2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第35講 曲線方程及圓錐曲線的綜合問(wèn)題教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第35講 曲線方程及圓錐曲線的綜合問(wèn)題教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問(wèn)題?；癁榈仁浇鉀Q，要加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練； 2．通過(guò)圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想； 3．了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用。 二．命題走向 近年來(lái)圓錐曲線在高考中比較穩(wěn)定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現(xiàn)，主要考察學(xué)生邏輯推理能力、運(yùn)算能力，考察學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。但圓錐曲線在新課標(biāo)中化歸到選學(xué)內(nèi)容，要求有所降低，估計(jì)xx年高考對(duì)本講的考察，仍將以以下三類題型為主。 1．求曲線（或軌跡）的方程，對(duì)于這

2、類問(wèn)題，高考常常不給出圖形或不給出坐標(biāo)系，以考察學(xué)生理解解析幾何問(wèn)題的基本思想方法和能力； 2．與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)題，這類問(wèn)題的綜合型較大，解題中需要根據(jù)具體問(wèn)題、靈活運(yùn)用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、不等式、三角知識(shí)，正確的構(gòu)造不等式或方程，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。 預(yù)測(cè)07年高考： 1．出現(xiàn)1道復(fù)合其它知識(shí)的圓錐曲線綜合題； 2．可能出現(xiàn)1道考查求軌跡的選擇題或填空題，也可能出現(xiàn)在解答題中間的小問(wèn)。 三．要點(diǎn)精講 1．曲線方程 （1）求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下： 步 驟 含 義 說(shuō) 明 1、“建”：建立

3、坐標(biāo)系；“設(shè)”：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)。 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)。 (1) 所研究的問(wèn)題已給出坐標(biāo)系，即可直接設(shè)點(diǎn)。 (2) 沒(méi)有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。 2、現(xiàn)(限)：由限制條件，列出幾何等式。 寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)} 這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)分析題意，使寫出的條件簡(jiǎn)明正確。 3、“代”：代換 用坐標(biāo)法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0 常常用到一些公式。 4、“化”：化簡(jiǎn) 化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式。 要注意同解變形。 5、證明 證明化簡(jiǎn)以后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。

4、 化簡(jiǎn)的過(guò)程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過(guò)程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補(bǔ)上(即要注意方程變量的取值范圍)。 這五個(gè)步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化” （2）求曲線方程的常見(jiàn)方法： 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲線方程的五個(gè)步驟來(lái)求解。這是求曲線方程的基本方法。 轉(zhuǎn)移代入法：這個(gè)方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。即利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)依賴于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解。 幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。 參數(shù)法：根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個(gè)參數(shù)來(lái)分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地

5、把坐標(biāo)x,y聯(lián)系起來(lái)，得到用參數(shù)表示的方程。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程。 2．圓錐曲線綜合問(wèn)題 （1）圓錐曲線中的最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題 通常有兩類：一類是有關(guān)長(zhǎng)度和面積的最值問(wèn)題；一類是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素的最值問(wèn)題。這些問(wèn)題往往通過(guò)定義，結(jié)合幾何知識(shí)，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識(shí)，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來(lái)解決。解題時(shí)要注意函數(shù)思想的運(yùn)用，要注意觀察、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來(lái)。 圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法： 設(shè)圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|為： 若弦AB過(guò)圓錐曲線

6、的焦點(diǎn)F，則可用焦半徑求弦長(zhǎng)，|AB|=|AF|+|BF|． 在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值．注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的取值范圍。 （2）對(duì)稱、存在性問(wèn)題，與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題 它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法。 （3）實(shí)際應(yīng)用題 數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時(shí)課本上也出現(xiàn)了許多與圓錐曲線相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，如橋梁的設(shè)計(jì)、探照燈反光鏡的設(shè)計(jì)、聲音探測(cè)，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運(yùn)行軌道的計(jì)算等。 涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題的解決關(guān)鍵

7、是建立坐標(biāo)系，合理選擇曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題作出定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是： （4）知識(shí)交匯題 圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識(shí)結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強(qiáng)區(qū)分度的綜合題。 四．典例解析 題型1：求軌跡方程 例1．（1）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么樣的曲線。 （2）雙曲線有動(dòng)點(diǎn)，是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的重心的軌跡方程。 解析：（1）（法一）設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、， 將圓方程分別配方得：，， 當(dāng)與相切時(shí)，有 ① 當(dāng)與相切時(shí)，有

8、 ② 將①②兩式的兩邊分別相加，得， 即 ③ 移項(xiàng)再兩邊分別平方得： ④ 兩邊再平方得：， 整理得， 所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓。 （法二）由解法一可得方程， 由以上方程知，動(dòng)圓圓心到點(diǎn)和的距離和是常數(shù)，所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上， ∴，，∴，， ∴， ∴圓心軌跡方程為。 （2）如圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為，∴在已知雙曲線方程中，∴ ∴已知雙曲線兩焦點(diǎn)為， ∵存在，∴ 由三角形重心坐標(biāo)公式有，即 。 ∵，∴。 已知點(diǎn)在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有 即所求

9、重心的軌跡方程為：。 點(diǎn)評(píng)：定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程的方法。 例2．（xx上海，3）設(shè)P為雙曲線y2＝1上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是 。 解析：（1）答案：x2－4y2＝1 設(shè)P（x0，y0） ∴M（x，y） ∴ ∴2x＝x0，2y＝y(tǒng)0 ∴－4y2＝1x2－4y2＝1 點(diǎn)評(píng)：利用中間變量法（轉(zhuǎn)移法）是求軌跡問(wèn)題的重要方法之一。 題型2：圓錐曲線中最值和范圍問(wèn)題 例3．（1）設(shè)AB是過(guò)橢圓中心的弦，橢圓的左焦點(diǎn)為，則△F1AB的面積最大為（ ） A. B.

10、C. D. （2）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值是（ ） A. B. C. 2 D. （3）已知A（3，2）、B（－4，0），P是橢圓上一點(diǎn)，則|PA|＋|PB|的最大值為（ ） A. 10 B. C. D. 解析：（1）如圖，由橢圓對(duì)稱性知道O為AB的中點(diǎn)，則△F1OB的面積為△F1AB面積的一半。又，△F1OB邊OF1上的高為，而的最大值是b，所以△F1OB的面積最大值為。所以△F1AB的面積最大值為cb。 點(diǎn)評(píng)：抓

11、住△F1AB中為定值，以及橢圓是中心對(duì)稱圖形。 （2）解析：由雙曲線的定義， 得：， 又，所以，從而 由雙曲線的第二定義可得， 所以。又，從而。故選B。 點(diǎn)評(píng)：“點(diǎn)P在雙曲線的右支上”是銜接兩個(gè)定義的關(guān)鍵，也是不等關(guān)系成立的條件。利用這個(gè)結(jié)論得出關(guān)于a、c的不等式，從而得出e的取值范圍。 （3）解析：易知A（3，2）在橢圓內(nèi)，B（－4，0）是橢圓的左焦點(diǎn)（如圖），則右焦點(diǎn)為F（4，0）。連PB，PF。由橢圓的定義知： ， 所以。 由平面幾何知識(shí)， ，即， 而， 所以。 點(diǎn)評(píng)：由△PAF成立的條件，再延伸到特

12、殊情形P、A、F共線，從而得出這一關(guān)鍵結(jié)論。 例4．（1）（06全國(guó)1文，21）設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值。 （2）（06上海文，21）已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn). ①求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ②若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程； ③過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。 （3）（06山東文，21）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為l。 (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)直線過(guò)點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)ΔAOB面積取得最

13、大值時(shí)，求直線l的方程。 解析：（1）依題意可設(shè)P(0,1)，Q(x,y),則 |PQ|=，又因?yàn)镼在橢圓上， 所以，x2=a2(1－y2)， |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2， =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 。 因?yàn)閨y|≤1,a>1, 若a≥, 則||≤1, 當(dāng)y=時(shí), |PQ|取最大值， 若1

14、標(biāo)是(x0,y0)， 由 x= 得 x0=2x－1 y= y0=2y－ 由,點(diǎn)P在橢圓上,得， ∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是。 ③當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1。 當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說(shuō)該直線方程為y=kx,代入, 解得B(,),C(－,－)， 則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=， ∴△ABC的面積S△ABC=。 于是S△ABC=。 由≥－1,得S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時(shí),等號(hào)成立。 ∴S△ABC的最大值是。 （3）解：設(shè)橢圓方程為 （Ⅰ）由已知得∴所求橢圓方程為。 （Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線

15、的方程為 由，消去y得關(guān)于x的方程：， 由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，，解得。 又由韋達(dá)定理得， 。 原點(diǎn)到直線的距離。 . 解法1：對(duì)兩邊平方整理得： （*）， ∵，，整理得：。 又， ，從而的最大值為， 此時(shí)代入方程（*）得 ，。 所以，所求直線方程為：。 解法2：令，則。 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)。 所以，所求直線方程為 解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零。 設(shè)直線l的方程為， 則直線l與x軸的交點(diǎn)， 由解法一知且， 解法1： = . 下同解法一. 解法2：。 下

16、同解法一。 點(diǎn)評(píng)：文科06年高考主要考察了圓錐曲線的最值問(wèn)題，主要是三角形的面積、弦長(zhǎng)問(wèn)題。處理韋達(dá)定理以及判別式問(wèn)題啊是解題的關(guān)鍵。 題型3：證明問(wèn)題和對(duì)稱問(wèn)題 例5．（1）（06浙江理，19）如圖，橢圓＝1（a＞b＞0）與過(guò)點(diǎn)A（2，0）B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=. (Ⅰ)求橢圓方程； (Ⅱ)設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AFT。 （2）（06湖北理，20）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。 （Ⅰ）、求橢圓的方程； （Ⅱ）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線

17、分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。 （3）（06上海理，20）在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點(diǎn)。 ①求證：“如果直線過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么＝3”是真命題； ②寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由． 解析：（1）（I）過(guò)點(diǎn)、的直線方程為 因?yàn)橛深}意得有惟一解， 即有惟一解， 所以 （），故 又因?yàn)?即 所以 從而得 故所求的橢圓方程為 （II）由（I）得 故從而 由，解得所以 因?yàn)橛? 得因此 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能

18、力。 （2）（Ⅰ）依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝. 故橢圓的方程為 . （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x0，y0）. ∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y0＝（4－x02）. 又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴－20，∴·>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角， 故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。

19、解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）， 則－2

20、，化簡(jiǎn)后可得－＝. 從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力。 （3）證明：①設(shè)過(guò)點(diǎn)T(3,0)的直線l交拋物線y2=2x于點(diǎn)A(x1,y1)、B(x12,y2). 當(dāng)直線l的鈄率下存在時(shí),直線l的方程為x=3,此時(shí),直線l與拋物線相交于A(3,)、B(3,－)，∴=3。 當(dāng)直線l的鈄率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x－3),其中k≠0. 當(dāng) y2=2x 得ky2－2y－6k=0,則y1y2=－6. y=k(x－3) 又∵x1=y, x2=y

21、, ∴=x1x2+y1y2==3. 綜上所述, 命題“如果直線l過(guò)點(diǎn)T(3,0),那么=3”是真命題. ②逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過(guò)點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題. 例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2),B(,1),此時(shí)=3, 直線AB的方程為Y=(X+1),而T(3,0)不在直線AB上. 點(diǎn)評(píng)：由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A(x1,y1)、B(x12,y2)滿足=3,可得y1y2=－6?；騳1y2=2，如果y1y2=－6，可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(3,0)；如果y1y2=2, 可證得直線AB過(guò)點(diǎn)(－1,0),而不過(guò)點(diǎn)(3,0)。 例6．（1）（0

22、6北京文，19）橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓C上，且 （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）若直線l過(guò)圓x2+y2+4x-2y=0的圓心，交橢圓C于兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程。 （2）（06江蘇，17）已知三點(diǎn)P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。 （Ⅰ）求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； O （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、、關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)分別為、、，求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解析：（1）解法一： (Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3. 在Rt△PF1F2中，故橢圓的半焦距c=，從而b2=a2－c2=4，所以橢圓C的方程為＝1。 (Ⅱ)

23、設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）。 已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）. 從而可設(shè)直線l的方程為 y=k(x+2)+1, 代入橢圓C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0. 因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱. 所以 解得， 所以直線l的方程為 即8x-9y+25=0. (經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意) 解法二： (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.

24、 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 ① ② 由①－②得： ③ 因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1+ x2=－4，y1+ y2=2。 代入③得＝，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y－1＝（x+2）， 即8x－9y+25=0。 (經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.) （2）①由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>b>0),其半焦距c=6,∴,b2=a2-c2=9。 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ②點(diǎn)P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6)。

25、 設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 由題意知，半焦距c1=6，。 ,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力。 題型4：知識(shí)交匯題 例7．（06遼寧,20）已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為 (I) 證明線段是圓的直徑; (II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求p的值。 解析：(I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則 即 整理得: 故線段是圓的直徑

26、證明2: 整理得: ……..(1) 設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則 即 去分母得: 點(diǎn)滿足上方程,展開并將(1)代入得: 故線段是圓的直徑 證明3: 整理得: ……(1) 以線段AB為直徑的圓的方程為 展開并將(1)代入得: 故線段是圓的直徑 (II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 又因 所以圓心的軌跡方程為 設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 . 解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 又因

27、 所以圓心的軌跡方程為 設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則 因?yàn)閤-2y+2=0與無(wú)公共點(diǎn), 所以當(dāng)x-2y-2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為 將(2)代入(3)得 解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 又因 當(dāng)時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 . 點(diǎn)評(píng)：本小題考查了平面向量的基本運(yùn)算,圓與拋物線的方程.點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力。 例8．（06重慶文，22）如圖，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，是拋物

28、線上的點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線角拋物線于另一點(diǎn)。 （Ⅰ）試證：； （Ⅱ）取，并記為拋物線上分別以與為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)。 試證：； 證明：（Ⅰ）對(duì)任意固定的因?yàn)榻裹c(diǎn)F（0,1）， 所以可設(shè)直線的方程為 將它與拋物線方程聯(lián)立得: , 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得． （Ⅱ）對(duì)任意固定的利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得拋物線在處的切線的斜率故在處的切線的方程為：，……① 類似地，可求得在處的切線的方程為：，……② 由②－①得：， ……③ 將③代入①并注意得交點(diǎn)的坐標(biāo)為． 由兩點(diǎn)間的距離公式得： ． 現(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得： 點(diǎn)評(píng)：該題是圓錐曲線與數(shù)列知識(shí)交匯的題

29、目。 五．思維總結(jié) 1．注意圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用，注意解析幾何所研究的問(wèn)題背景平面幾何的一些性質(zhì)； 2．復(fù)習(xí)時(shí)要突出“曲線與方程”這一重點(diǎn)內(nèi)容 曲線與方程有兩個(gè)方面：一是求曲線方程，二是由方程研究曲線的性質(zhì).這兩方面的問(wèn)題在歷年高考中年年出現(xiàn)，且常為壓軸題.因此復(fù)習(xí)時(shí)要掌握求曲線方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐標(biāo)系后，根據(jù)曲線上點(diǎn)適合的共同條件找出動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y和橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式，即f（x，y）=0為曲線方程，同時(shí)還要注意曲線上點(diǎn)具有條件，確定x，y的范圍，這就是通常說(shuō)的函數(shù)法，它是解析幾何的核心，應(yīng)培養(yǎng)善于運(yùn)用坐標(biāo)法解題的能力，求曲線的常用方法有兩類：一

30、類是曲線形狀明確且便于用標(biāo)準(zhǔn)形式，這時(shí)用待定系數(shù)法求其方程；另一類是曲線形狀不明確或不便于用標(biāo)準(zhǔn)形式表示，一般可用直接法、間接代點(diǎn)法、參數(shù)法等求方程。二要引導(dǎo)如何將解析幾何的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化的代數(shù)數(shù)量關(guān)系進(jìn)而轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問(wèn)題常化為等式解決，要加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練。 3．重視對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行歸納提煉，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡(jiǎn)化解題過(guò)程 ①方程思想，解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，就簡(jiǎn)化解題運(yùn)算量。 ②用好函數(shù)思想方法 對(duì)于圓錐曲線上一些動(dòng)點(diǎn)，在變化過(guò)程中會(huì)引入一些相互

31、聯(lián)系、相互制約的量，從而使一些線的長(zhǎng)度及a，b，c，e之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想在處理這類問(wèn)題時(shí)就很有效。 ③掌握坐標(biāo)法 坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法，因此要加強(qiáng)坐標(biāo)法的訓(xùn)練。 ④對(duì)稱思想 由于圓錐曲線和圓都具有對(duì)稱性質(zhì)，可使分散的條件相對(duì)集中，減少一些變量和未知量，簡(jiǎn)化計(jì)算，提高解題速度，促成問(wèn)題的解決。 ⑤參數(shù)思想 參數(shù)思想是辯證思維在數(shù)學(xué)中的反映，一旦引入?yún)?shù)，用參數(shù)來(lái)劃分運(yùn)動(dòng)變化狀態(tài)，利用圓、橢圓、雙曲線上點(diǎn)用參數(shù)方程形式設(shè)立或（x0、y0）即可將參量視為常量，以相對(duì)靜止來(lái)控制變化，變與不變的轉(zhuǎn)化，可在解題過(guò)程中將其消去，起到“設(shè)而不求”的效果。 ⑥轉(zhuǎn)化思想 解決圓錐曲線時(shí)充分注意直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間有聯(lián)系，直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程，極坐標(biāo)之間聯(lián)系及轉(zhuǎn)化，利用平移得出新系坐標(biāo)與原坐標(biāo)之間轉(zhuǎn)化，可達(dá)到優(yōu)化解題的目的。 除上述常用數(shù)學(xué)思想外，數(shù)形結(jié)合、分類討論、整體思想、構(gòu)造思想也是不可缺少的思想方法，復(fù)習(xí)也應(yīng)給予足夠的重視。