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1、2022年高三數(shù)學(xué) 第78課時(shí) 函數(shù)的極限和連續(xù)性教案
教學(xué)目標(biāo): 了解函數(shù)極限的概念;掌握極限的四則運(yùn)算法則;會(huì)求某些數(shù)列與函數(shù)的極限;了解函數(shù)連續(xù)的意義;理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì)
(一) 主要知識(shí)及主要方法:
函數(shù)極限的定義:
當(dāng)自變量取正值并且無(wú)限增大時(shí),如果函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù),就說(shuō)當(dāng)趨向于正無(wú)窮大時(shí),函數(shù)的極限是,記作:,或者當(dāng)時(shí), ;當(dāng)自變量取負(fù)值并且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí),如果函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù),就說(shuō)當(dāng)趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí),函數(shù)的極限是.
記作或者當(dāng)當(dāng)時(shí),
如果且,那么就說(shuō)當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí),函數(shù)的極限是,記作:或者當(dāng)時(shí), .
常數(shù)函數(shù): (),
2、有.
存在,表示和都存在,且兩者相等所以中的既有,又有的意義,而數(shù)列極限中的僅有的意義.
趨向于定值的函數(shù)極限概念:當(dāng)自變量無(wú)限趨近于()時(shí),如果函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù),就說(shuō)當(dāng)趨向時(shí),函數(shù)的極限是,記作.特別地,;.
.
其中表示當(dāng)從左側(cè)趨近于時(shí)的左極限,
表示當(dāng)從右側(cè)趨近于時(shí)的右極限.
對(duì)于函數(shù)極限有如下的運(yùn)算法則:
如果,,那么,
, .
當(dāng)是常數(shù),是正整數(shù)時(shí):,
這些法則對(duì)于的情況仍然適用.
函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義: 如果函數(shù)在點(diǎn)處有定義,存在,
且,那么函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).
函數(shù)在內(nèi)連續(xù)的定義:如果函數(shù)在某一開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù),就說(shuō)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù),或是開(kāi)區(qū)
3、間內(nèi)的連續(xù)函數(shù).
函數(shù)在上連續(xù)的定義:如果在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù),在左端點(diǎn)處有,在右端點(diǎn)處有就說(shuō)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),或是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).
最大值:是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),如果對(duì)于任意,≥,那么在點(diǎn)處有最大值.
最小值:是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),如果對(duì)于任意,≤,那么在點(diǎn)處有最小值.
最大值最小值定理
如果是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),那么在閉區(qū)間上有最大值和最小值.
極限問(wèn)題的基本類型:分式型,主要看分子和分母的首項(xiàng)系數(shù);
指數(shù)型(和型),通過(guò)變形使得各式有極限;
根式型(型),通過(guò)有理化變形使得各式有極限;
根的存在定理:若①函數(shù)在上連續(xù),②,則方程至少有一根在區(qū)間內(nèi);若①函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)
4、,②,則方程有且只有一根在區(qū)間內(nèi).
(二)典例分析:
問(wèn)題1.求下列函數(shù)的極限:
;;;
; ;();
(廣東) (陜西)
問(wèn)題2.若,求、的值.
設(shè),若,求常數(shù)、的值.
(重慶)設(shè)正數(shù)滿足,則
問(wèn)題3.討論下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的連續(xù)性.
,點(diǎn);,點(diǎn);
試討論函數(shù),點(diǎn)
問(wèn)題4.已知 ,在區(qū)間上連續(xù),求
(屆高三四川眉山市一診)已知函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)
5、
問(wèn)題5.已知函數(shù),當(dāng)時(shí),求的最大值和
最小值;解方程;求出該函數(shù)的值域.
問(wèn)題6.證明:方程至少有一個(gè)小于的正根.
(三)課后作業(yè):
已知,求的值.
若(、為常數(shù)),則 ;
已知(),那么給一個(gè)定義,使在處
連續(xù),則應(yīng)是
(濟(jì)南一模)設(shè)是一個(gè)一元三次函數(shù)且,,
則
設(shè)函數(shù)在處連續(xù),且,則
(四)走向高考:
(江西
6、)若,則
(湖北)若,則常數(shù)的值為
(天津)設(shè),,,則
(四川)
(江西) 等于 等于 等于 不存在
(天津)設(shè)等差數(shù)列的公差是,前項(xiàng)的和為,則
(全國(guó)Ⅱ)已知數(shù)列的通項(xiàng),其前項(xiàng)和為,則
(湖南)下列四個(gè)命題中,不正確的是
若函數(shù)在處連續(xù),則
函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)是和
若函數(shù),滿足,則
y
x
7、O
(安徽)如圖,拋物線與軸的正半軸交于
點(diǎn),將線段的等分點(diǎn)從左至右依次記為,…,
,過(guò)這些分點(diǎn)分別作軸的垂線,與拋物線的交點(diǎn)依次為
,…,,從而得到個(gè)直角三角形
.當(dāng)時(shí),這些三角形
的面積之和的極限為
(江西)已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),
且.求實(shí)數(shù)和的值;解不等式.
(廣東)設(shè)函數(shù),其中常數(shù)為整數(shù).
當(dāng)為何值時(shí),≥;定理:若函數(shù)在上連續(xù),且與異號(hào),則至少存在一點(diǎn),使得.
試用上述定理證明:當(dāng)整數(shù)時(shí),方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.