2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 第五講 概率與統(tǒng)計(jì) 微專題2 排列組合與二項(xiàng)式定理、概率學(xué)案 理

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2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 第五講 概率與統(tǒng)計(jì) 微專題2 排列組合與二項(xiàng)式定理、概率學(xué)案 理_第1頁
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1、微專題2 排列組合與二項(xiàng)式定理、概率 命 題 者 說 考 題 統(tǒng) 計(jì) 考 情 點(diǎn) 擊 2018·全國(guó)卷Ⅰ·T10·幾何概型 2018·全國(guó)卷Ⅰ·T15·排列與組合 2018·全國(guó)卷Ⅱ·T8·古典概型 2018·全國(guó)卷Ⅲ·T5·二項(xiàng)式定理 2018·天津高考·T10·二項(xiàng)式定理 1.排列、組合在高中數(shù)學(xué)中占有特殊的位置,是高考的必考內(nèi)容,很少單獨(dú)命題,主要考查利用排列、組合知識(shí)計(jì)算古典概型。 2.二項(xiàng)式定理仍以求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)為主,題目難度一般。 3.概率、隨機(jī)變量及其分布列是高考命題的熱點(diǎn)之一,命題形式為“一小一大”,即一道選擇或填空題和一道

2、解答題。 考向一 排列與組合 【例1】 (1)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有________種。(用數(shù)字填寫答案) (2)(2018·浙江高考)從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字,一共可以組成________個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。(用數(shù)字作答) 解析 (1)解法一:根據(jù)題意,沒有女生入選有C=4(種)選法,從6名學(xué)生中任意選3人有C=20(種)選法,故至少有1位女生入選,不同的選法共有20-4=16(種)。 解法二:可分兩種情況:第一種情況,只有1位女生入選,不同的選法

3、有CC=12(種);第二種情況,有2位女生入選,不同的選法有CC=4(種)。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,至少有1位女生入選的不同的選法有16種。 (2)若取的4個(gè)數(shù)字不包括0,則可以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為CCA;若取的4個(gè)數(shù)字包括0,則可以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為CCCA。綜上,一共可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為CCA+CCCA=720+540=1 260。 答案 (1)16 (2)1 260 求解排列、組合問題的思路:排組分清,加乘明確;有序排列,無序組合;分類相加,分步相乘。具體地說,解排列、組合的應(yīng)用題,通常有以下途徑: (1)以元素為主體,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元

4、素。 (2)以位置為主體,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置。 (3)先不考慮附加條件,計(jì)算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列或組合數(shù)。 解答計(jì)數(shù)問題多利用分類整合思想。分類應(yīng)在同一標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行,確?!安宦薄安恢亍?。 變|式|訓(xùn)|練 1.(2018·沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))若4個(gè)人按原來站的位置重新站成一排,恰有1個(gè)人站在自己原來的位置,則不同的站法共有(  ) A.4種 B.8種 C.12種 D.24種 解析 將4個(gè)人重排,恰有1個(gè)人站在自己原來的位置,有C種站法,剩下3人不站原來位置有2種站法,所以共有C×2=8(種)站法。故選B。 答案 B 2.(201

5、8·開封高三定位考試)某地實(shí)行高考改革,考生除參加語文、數(shù)學(xué)、英語統(tǒng)一考試外,還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科。學(xué)生甲要想報(bào)考某高校的法學(xué)專業(yè),就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科,則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為(  ) A.6 B.12 C.18 D.19 解析 解法一:在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC=9(種);在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC=9(種);物理、政治、歷史三科都選的選法有1種。所以學(xué)生甲的選考方法共有9+9+1=19(種)。故選D。 解法二:從六科中選考三科的選法有C種,其中包括了沒選物理、政治、歷史中任意一科,這種選法有

6、1種,因此學(xué)生甲的選考方法共有C-1=19(種)。故選D。 答案 D 考向二 二項(xiàng)式定理 【例2】 (1)(2018·全國(guó)卷Ⅲ)5的展開式中x4的系數(shù)為(  ) A.10 B.20 C.40 D.80 (2)5的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為________。 解析 (1)由題可得Tr+1=C(x2)5-rr=C·2r·x10-3r。令10-3r=4,則r=2,所以C·2r=C×22=40。故選C。 (2)不妨設(shè)x>0,5=10的通項(xiàng)公式:Tr+1=C()10-rr=Cx5-r,令5-r=0,解得r=5。所以常數(shù)項(xiàng)=C=252。 答案 (1)C (2)252 與二項(xiàng)

7、式定理有關(guān)的題型及解法 題型 解法 求特定項(xiàng)或其系數(shù) 常采用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析求解 系數(shù)的和或差 常用賦值法 近似值問題 利用展開式截取部分項(xiàng)求解 整除(或余數(shù))問題 利用展開式求解 變|式|訓(xùn)|練 1.已知(x2+2x+3y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為(  ) A.60 B.180 C.520 D.540 解析 (x2+2x+3y)5可看作5個(gè)(x2+2x+3y)相乘,從中選2個(gè)y,有C種選法;再從剩余的三個(gè)括號(hào)里邊選出2個(gè)x2,最后一個(gè)括號(hào)選出x,有C·C種選法;所以x5y2的系數(shù)為32C·C·2·C=540。故選D。 答案 D 2.(ax+)

8、5的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20,則實(shí)數(shù)a=________。 解析 展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C(ax)5-r()r=a5-rCx,令5-=3得r=4,所以a·C=20,解得a=4。 答案 4 考向三 古典概型與幾何概型 【例3】 (1)(2018·全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果。哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”,如30=7+23。在不超過30的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的概率是(  ) A.    B. C.    D. (2)正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1,在正六邊形內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M,則使△MAB的

9、面積大于的概率為________。 解析 (1)不超過30的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個(gè),從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),共有C=45(種)取法,因?yàn)?+23=11+19=13+17=30,所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于30的有3種取法,故概率為=。故選C。 (2)如圖所示,作出正六邊形ABCDEF,其中心為O,過點(diǎn)O作OG⊥AB,垂足為G,則OG的長(zhǎng)為中心O到AB邊的距離。易知∠AOB==60°,且OA=OB,所以△AOB是等邊三角形,所以O(shè)A=OB=AB=1,OG=OA·sin60°=1×=,即對(duì)角線CF上的點(diǎn)到AB的距離都為。設(shè)△MAB中AB邊

10、上的高為h,則由S△MAB=×1×h>,解得h>。所以要使△MAB的面積大于,只需滿足h>,即需使M位于CF的上方。故由幾何概型得,△MAB的面積大于的概率P==。 答案 (1)C (2) (1)解答有關(guān)古典概型的概率問題,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù),這常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí)。 (2)當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí),應(yīng)考慮使用幾何概型求解。 變|式|訓(xùn)|練 1.(2018·四川綿陽二診)將一顆骰子先后拋擲2次,觀察向上的點(diǎn)數(shù),將第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為m,第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為n,曲線C:+=1,則曲線C的焦點(diǎn)在x軸上

11、且離心率e≤的概率等于(  ) A. B. C. D. 解析 因?yàn)殡x心率e≤,所以 ≤,解得≥,由列舉法,得當(dāng)m=6時(shí),n=5,4,3;當(dāng)m=5時(shí),n=4,3;當(dāng)m=4時(shí),n=3,2;當(dāng)m=3時(shí),n=2;當(dāng)m=2時(shí),n=1,共9種情況,故其概率為=。故選D。 答案 D 2.(2018·衡水金卷模擬)我國(guó)數(shù)學(xué)家鄒元治利用如圖證明了勾股定理,該圖中用勾(a)和股(b)分別表示直角三角形的兩條直角邊,用弦(c)來表示斜邊,現(xiàn)已知該圖中勾為3,股為4,若從圖中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)不落在中間小正方形中的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 a=3,b=4,由題意

12、得c=5,因?yàn)榇笳叫蔚倪呴L(zhǎng)為a+b=3+4=7,小正方形的邊長(zhǎng)為c=5,則大正方形的面積為49,小正方形的面積為25,所以滿足題意的概率值為1-=。故選B。 答案 B 考向四 條件概率與相互獨(dú)立事件的概率 【例4】 (1)如圖,ABCD是以O(shè)為圓心、半徑為2的圓的內(nèi)接正方形,EFGH是正方形ABCD的內(nèi)接正方形,且E,F(xiàn),G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)。將一枚針隨機(jī)擲到圓O內(nèi),用M表示事件“針落在正方形ABCD內(nèi)”,N表示事件“針落在正方形EFGH內(nèi)”,則P(N|M)等于(  ) A. B. C. D. (2)如圖所示,某快遞公司送貨員從公司A處準(zhǔn)備開車送

13、貨到某單位B處,有A→C→D→B,A→E→F→B兩條路線。若該地各路段發(fā)生堵車與否是相互獨(dú)立的,且各路段發(fā)生堵車事件的概率如圖所示(例如A→C→D算作兩個(gè)路段,路段AC發(fā)生堵車事件的概率為,路段CD發(fā)生堵車事件的概率為)。若使途中發(fā)生堵車事件的概率較小,則由A到B應(yīng)選擇的路線是________。 解析 (1)由題意得,圓O的半徑為2,所以內(nèi)接正方形ABCD的邊長(zhǎng)為AB=2,則正方形ABCD的面積為S1=(2)2=8,因?yàn)镋,F(xiàn),G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),所以EF=×2R=2,所以正方形EFGH的面積為S2=22=4,所以P(N|M)==。故選C。 (2)路線A→C→D→

14、B途中發(fā)生堵車事件的概率P1=1-××=,路線A→E→F→B途中發(fā)生堵車事件的概率P2=1-××=。因?yàn)?,所以應(yīng)選擇路線A→E→F→B。 答案 (1)C (2)A→E→F→B 求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的注意點(diǎn) (1)求復(fù)雜事件的概率,要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成,分析復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件,然后用概率公式求解。 (2)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征:①在每次試驗(yàn)中,試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況;②在每次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率相同。 變|式|訓(xùn)|練 1.(2018·汕頭模擬)甲、乙兩人參加“社會(huì)主義核心價(jià)

15、值觀”知識(shí)競(jìng)賽,甲、乙兩人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為和,甲、乙兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立,則這兩個(gè)人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為(  ) A. B. C. D. 解析 根據(jù)題意,恰有一人獲得一等獎(jiǎng)就是甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得,則所求概率是×+×=。故選D。 答案 D 2.(2018·廈門二模)袋中裝有2個(gè)紅球,3個(gè)黃球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,則3次中恰有2次抽到黃球的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 袋中裝有2個(gè)紅球,3個(gè)黃球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黃球的概率P1=,所以3次中恰有2次抽到黃球的概率是P=C2=。故

16、選D。 答案 D 3.(2018·南昌模擬)口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個(gè),白球3個(gè),黃球1個(gè),甲從中不放回地逐一取球,已知第一次取得紅球,則第二次取得白球的概率為________。 解析 口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個(gè),白球3個(gè),黃球1個(gè),甲從中不放回地逐一取球,設(shè)事件A表示“第一次取得紅球”,事件B表示“第二次取得白球”,則P(A)==,P(AB)=×=,所以第一次取得紅球后,第二次取得白球的概率為P(B|A)===。 答案  1.(考向一)(2018·南昌調(diào)研)某校畢業(yè)典禮上有6個(gè)節(jié)目,考慮整體效果,對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求:節(jié)目甲必須排在前三位,且節(jié)目丙、丁必須排在一

17、起。則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有(  ) A.120種 B.156種 C.188種 D.240種 解析 解法一:記演出順序?yàn)?~6號(hào),對(duì)丙、丁的排序進(jìn)行分類,丙、丁占1和2號(hào),2和3號(hào),3和4號(hào),4和5號(hào),5和6號(hào),其排法分別為AA,AA,CAA,CAA,CAA,故總編排方案有AA+AA+CAA+CAA+CAA=120(種)。故選A。 解法二:記演出順序?yàn)?~6號(hào),按甲的編排進(jìn)行分類,①當(dāng)甲在1號(hào)位置時(shí),丙、丁相鄰的情況有4種,則有CAA=48(種);②當(dāng)甲在2號(hào)位置時(shí),丙、丁相鄰的情況有3種,共有CAA=36(種);③當(dāng)甲在3號(hào)位置時(shí),丙、丁相鄰的情況有3種,共有

18、CAA=36(種)。所以編排方案共有48+36+36=120(種)。故選A。 答案 A 2.(考向二)(2018·湖南湘東聯(lián)考)若(x+a)(1+2x)5的展開式中x3的系數(shù)為20,則a=________。 解析 (x+a)(1+2x)5的展開式中x3的系數(shù)為C·22+a·C·23=20,所以40+80a=20,解得a=-。 答案?。? 3.(考向三)(2018·漳州二模)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加“《論語》知識(shí)大賽”,決出第1名到第5名的名次。甲、乙兩名參賽者去詢問成績(jī),回答者對(duì)甲說“雖然你的成績(jī)比乙好,但是你倆都沒得到第一名”;對(duì)乙說“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”。從上述回答分析,丙是

19、第一名的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 因?yàn)榧缀鸵叶疾豢赡苁堑谝幻?,所以第一名只可能是丙、丁或戊,又考慮到所有的限制條件對(duì)丙、丁、戊都沒有影響,所以這三個(gè)人獲得第一名是等概率事件,所以丙是第一名的概率是。故選B。 答案 B 4.(考向三)已知定義在區(qū)間[-3,3]上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意的x∈[-3,3],都有f(f(x)-2x)=6,則在[-3,3]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得f(x)的值不小于4的概率為(  ) A.      B. C.      D. 解析 由題意設(shè)對(duì)任意的x∈[-3,3],都有f(x)-2x=a,其中a為常數(shù),且a∈[-3

20、,3],則f(a)=6,f(a)-2a=a,所以6-2a=a,得a=2,故f(x)=2x+2,由f(x)≥4得x≥1,因此所求概率為=。故選C。 答案 C 5.(考向四)(2018·珠海一模)夏秋兩季,生活在長(zhǎng)江口外淺海域的中華魚洄游到長(zhǎng)江,歷經(jīng)三千多公里的溯流搏擊,回到金沙江一帶產(chǎn)卵繁殖,產(chǎn)后待幼魚長(zhǎng)大到15厘米左右,又?jǐn)y帶它們旅居外海。一個(gè)環(huán)保組織曾在金沙江中放生一批中華魚魚苗,該批魚苗中的雌性個(gè)體能長(zhǎng)成熟的概率為0.15,雌性個(gè)體長(zhǎng)成熟又能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為0.05,若該批魚苗中的一個(gè)雌性個(gè)體在長(zhǎng)江口外淺海域已長(zhǎng)成熟,則其能成功溯流產(chǎn)卵繁殖的概率為(  ) A.0.05

21、B.0.007 5 C. D. 解析 設(shè)事件A為魚苗中的一個(gè)雌性個(gè)體在長(zhǎng)江口外淺海域長(zhǎng)成熟,事件B為該雌性個(gè)體成功溯流產(chǎn)卵繁殖,由題意可知P(A)=0.15,P(AB)=0.05,所以P(B|A)===。故選C。 答案 C 6.(考向四)(2018·全國(guó)卷Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨(dú)立。設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù),D(X)=2.4,P(X=4)0.5。所以p=0.6,故選B。 答案 B 10

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