2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 第一講 高考??伎陀^(guān)題 微專(zhuān)題2 平面向量、復(fù)數(shù)學(xué)案 理

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1、微專(zhuān)題2 平面向量、復(fù)數(shù) 命 題 者 說(shuō) 考 題 統(tǒng) 計(jì) 考 情 點(diǎn) 擊 2018·全國(guó)卷Ⅰ·T1·復(fù)數(shù)的運(yùn)算 2018·全國(guó)卷Ⅰ·T6·平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算 2018·全國(guó)卷Ⅱ·T1·復(fù)數(shù)的運(yùn)算 2018·全國(guó)卷Ⅱ·T4·平面向量的數(shù)量積運(yùn)算 2018·全國(guó)卷Ⅲ·T2·復(fù)數(shù)的運(yùn)算 2018·全國(guó)卷Ⅲ·T13·平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算   高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查主要有以下幾方面:①平面向量的運(yùn)算。包括向量的線(xiàn)性運(yùn)算及幾何意義,坐標(biāo)運(yùn)算,利用數(shù)量積運(yùn)算解決模、夾角、垂直的問(wèn)題,常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的結(jié)合;②復(fù)數(shù)的運(yùn)算。包括復(fù)數(shù)的概念、幾何意義及四則運(yùn)算。

2、以上考點(diǎn)難度不高,屬送分題,只要掌握基礎(chǔ)知識(shí)就能得滿(mǎn)分。 考向一 平面向量 微考向1:平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算 【例1】 (1)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)在△ABC中,AD為BC邊上的中線(xiàn),E為AD的中點(diǎn),則=(  ) A.- B.- C.+ D.+ (2)(2018·重慶調(diào)研)已知Rt△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,I是△ABC的內(nèi)心,P是△IBC內(nèi)部(不含邊界)的動(dòng)點(diǎn),若=λ+μ(λ,μ∈R),則λ+μ的取值范圍是(  ) A. B. C. D.(2,3) 解析 (1)解法一:如圖所示,=+=+=×(+)+(-)=-,故選A。 解法二:=-

3、=-=-××(+)=-,故選A。 (2)以B為原點(diǎn),BA,BC所在直線(xiàn)分別為x,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則B(0,0),A(3,0),C(0,4)。設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,因?yàn)镮是△ABC的內(nèi)心,所以(5+3+4)×r=4×3,解得r=1,所以I(1,1)。設(shè)P(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)P在△IBC內(nèi)部(不含邊界),所以0

4、角形法則,結(jié)合平面向量基本定理、共線(xiàn)定理等知識(shí)進(jìn)行解答。 (2)如果圖形比較規(guī)則,向量比較明確,則可考慮建立平面直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決。 變|式|訓(xùn)|練 1.(2018·陜西檢測(cè))已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),++=0,||=||=||=2,則△ABC的面積等于(  ) A. B.2 C.3 D.4 解析 由||=||得,△PBC是等腰三角形,取BC的中點(diǎn)為D,則PD⊥BC,又++=0,所以=-(+)=-2,所以PD=AB=1,且PD∥AB,故AB⊥BC,即△ABC是直角三角形,由||=2,|PD|=1可得||=,則||=2,所以△ABC的面積為×2×2=2。故

5、選B。 答案 B 2.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ)。若c∥(2a+b),則λ=________。 解析 由題可得2a+b=(4,2)。因?yàn)閏∥(2a+b),c=(1,λ),所以4λ-2=0,即λ=。 答案  微考向2:平面向量的數(shù)量積運(yùn)算 【例2】 (1)(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=(  ) A.4 B.3 C.2 D.0 (2)圓O為△ABC的外接圓,半徑為2,若+=2,且||=||,則向量在向量方向上的投影為_(kāi)_______。 (3)如圖所示,在平行四邊形

6、ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E為CD的中點(diǎn)。若·=1,則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____。 解析 (1)因?yàn)閍·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-(-1)=2+1=3。故選B。 (2)因?yàn)椋?,所以O(shè)是BC的中點(diǎn)。所以△ABC為直角三角形。在△AOC中,有||=||,所以∠B=30°。由定義,得向量在向量方向上的投影為||cosB=2×=3。 (3)解法一:由題意可知=+,=-+。因?yàn)椤ぃ?,所以(+)·=1,即2+·-2=1。?、? 因?yàn)閨|=1,∠BAD=60°,所以·=||。因此①式可化為1+||-2=1,解得||=0(舍去)或||=。所以AB的長(zhǎng)為。 解法二:以

7、A為原點(diǎn),AB所在直線(xiàn)為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M。由AD=1,∠BAD=60°,可知AM=,DM=。設(shè)|AB|=m(m>0),則B(m,0),C,D。因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以E。所以=,=。由·=1可得+=1,即2m2-m=0。所以m=0(舍去)或m=。故AB的長(zhǎng)為。 答案 (1)B (2)3 (3) 解決以平面圖形為載體的向量數(shù)量積問(wèn)題的方法 (1)選擇平面圖形中的模與夾角確定的向量作為一組基底,用該基底表示構(gòu)成數(shù)量積的兩個(gè)向量,結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算律求解。 (2)若已知圖形中有明顯的適合建立直角坐標(biāo)系的條件,可建立直角坐標(biāo)系將向量數(shù)量積運(yùn)

8、算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決。 變|式|訓(xùn)|練 1.平面向量a與b的夾角為45°,a=(1,1),|b|=2,則|3a+b|=(  ) A.13+6 B.2 C. D. 解析 依題意得|a|=,a·b=×2×cos45°=2,則|3a+b|====。故選D。 答案 D 2.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠BAD=120°,點(diǎn)E,F(xiàn) 分別在邊BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF 。若·=1,則λ的值為_(kāi)_______。 解析 解法一:如圖,由題意可得·=||·||cos120°=2×2×=-2。在菱形ABCD中,易知=,=,所以=+=+,=+=+,·=·=+-2=1,解得λ

9、=2。 解法二:以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖,則A(0,0),B(2,0),C(1,),D(-1,),E,設(shè)F (x0,),則·=·(x0,)=1,則x0+1=1,則x0=0,所以F 為DC中點(diǎn),所以DC=2DF ,即λ=2。 答案 2 微考向3:平面向量的最值問(wèn)題 【例3】 (2018·浙江高考)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量。若非零向量a與e的夾角為,向量b滿(mǎn)足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是(  ) A.-1 B.+1 C.2 D.2- 解析 解法一:設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),a=,b==(x,y),e=(1,0),由b2-4e·b+3=0得x2

10、+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,所以點(diǎn)B的軌跡是以C(2,0)為圓心,1為半徑的圓。因?yàn)閍與e的夾角為,所以不妨令點(diǎn)A在射線(xiàn)y=x(x>0)上,如圖,數(shù)形結(jié)合可知|a-b|min=||-||=-1。故選A。 解法二:由b2-4e·b+3=0得b2-4e·b+3e2=(b-e)·(b-3e)=0。設(shè)b=,e=,3e=,所以b-e=,b-3e=,所以·=0,取EF 的中點(diǎn)為C,則B在以C為圓心,EF 為直徑的圓上,如圖。設(shè)a=,作射線(xiàn)OA,使得∠AOE=,所以|a-b|=|(a-2e)+(2e-b)|≥|a-2e|-|2e-b|=||-||≥-1。故選A。 答案 A

11、 平面向量的最值問(wèn)題的兩種解法 (1)坐標(biāo)法:建立平面直角坐標(biāo)系,計(jì)算有關(guān)向量的坐標(biāo),利用向量的坐標(biāo)計(jì)算。 (2)幾何法:根據(jù)向量的幾何意義構(gòu)造圖形,通過(guò)分析圖形得出結(jié)論。 變|式|訓(xùn)|練 已知A,B,C是圓O:x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),且AC⊥BC,若點(diǎn)M的坐標(biāo)是(1,1),則|++|的最大值為(  ) A.3 B.4 C.3-1 D.3+1 解析 解法一:因?yàn)锳,B,C是圓O:x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),且AC⊥BC,所以設(shè)A(cosθ,sinθ),B(-cosθ,-sinθ),C(cosα,sinα),其中0≤θ<2π,0≤α<2π,因?yàn)镸(1,1),所以++=(

12、cosθ-1,sinθ-1)+(-cosθ-1,-sinθ-1)+(cosα-1,sinα-1)=(cosα-3,sinα-3),所以|++| = = =,當(dāng)且僅當(dāng)sin=-1時(shí),|++|取得最大值,最大值為=3+1。故選D。 解法二:連接AB,因?yàn)锳C⊥BC,所以AB為圓O的直徑,所以+=2,所以|++|=|2+|≤|2|+||=2+||,易知點(diǎn)M與圓上動(dòng)點(diǎn)C的距離的最大值為+1,所以||≤+1,所以|++|≤3+1。故選D。 答案 D 考向二 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 【例4】 (1)(2018·全國(guó)卷Ⅱ)=(  ) A.--i B.-+i C.--i D.-+i (2)(

13、2018·北京高考)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 (1)因?yàn)椋剑剑剑玦。故選D。 (2)==+i,其共軛復(fù)數(shù)為-i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為。故選D。 答案 (1)D (2)D 復(fù)數(shù)問(wèn)題的解題思路 (1)以復(fù)數(shù)的基本概念、幾何意義、相等的條件為基礎(chǔ),結(jié)合四則運(yùn)算,利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式列方程或方程組解決問(wèn)題。 (2)若與其他知識(shí)結(jié)合考查,則要借助其他的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。 變|式|訓(xùn)|練 1.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)a+(a∈R)是純虛數(shù),則a=(  ) A.-1 B.1 C.-2 D

14、.2 解析 因?yàn)閍+=a+=a-2+i為純虛數(shù),所以a-2=0,得a=2。故選D。 答案 D 2.復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(  ) A.(3,3) B.(-1,3) C.(3,-1) D.(2,4) 解析 因?yàn)閦====-1+3i,所以其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,3)。故選B。 答案 B 3.復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足=i(i為虛數(shù)單位),則=(  ) A.1+i   B.1-i C.   D. 解析 因?yàn)椋絠,所以z=(z-i)i=zi+1,z==,=,故選D。 答案 D 1.(考向一)(2018·河北、河南、山西聯(lián)考)如圖,在等邊△AB

15、C中,O為△ABC的重心,點(diǎn)D為BC邊上靠近B點(diǎn)的四等分點(diǎn),若=x+y,則x+y=(  ) A. B. C. D. 解析 設(shè)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),連接AE,可知O在A(yíng)E上,由=+=+=(+)+(-)=-,故x=,y=-,x+y=。故選B。 答案 B 2.(考向一)(2018·天津高考)如圖,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1。若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則·的最小值為(  ) A. B. C. D.3 解析 解法一:如圖,以D為原點(diǎn)DA所在直線(xiàn)為x軸,DC所在直線(xiàn)為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(1,0),B,C(

16、0,),令E(0,t),t∈[0,],所以·=(-1,t)·=t2-t+,因?yàn)閠∈[0,],所以當(dāng)t=-=時(shí),·取得最小值,(·)min=-×+=。故選A。 解法二:令=λ(0≤λ≤1),由已知可得DC=,因?yàn)椋剑?,所以=+=++λ,所以·?+λ)·(++λ)=·+2+λ·+2=3λ2-λ+。當(dāng)λ=-=時(shí),·取得最小值。故選A。 答案 A 3.(考向二)(2018·株洲二模)設(shè)i為虛數(shù)單位,1-i=,則實(shí)數(shù)a=(  ) A.2 B.1 C.0 D.-1 解析 因?yàn)?-i=,所以2+ai=(1-i)(1+i)=2,所以a=0。故選C。 答案 C 4.(考向二)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為,若(1-2i)=5-i(i為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 依題意,設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則+=2a+bi,故2a+bi==1+i,故a=,b=,則在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,位于第一象限。故選A。 答案 A 12

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