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1、2022年高三數(shù)學(xué) 1.6線性回歸(第二課時)大綱人教版選修
課 題
§1.6.2 線性回歸(二)
教學(xué)目標(biāo)
一、教學(xué)知識點
1.加深理解兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系、線性回歸、線性回歸分析等基本概念.
2.深入理解相關(guān)性檢驗、樣本相關(guān)系數(shù)、概念及意義、作用.
3.進(jìn)一步理解并掌握一元線性回歸分析、回歸直線方程.
二、能力訓(xùn)練要求
1.會用公式求一元線性回歸方程=bx+a,其中, .
2.會用樣本相關(guān)系數(shù)公式求出樣本相關(guān)系數(shù).
3.會用有關(guān)公式對兩個變量進(jìn)行相關(guān)性檢驗.
三、德育滲透目標(biāo)
1.培養(yǎng)學(xué)生收集信息、處理信息的動手操作能力(如統(tǒng)計數(shù)據(jù),列表求值,進(jìn)行相關(guān)系數(shù)r
2、的檢驗分析),培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.
2.培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點.
3.培養(yǎng)學(xué)生的情感、意志、刻苦耐勞、科學(xué)求是求實的非智力因素,要有科學(xué)方法和態(tài)度.
教學(xué)重點
線性回歸分析中,回歸直線方程和樣本相關(guān)系數(shù)及相關(guān)性檢驗是本節(jié)課的教學(xué)的重點內(nèi)容.在具體問題里是先進(jìn)行相關(guān)性檢驗,通過檢驗確認(rèn)兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系后,再求其線性回歸方程.否則,所求的線性回歸方程是無意義的.相關(guān)性檢驗是一種假設(shè)檢驗,這種檢驗的統(tǒng)計假設(shè)是兩個變量不具有線性相關(guān)關(guān)系.
教學(xué)難點
相關(guān)性檢驗是本節(jié)課的教學(xué)難點,相關(guān)系數(shù)檢驗法中規(guī)定,|r|越接近于1,表
3、明相關(guān)程度越好；|r|越接近于0,表明相關(guān)程度越差.由于教材中,未明確提出要檢驗的統(tǒng)計假設(shè)是什么,而且所用的顯著性水平只有0.05,對0.01等顯著性水平課本中采用了回避的做法.
教學(xué)方法
啟發(fā)式的教學(xué)方法,啟發(fā)性教學(xué)原則是建構(gòu)主義觀點的一種重要的教學(xué)原則,讓學(xué)生通過討論來達(dá)到主動建構(gòu)的目標(biāo).
教具準(zhǔn)備
幻燈機(jī)(或?qū)嵨锿队皟x)
教學(xué)過程
Ⅰ.課題導(dǎo)入
［師］上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了線性回歸中的有關(guān)概念和回歸直線方程、回歸直線等.請同學(xué)們回顧這些基本內(nèi)容.
［生1］回歸直線方程是=bx+a,其中
,.
［師］給出一組數(shù)據(jù)xi、yi(i=1,2,3,…,n)都可以求出它的線性回歸的回歸
4、直線方程.如圖1－23.這是一組觀測值的散點圖,我們看到,圖中的各點并不集中在一條直線的
圖1－23
附近,但是按照上面的方法,同樣可以就這組數(shù)據(jù)求得一個回歸直線方程.這顯然是毫無意義的.于是提出一個問題：所求得的回歸直線方程,在什么情況下才能對相應(yīng)的一組觀測值具有代表意義呢？這就是我們這節(jié)課研究的問題：線性回歸(二)——相關(guān)性檢驗.
Ⅱ．講授新課
［師］為了檢驗所求得的回歸直線方程在什么情況下才能對相應(yīng)的一組觀測值具有代表意義,我們要引入新的概念,并研究檢測方法：
對于變量y和x的一組觀測值來說,我們把
叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)(簡稱相關(guān)系數(shù)),用它來衡量它們之間
5、的線性相關(guān)程度.你們能求出r的范圍嗎？
［生2］(討論片刻后)|r|≤1.
［師］如何證明這個不等式呢？
［生2］作差比較……不對,用平方差來比較.
［師］你能證明嗎？如果愿意,請到黑板上來寫.否則,下面哪位同學(xué)上來寫？(學(xué)生2和另外一個同學(xué)都上來寫過程)
［生2］當(dāng)n=2時,
.
∴r2-1≤0顯然成立.
對于n≥3時,也類似地配方可知,r2≤1,即|r|≤1.
［生3］令xi-x=ai,yi-y=bi,
∴.
∴要證|r|≤1,只要證明r2≤1,即只要證.事實上,因柯西不等式可知是成立的.故有|r|≤1.
［師］這兩位同學(xué)給出了證明,請同學(xué)們看看,他們
6、的證明是否正確,如果不正確,請給予補(bǔ)充證明.
［生4］生2的證明過程有問題,配方那一步是錯誤的,不能配成完全平方.另外,即使n=2成立,那也未必對于n≥3都成立.而分子上的配方是-(x1y2-x2y1)2+2(x1-y1)2+2(x2-y2)2無法確定正負(fù)性.
［生5］生3的證明過程是跳步的.關(guān)于柯西不等式應(yīng)該證明,構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2恒大于或等于0,即對應(yīng)的判別式Δ≤0.
∵f(x)=(a12+a22+…+an2)x2+2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+(b12+b22+…+bn2),Δ≤0,
∴4(a1b1+a
7、2b2+…+anbn)2-4(a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≤0.
∴(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)成立.
［師］經(jīng)過幾位同學(xué)的共同努力,我們終于證明了|r|≤1是成立的,學(xué)生3的思路是平方后,不作差,而是改變作差思路,他主要是利用換元方法,將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題.只要再補(bǔ)證柯西不等式,他的方法就更完善了.而學(xué)生2的思路是正確的,利用特殊探路,概括到一般情況.但對于n=2時,他的運(yùn)算過程出了問題,是可以配方的,請同學(xué)們課后繼續(xù)研究.
［師］由于|r|≤1,請問如果
8、|r|越接近1,或越接近于0,那么相關(guān)程度有何影響？
［生6］若|r|越接近于1,相關(guān)程度越大；|r|越接近于0,相關(guān)程度越小.
［師］利用r的計算公式來計算上節(jié)課問題1中水稻產(chǎn)量與施化肥量的相關(guān)系數(shù).
(教師打出幻燈片§ 1.6.1 A)請學(xué)生計算相關(guān)的量:,,,,.
［生7］
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
15
20
25
30
35
40
45
yi
330
345
365
405
445
450
455
xiyi
4950
6900
9125
12150
15575
18000
20475
,,,
,
9、
相關(guān)系數(shù)
.
［師］計算是正確的.一般地,當(dāng)|r|與1接近到什么程度才表明y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系呢？為了明確這一點,通常采用對相關(guān)系數(shù)r進(jìn)行顯著性檢驗(簡稱相關(guān)性檢驗)的方法.其中待檢驗的統(tǒng)計假設(shè)是兩個變量不具有線性相關(guān)關(guān)系,檢驗的步驟如下：
(1)在附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度n-2(n為觀測值組數(shù))相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05.顯著性水平0.05是一個作為發(fā)生小概率事件的臨界值,0.9,0.99以及上一小節(jié)§1.5中用到的0.997等也都是常用的顯著性水平.
(2)根據(jù)公式
計算出r的值.
(3)檢驗所得的結(jié)果.如果|r|≤r0.05,那么可以認(rèn)為y與
10、x之間的線性關(guān)系不顯著,從而接受統(tǒng)計假設(shè).
如果|r|>r0.05,表明一個發(fā)生的概率不到5%的事件在一次試驗中竟發(fā)生了.這個小概率事件的發(fā)生使我們有理由認(rèn)為y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)是不成立的,拒絕這一統(tǒng)計假設(shè)也就是表明可以認(rèn)為y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.
按照上述步驟,我們來檢驗問題1中水稻產(chǎn)量與施化肥量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系.
［生8］(1)第一步：在附表3中查出與顯著性水平0.05和自由度7-2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05=0.754.
(2)由學(xué)生7已經(jīng)求出r≈0.9733.
(3)因為r>r0.05,這說明水稻產(chǎn)量與施化肥量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系.
［師］上
11、節(jié)課我們求得的關(guān)于水稻產(chǎn)量與施化肥量之間的回歸直線方程是否有效呢？
［生9］根據(jù)上述結(jié)論表明,上節(jié)課我們求得的兩個變量之間的回歸直線方程是=4.75x+257是有意義的.
［師］用上述方法對上節(jié)課我們研究的問題2進(jìn)行相關(guān)性檢驗.
(教師打出幻燈片§ 1.6.1 B)先看下表并填寫有關(guān)項目.
［生10］
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
xi
1.08
1.12
1.19
1.28
1.36
1.48
1.59
1.68
1.80
1.87
1.98
2.07
yi
2.25
2.37
2.40
2.
12、55
2.64
2.75
2.92
3.03
3.14
3.26
3.36
3.50
xiyi
2.43
2.654
2.856
3.264
3.590
4.07
4.643
5.090
5.652
6.096
6.653
7.245
,,
,,
［生11］相關(guān)系數(shù)
.
［生12］在附表3中查出與顯著性水平0.05和自由度n-2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05=0.576.∵r=0.998>r0.05,∴y與x之間存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系.
［師］通常,在尚未斷定兩個變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系的情況下,應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗,在確認(rèn)其具有線性
13、相關(guān)關(guān)系后,再求其回歸直線方程.
Ⅲ.課堂練習(xí)
(200 4年杭州測試題)下表是某省20個縣城xx年的一份統(tǒng)計資料.
縣城編號
xi
yi
縣城編號
xi
yi
1
121
360
11
387
602
2
118
260
12
270
540
3
271
440
13
218
414
4
190
400
14
342
590
5
75
360
15
173
492
6
263
500
16
370
660
7
334
580
17
170
360
8
368
560
18
205
14、410
9
305
505
19
339
680
10
210
480
20
283
594
其中xi表示第i個縣城在xx年建成的新住宅面積(單位：103m2),yi表示第i個縣城在xx年的家具銷售量(萬元).如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求回歸直線方程.
解：由已知數(shù)據(jù)可以算出：;
,
,
a=-b≈218.4147.
∴=1.0811x+218.4147,即為所求的回歸直線.
Ⅳ.課時小結(jié)
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),我們看到,由部分觀測值得到的回歸直線,可以對兩個變量間的線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行估計,這實際上是將非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題來進(jìn)行研究.由于回歸直線
15、將部分觀測值所反映的規(guī)律性進(jìn)行了延伸,它在情況預(yù)報、資料補(bǔ)充等方面有著廣泛的應(yīng)用.從某種意義上看,函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型,而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況.因此研究相關(guān)關(guān)系,不僅可使我們處理更為廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,還可使我們對函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識上升到一個新的高度.
Ⅴ．課后作業(yè)
課本P42習(xí)題1.6 2、3.
板書設(shè)計
§ 1.6.2 線性回歸(二)
一、樣本相關(guān)系數(shù)公式
二、|r|≤1,且|r|越接近于1,相關(guān)程度越大；
|r|越接近于0,相關(guān)程度越小.
三、相關(guān)性檢驗步驟
1.顯著性水平0.05與自由度n-2相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05.
2.求出r.
3.檢驗結(jié)果:|r|>r0.05時,y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系.
推證|r|≤1的過程.
柯西不等式的證明過程.
f(x)==1(aix+bi)2≥0恒成立.
∴Δ≤0.
問題1的相關(guān)性檢驗過程
問題2的相關(guān)性檢驗過程
課堂練習(xí)題的解題過程
2022年高三數(shù)學(xué) 1.6線性回歸(第二課時)大綱人教版選修
