2022年高三數(shù)學 排列、組合和和概率 二項式定理教案同步教案 新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學 排列、組合和和概率 二項式定理教案同步教案 新人教A版 學習指導: 1.有關(guān)二項式定理,要記住公式,弄清與其相關(guān)的概念:二項式系數(shù)、系數(shù)、項、項數(shù)、通項等,從而正確運用二項式系數(shù)的性質(zhì)進行計算,解一些應(yīng)用題。重點是二項式定理的應(yīng)用、難點是對通項的理解。 2.二項式定理:。右邊的多項式叫做的二項展開式,共有項,其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù),叫做二項展開式的通項,用表示。 3.二項式系數(shù)的性質(zhì) (1)對稱性:與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等。 (2)增減性與最大值 當時,二項式系數(shù)是逐漸增大的;當時,二項式系數(shù)是逐漸減小的, 當是偶數(shù)時,中間一項的二項式

2、系數(shù)取得最大值;當是奇數(shù)時,中間的兩項的二項式系數(shù)相等,且同時取得最大值。 (3)的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于,即 (4)的展開式中,奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和,即 。 例題選講 例1.求展開式中的常數(shù)項。 解:展開式的通項為。令得 展開式的常數(shù)項為。 注:若把上題改為“求展開式中的有理項”,由 知為6的倍數(shù),又; 展開式中的有理項為,,。 例2.在的展開式中,所有奇數(shù)項之和等于1024,試求它的中間項。 解:展開式中所有奇數(shù)項系數(shù)之和等于所有偶數(shù)項系數(shù)之和,即,,展開式共有12項,其中第6、7項為中間項。 例3.已知的展開式中項的

3、系數(shù)與的展開式中項的系數(shù)相等,求的值。 解:的展開式中的通項為,,即項的系數(shù)為。 的展開式中的通項為,,即項的系數(shù)為。 由,即,解之得中,舍去。 。 例4.在的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中的有理項。 解:因為前三項系數(shù)分別為1、、,它們成等差數(shù)列,所以。即解之得或。 當時,的展開式中不含有理項,所以不合,應(yīng)舍去。 當時,的展開式的通項為 ,應(yīng)是4的倍數(shù), 必須是4的倍數(shù),又,。 展開式中各有理項為,,。 注:求二項展開式中有關(guān)的系數(shù)、常數(shù)項、有理項等特殊項的問題,可緊緊抓住二項展開項的通項,通過對通項的分析,去找到原問題的解。 例5.求

4、中的系數(shù)。 解法一,原式 原題即轉(zhuǎn)化為求的展開式中的的系數(shù),, 的系數(shù)為286。 解法二:項只存在于后四個項中,且都是四個展開式的第10項。系數(shù)之和為 解法三:原式中的系數(shù)與式中的的系數(shù)相同,后者 所以展開式中的的系數(shù)為 例6.求展開式中的系數(shù)。 解:因為的展開式通項為,其中時,系數(shù)為。 的展開式通項為,其中時系數(shù)為。 的展開式通項為,其中時系數(shù)為。 所以展開式中的系數(shù)為。 例7.求展開式中的系數(shù)。 解:原式 第三項起沒有的項。 所以的系數(shù)為。 注:求的展開式中的系數(shù)。 原式 只有第3項有,其系數(shù)為 或者由原式 從四個因式中任取2個a,其余再從余

5、下的兩個式子中任取1個b,最后一個因式中取1個c。得的系數(shù)為。 一般地,展開式中的系數(shù)可表示為 例8.求的展開式中的系數(shù)。 解法一、原式,其通項為,又的通項 令,可得或 當時,的系數(shù)為; 當時,的系數(shù)為; 所以符合條件的的系數(shù)為。 解法二、原式,其通項為 當時,的系數(shù)為; 當時,的系數(shù)為 所以展開式中的系數(shù)為。 解法三、原式 出現(xiàn)有兩種情況,一種是三個因式均提供,另一種是一個提供,另兩個中有一個提供,一個提供,因而的系數(shù)為。 例9.求展開式中的最大項。 解:展開式中二項式系數(shù)最大的項是中間的項,但雖然的第26項的二項式系數(shù)最大,但因其,但卻隨的增大而增大,因此

6、第26項不一定最大,但當時,的值顯然大于1,所以只要討論時,小于1。 , 即展開式中的最大項為。 例10.數(shù)的未尾連續(xù)的零的個數(shù)是 個。 解法一、因為 令 同為M的未位數(shù)是0,N的未位數(shù)是6。所以的未尾連續(xù)零的個數(shù)是3個。 解法二、因為,,, , 當時,末尾有四個以上的0,所以,m為正整數(shù)。 所以的未尾有3個連續(xù)的零。 例11.在的展開式中,求: (1) 二項式系數(shù)最大的項; (2) 系數(shù)絕對值最大的項; (3) 系數(shù)最大的項 解:(1)二項式系數(shù)最大的項是 (2)設(shè)系數(shù)絕對值最大的項是第r+1項,則

7、 即 得, 所以當時,系數(shù)絕對值最大的項為 (3)因系數(shù)為正的項為奇數(shù)項,故可設(shè)第項系數(shù)最大,則 得 即系數(shù)最大。 例12.設(shè),求: (1); (2) 解:(1)令得 令得 (2)令得① 令得② 由①+②得 例13.求除以100的余數(shù) 解法一: 觀察各項,只有最后兩項不能被100 又 故知除以100的余數(shù)為81。 解法二: 顯然僅最后一項不能被100整除,以下轉(zhuǎn)化為求被100除的余數(shù)。 此式中僅最后兩項不能被100整除,而, 所求余數(shù)為81。 例14.證明:, 證明:當時, 當時, 又

8、 注:證明還可以有如下的證法: 例15、當,求證: 證明:因為 其中 所以 鞏固與練習 一、 選擇題 1.二項式展開式中的前三項系數(shù)成等差數(shù)列,則展開式中的常數(shù)項是( ) A. B. C. D. 2.被4除所得的系數(shù)為( ?。? A.0 B.1 C.2 D.3 3.,,展開式按a的降冪排列后第二項不大于第三項,則a的取值范圍是(

9、 ) A. B. C. D. 4.展開式中各項系數(shù)之和為( ) A. B. C. D. 二、填空題 5.設(shè),則 ; ; 。 6.在的展開式中,的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項,若實數(shù),則 。 7.被22除所得的余數(shù)為 。 8.已知展開式中的余數(shù)是56,則實數(shù)的值是

10、 。 三、解答題 9.求展開式中的系數(shù)。 10.已知,(1)若展開式中第五項、第六項、第七項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中項式系數(shù)最大的項的系數(shù);(2)若展開式中前三項的二項式系數(shù)之和等于79,求展開式中系數(shù)最大的項。 11.設(shè),若其展開式中關(guān)于x的一次項系數(shù)的和為11,試問m、n為何值時,含項的系數(shù)和最小,這個最小值是多少? 12.求展開式中含x一次冪的項。 參考答案 1.D 2.A 3.D 4.B 5.;;; 6. 7.1 8.或 9. 10.(1)當時,第五項系數(shù)為和第五項系數(shù);當時,第8項系數(shù)為3432 (2) 11.當或時,取最小值為30。 12.45x

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