8、則BC的長為( ).
A. B. C.2 D.2
解析 S=×AB·ACsin 60°=×2×AC=,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 60°=3,所以BC=.
答案 B
11.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=2,B=,C=,則△ABC的面積為( ).
A.2+2 B.+1 C.2-2 D.-1
解析 由正弦定理=及已知條件得c=2,
又sin A=sin(B+C)=×+×=.
從而S△ABC=bcsin A=×2×2×=+1.
答案 B
12.(
9、xx·陜西卷)設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則△ABC的形狀為( ).
A.直角三角形 B.銳角三角形
C.鈍角三角形 D.不確定
解析 由正弦定理及已知條件可知sin Bcos C+cos Bsin C=sin2 A,即sin(B+C)=sin2 A,而B+C=π-A,所以sin(B+C)=sin A,所以sin2 A=sin A,又0<A<π,sin A>0,∴sin A=1,即A=.
答案 A
13.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=,b=2,sin B+cos B=,則角A的大小為
10、________.
解析 由題意知,sin B+cos B=,所以sin=,所以B=,根據(jù)正弦定理可知=,可得=,所以sin A=,又a<b,故A=.
答案
14.(xx·煙臺一模)設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=1,b=2,cos C=,則sin B等于________.
解析 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=4,即c=2.由cos C=得sin C=.由正弦定理=,得sin B==×=(或者因為c=2,所以b=c=2,即三角形為等腰三角形,所以sin B=sin C=).
答案
15.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對的
11、邊,且a=c+bcos C.
(1)求角B的大??;
(2)若S△ABC=,b=,求a+c的值.
解 (1)由正弦定理,得sin A=sin C+sin Bcos C,
又因為A=π-(B+C),所以sin A=sin(B+C),
可得sin Bcos C+cos Bsin C=sin C+sin Bcos C,
即cos B=,又B∈(0,π),所以B=.
(2)因為S△ABC=,所以acsin=,所以ac=4,
由余弦定理可知b2=a2+c2-ac,
所以(a+c)2=b2+3ac=13+12=25,即a+c=5.
16.(xx·北京卷)在△ABC中,a=3,b=2,∠B
12、=2∠A.
(1)求cos A的值;
(2)求c的值.
解 (1)因為a=3,b=2,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理,得=,
所以=,故cos A=.
(2)由(1)知cos A=,所以sin A==.
又因為∠B=2∠A,
所以cos B=2cos2A-1=,所以sin B==.
在△ABC中,sin C=sin(A+B)
=sin Acos B+cos Asin B=.
所以c==5.
17.在△ABC中,邊a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且滿足bcos C=(3a-c)cos B.
(1)求cos B;
(2)若·=4,b=4,求邊a,c的值.
13、
解 (1)由正弦定理和bcos C=(3a-c)cos B,
得sin Bcos C=(3sin A-sin C)cos B,
化簡,得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B,
即sin(B+C)=3sin Acos B,
故sin A=3sin Acos B,所以cos B=.
(2)因為·=4,所以·=||·||·cos B=4,所以||·||=12,即ac=12.①
又因為cos B==,整理得,a2+c2=40.②
聯(lián)立①②解得或
18.在△ABC中,A=,AB=2,且△ABC的面積為,則邊AC的長為( ).
A.1 B. C.2
14、 D.
解析 由題意知S△ABC=×AB×AC×sin A=×2×AC×=,∴AC=1.
答案 A
19.已知角A為△ABC的內角,且sin 2A=-,則sin A-cos A=( ).
A. B.- C.- D.
解析 ∵A為△ABC的內角,且sin 2A=2sin Acos A=-<0,∴sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0.
又(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=.
∴sin A-cos A=.
答案 A
20.(xx·臨沂一模)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sin2 A+sin2 C-sin
15、2 B=sin Asin C,則角B為( ).
A. B. C.π D.π
解析 由正弦定理可得a2+c2-b2=ac,所以cos B===,所以B=.
答案 A
21.若三條線段的長分別為3,5,7,則用這三條線段( ).
A.能組成直角三角形 B.能組成銳角三角形
C.能組成鈍角三角形 D.不能組成三角形
解析 設能構成三角形的最大邊為a=7,所對角為A,則cos A==-<0,
故A為鈍角,即構成的三角形為鈍角三角形.
答案 C
22.(xx·安徽卷)設△ABC的內角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,則角C
16、=( ).
A. B. C. D.
解析 由3sin A=5sin B,得3a=5b,∴a=b,
代入b+c=2a中,得c=b.由余弦定理,
得cos C==-,∴C=.
答案 B
23.設α,β都是銳角,且cos α=,sin(α+β)=,則cos β=( ).
A. B.
C.或 D.或
解析 α,β都是銳角,
當cos α=時,sin α=.
因為cos α=<,所以α>60°.
又sin(α+β)=<,
所以α+β<60°或α+β>120°.
顯然α+β<60°不可能,所以α+β為鈍角.
又sin(α+β)=,因此cos(α+β)=-,
所
17、以cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-×+×==.
答案 A
24.已知銳角△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,則b=( ).
A.10 B.9 C.8 D.5
解析 化簡23cos2A+cos 2A=0,得23cos2A+2cos2A-1=0,解得cos A=.由余弦定理,知a2=b2+c2-2bccos A,代入數(shù)據(jù),得b=5.
答案 D
25.(xx·天津卷)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,則sin∠BAC=( ).
A.
18、 B. C. D.
解析 由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·
BCcos B=()2+32-2××3cos=5.
∴AC=,由正弦定理=,得
sin∠BAC====.
答案 C
26.已知sin=,且x∈,則cos 2x的值為________.
解析 sin 2x=cos=1-2sin2
=1-2×2=-,
∵x∈,∴2x∈.
∴cos 2x=-=-.
答案?。?
27.已知△ABC的三個內角A,B,C成等差數(shù)列,且AB=1,BC=4,則邊BC上的中線AD的長為________.
解析 由△ABC的三個內角A,B,C成等差數(shù)列,可得B=60°.又在△AB
19、D中,AB=1,BD=2,由余弦定理可得AD==.
答案
28.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,若b=1,c=,C=π,則S△ABC=________.
解析 因為c>b,所以B<C,所以由正弦定理得=,即==2,即sin B=,所以B=,所以A=π--=.所以S△ABC=bc sin A=××=.
答案
29.f(x)=2sin2-cos 2x-1,x∈,則f(x)的最小值為________ .
解析 f(x)=2sin2-cos 2x-1
=1-cos 2-cos 2x-1
=-cos-cos 2x=sin 2x-cos 2x=2sin,因為≤x≤,所
20、以≤2x-≤,所以≤sin≤1,所以1≤2sin≤2,即1≤f(x)≤2,所以f(x)的最小值為1.
答案 1
30.(xx·江西卷)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.
(1)求角B的大??;
(2)若a+c=1,求b的取值范圍.
解 (1)由已知得
-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,
即有sin Asin B-sin Acos B=0,
因為sin A≠0,所以sin B-cos B=0,
又cos B≠0,所以tan B=,
又0<B<π,所以B=.
(2)由余
21、弦定理,有b2=a2+c2-2accos B.
因為a+c=1,cos B=,所以b2=32+.
又0<a<1,于是有≤b2<1,即有≤b<1.
故b的取值范圍是.
31.已知△ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acos B+bsin A=c.
(1)求角A的大?。?
(2)若a=1,·=3,求b+c的值.
解 (1)由acos B+bsin A=c,得
sin Acos B+sin Bsin A=sin (A+B),
即 sin Bsin A=cos Asin B,
所以tan A=,故A=.
(2)由·=3,得bccos =3,即bc=2,①
又a=1,
∴1=b2+c2-2bccos ,②
由①②可得(b+c)2=7+4,所以b+c=2+.