2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 線性規(guī)劃（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 線性規(guī)劃（含解析） 1、不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 (　　)． A．4 B．1 C．5 D．無(wú)窮大 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，△ABC的面積即為所求． 求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(1,2)，(2,2)，(3,0)，則△ABC的面積為S＝×(2－1)×2＝1. 答案：B 2、若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是 (　　)． A. B．(0,1] C. D．(0,1]∪ 解析　不等式組表示的平面區(qū)域如圖(陰影部分)，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和(1,0)，若原不等式

2、組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則直線x＋y＝a的a的取值范圍是0＜a≤1或a≥. 答案　D 考點(diǎn)：線性目標(biāo)函數(shù)的最值 1、(xx·天津卷)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－2x的最小值為 (　　)． A．－7 B．－4 C．1 D．2 解析：由x，y滿足的約束條件可畫(huà)出所表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的△ABC，作出直線y＝2x，經(jīng)過(guò)平移得目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－2x在點(diǎn)B(5,3)處取得最小值，即zmin＝3－10＝－7.故選A. 答案：A 2、(xx·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)已知a＞0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝ (　　)． A. B.

3、 C．1 D．2 解析：由約束條件畫(huà)出可行域(如圖所示的△ABC)， 由得A(1，－2a)， 當(dāng)直線2x＋y－z＝0過(guò)點(diǎn)A時(shí)， z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝，故選B. 答案：B 3、(xx·浙江卷)設(shè)z＝kx＋y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k＝________. 解析　約束條件所表示的可行域?yàn)槿鐖D所示的△ABC，其中點(diǎn)A(4,4)，B(0,2)，C(2,0)． 目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y，化為y＝－kx＋z.當(dāng)－k≤，即k≥－時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y在點(diǎn)A(4,4)取得最大值12，故4k＋4＝12，k＝2，滿足題意；當(dāng)－k

4、>即k<－時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y在點(diǎn)B(0,2)取得最大值12，故k·0＋2＝12，無(wú)解，綜上可知，k＝2. 答案　2 4、不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)，應(yīng)是下列圖形中的(　　)． 解析　(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?或畫(huà)出平面區(qū)域后，只有C合題意． 答案　C 5．不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為(　　)． A．1 B. C. D. 解析　作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椤鰾CD，由題意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝. 答案　D 6．在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y的最大

5、值為(　　)． A. B. C. D. 解析　由z＝x＋y，得y＝－2x＋2z.作出可行域如圖陰影部分，平移直線y＝－2x＋2z，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線y＝－2x＋2z在y軸上的截距最大，此時(shí)z最大． 由解得C點(diǎn)坐標(biāo)為，代入z＝x＋y，得z＝＋×＝. 答案　C 7、若變量x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最大值為(　　)． A．4 B．3 C．2 D．1 解析　畫(huà)出可行域(如下圖)， 由z＝x－2y得y＝x－，則當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)C(1，－1)時(shí)取得最大值，所以zmax＝1－2×(－1)＝3.故選B. 答案　B 8．(xx·北京卷)設(shè)關(guān)于

6、x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2.求得m的取值范圍是(　　)． A. B. C. D. 解析　由線性約束條件可畫(huà)出如圖所示的陰影區(qū)域，要使區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)，使x0－2y0＝2成立，只需點(diǎn)A(－m，m)在直線x－2y－2＝0的下方即可，即－m－2m－2＞0，解得m＜－，故選C. 答案　C 9．(xx·陜西卷)若點(diǎn)(x，y)位于曲線y＝|x－1|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，則2x－y的最小值為_(kāi)_______． 解析　由題意知y＝作出曲線y＝|x－1|與y＝2所圍成的封閉區(qū)域，如圖中陰影部分所示，即得過(guò)點(diǎn)A(－1,2)時(shí)

7、，2x－y取最小值－4. 答案　－4 10．若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是________． 解析　畫(huà)出可行域，知當(dāng)直線y＝a在x－y＋5＝0與y軸的交點(diǎn)(0,5)和x－y＋5＝0與x＝2的交點(diǎn)(2,7)之間移動(dòng)時(shí)平面區(qū)域是三角形，故5≤a<7. 答案　[5,7) 11．已知x，y滿足條件(k為常數(shù))，若目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y的最大值為8，則k＝(　　)． A．－16 B．－6 C．－ D．6 解析　畫(huà)出x，y滿足的可行域如圖，聯(lián)立方程解得即C點(diǎn)坐標(biāo)為 ，由目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y，得y＝－x＋，平移直線y＝－x＋，可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，直線y＝－x

8、＋的截距最大，此時(shí)z最大，把C點(diǎn)代入z＝x＋3y，得8＝－＋3×，解得k＝－6.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意． 答案　B 12．(xx·江蘇卷)拋物線y＝x2在x＝1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部與邊界)．若點(diǎn)P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x＋2y的取值范圍是________． 解析　∵y＝x2，∴y′|x＝1＝2x|x＝1＝2. 故拋物線y＝x2在x＝1處的切線方程為2x－y－1＝0，設(shè)其與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，則A，B(0，－1)，區(qū)域D為如圖陰影部分， 令z＝x＋2y，即y＝－x＋z，易知y＝－x＋z分別過(guò)A，B兩點(diǎn)時(shí)z取最大、最小值，∴zmax＝＋2

9、×0＝，zmin＝0＋2×(－1)＝－2， ∴x＋2y的取值范圍是. 13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則2x＋y的最大值是(　　)． A．0 B．3 C．4 D．5 解析　設(shè)z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，作出不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域，平移直線y＝－2x＋z，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最大，由解得即B(1,2)，代入z＝2x＋y，得z＝2x＋y＝4. 答案　C 14．實(shí)數(shù)x，y滿足若目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y取得最大值4，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)． A．4 B．3 C．2 D. 解析　 作出可行域，由題意可知可行域?yàn)椤鰽BC內(nèi)部及邊界，y＝－x＋z，則z的幾何意

10、義為直線在y軸上的截距，將目標(biāo)函數(shù)平移可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值4，此時(shí)A點(diǎn)坐標(biāo)為(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2. 答案　C 考點(diǎn)：求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值 1、已知實(shí)數(shù)x，y滿足 (1)若z＝，求z的最大值和最小值； (2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值． 解　不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，圖中的陰影部分即為可行域．易得A(1,2)，B(2,1), M(2,3)． (1)∵z＝＝，∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率，觀察圖形可知zmax＝kOA＝2，zmin＝kOB＝. 所以z的最大值為2，最小值為. (2)過(guò)原點(diǎn)(0

11、,0)作直線l垂直于直線x＋y－3＝0，垂足N，則直線l的方程為y＝x， 由得N， 點(diǎn)N在線段AB上，也在可行域內(nèi)． 觀察圖象可知，可行域內(nèi)點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離最大，點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離最小，又|OM|＝，|ON|＝， 即≤≤，∴≤x2＋y2≤13. ∴z的最大值為13，最小值為. 2、(xx·山東卷改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則z＝的最小值為(　　)． A．2 B．1 C．－ D．－ 解析　不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，由圖可知，z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率． 由得C(3，－1)，當(dāng)M點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，z取最小值

12、，∴z的最小值為－，故選C. 答案　C 3．變量x，y滿足 (1)設(shè)z＝，求z的最小值； (2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍； (3)設(shè)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范圍． 解　由約束條件 作出(x，y)的可行域如圖陰影部分所示． 由解得A. 由解得C(1,1)． 由解得B(5,2)． (1)∵z＝＝.∴z的值即是可行域中的點(diǎn)B與原點(diǎn)O連線的斜率．觀察圖形可知zmin＝kOB＝. (2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中， dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝. 故z的

13、取值范圍是[2,29]． (3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(－3,2)的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到(－3,2)的距離中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝＝8. 故z的取值范圍是[16,64]. 4．點(diǎn)P(x，y)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，若點(diǎn)P(x，y)到直線y＝kx－1(k＞0)的最大距離為2，則k＝________. 解析　在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出題中的不等式組表示的平面區(qū)域及直線y＝kx－1的大概位置，如圖所示，因?yàn)閗＞0，所以由圖可知，點(diǎn)(0,3)到直線y＝kx－1的距離最大，因此＝2，解得k＝1(負(fù)值舍去)． 答案　1