≤36,所以2≤BQ≤6,故線段BQ的長(zhǎng)度的最大值為6。 答案 6 10

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