2022年高三數學第一輪復習單元講座 第23講 三角函數的圖象與性質教案 新人教版

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1、2022年高三數學第一輪復習單元講座 第23講 三角函數的圖象與性質教案 新人教版 一．課標要求： 1．能畫出y=sin x, y=cos x, y=tan x的圖像，了解三角函數的周期性； 2．借助圖像理解正弦函數、余弦函數在[0，2π]，正切函數在（－π/2，π/2）上的性質（如單調性、最大和最小值、圖像與x軸交點等）； 3．結合具體實例，了解y=Asin（wx+φ）的實際意義；能借助計算器或計算機畫出y=Asin（wx+φ）的圖像，觀察參數A，w，φ對函數圖像變化的影響。 二．命題走向 近幾年高考降低了對三角變換的考查要求，而加強了對三角函數的圖象與性質的考查，因為函數的性質

2、是研究函數的一個重要內容，是學習高等數學和應用技術學科的基礎，又是解決生產實際問題的工具，因此三角函數的性質是本章復習的重點。在復習時要充分運用數形結合的思想，把圖象與性質結合起來，即利用圖象的直觀性得出函數的性質，或由單位圓上線段表示的三角函數值來獲得函數的性質，同時也要能利用函數的性質來描繪函數的圖象，這樣既有利于掌握函數的圖象與性質，又能熟練地運用數形結合的思想方法。 預測07年高考對本講內容的考察為： 1．題型為1道選擇題（求值或圖象變換），1道解答題（求值或圖像變換）； 2．熱點問題是三角函數的圖象和性質，特別是y=Asin（wx+φ）的圖象及其變換； 三．要點精講 1．正

3、弦函數、余弦函數、正切函數的圖像 2．三角函數的單調區(qū)間： 的遞增區(qū)間是， 遞減區(qū)間是； 的遞增區(qū)間是， 遞減區(qū)間是， 的遞增區(qū)間是， 3．函數 最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。 4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。 利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。 途徑一：先

4、平移變換再周期變換(伸縮變換) 先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個單位，再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。 途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。 先將y＝sinx的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。 5．由y＝Asin(ωx＋)的圖象求其函數式： 給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin（ωx+）的題型，有時從尋找“五點”中的第一零點（－，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一個零點的位置。 6．對稱軸與對稱中心： 的對稱軸為，

5、對稱中心為； 的對稱軸為，對稱中心為； 對于和來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系。 7．求三角函數的單調區(qū)間：一般先將函數式化為基本三角函數的標準式，要特別注意A、的正負利用單調性三角函數大小一般要化為同名函數,并且在同一單調區(qū)間； 8．求三角函數的周期的常用方法： 經過恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。 9．五點法作y=Asin（ωx+）的簡圖： 五點取法是設x=ωx+，由x取0、、π、、2π來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖。 四．典例解析 題型1：三角函數的圖象 例1．（xx全國，5）函數y＝－xcosx的部分圖象是（

6、 ） 解析：因為函數y＝－xcosx是奇函數，它的圖象關于原點對稱，所以排除A、C，當x∈（0，）時，y＝－xcosx＜0。答案為D。 例2．（xx上海，15）函數y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致圖象是（ ） 解析：由奇偶性定義可知函數y=x+sin|x|，x∈［－π，π］為非奇非偶函數。選項A、D為奇函數，B為偶函數，C為非奇非偶函數。 點評：利用函數的性質來描繪函數的圖象，這樣既有利于掌握函數的圖象與性質，又能熟練地運用數形結合的思想方法。 題型2：三角函數圖象的變換 例3．試述如何由y=sin（2x+）的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象。 解析：y=

7、sin（2x+） 另法答案： （1）先將y=sin（2x+）的圖象向右平移個單位，得y=sin2x的圖象； （2）再將y=sin2x上各點的橫坐標擴大為原來的2倍（縱坐標不變），得y=sinx的圖象； （3）再將y=sinx圖象上各點的縱坐標擴大為原來的3倍（橫坐標不變），即可得到y(tǒng)=sinx的圖象。 例4．（xx上海春，15）把曲線ycosx+2y－1=0先沿x軸向右平移個單位，再沿y軸向下平移1個單位，得到的曲線方程是（ ） A．（1－y）sinx+2y－3=0 B．（y－1）sinx+2y－3=0 C．（y+1）sinx+2y+1=0

8、 D．－(y+1)sinx+2y+1=0 解析：將原方程整理為：y=，因為要將原曲線向右、向下分別移動個單位和1個單位，因此可得y=－1為所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0. 點評：本題考查了曲線平移的基本方法及三角函數中的誘導公式。如果對平移有深刻理解，可直接化為：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C選項。 題型3：三角函數圖象的應用 例5．已知電流I與時間t的關系式為。 （１）右圖是（ω＞0，） 在一個周期內的圖象，根據圖中數據求 的解析式； （２）如果t在任意一段秒的時間內，電流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數值是多少？ 解析

9、:本小題主要考查三角函數的圖象與性質等基礎知識，考查運算能力和邏輯推理能力． （１）由圖可知 A＝300。 設t1＝－，t2＝， 則周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝。 ∴ ω＝＝150π。 又當t＝時，I＝0，即sin（150π·＋）＝0， 而， ∴ ＝。 故所求的解析式為。 （２）依題意，周期T≤，即≤，（ω>0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*， 故最小正整數ω＝943。 點評:本題解答的開竅點是將圖形語言轉化為符號語言．其中，讀圖、識圖、用圖是形數結合的有效途徑。 圖 例6．（1）（xx上海春，18）已知函數f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>

10、0，x∈R）在一個周期內的圖象如圖所示，求直線y=與函數f（x）圖象的所有交點的坐標。 解析：根據圖象得A=2，T=π－（－）=4π， ∴ω=，∴y=2sin（+）， 又由圖象可得相位移為－，∴－=－，∴=.即y=2sin（x+）。 根據條件=2sin（），∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π（k∈Z）， ∴x=4kπ+（k∈Z）或x=4kπ+π（k∈Z）。 ∴所有交點坐標為（4kπ+）或（4kπ+）（k∈Z）。 點評：本題主要考查三角函數的基本知識，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。 （2）（xx全國文5，理4）在（0，2π）內，使sinx＞cosx成立的x取值范圍為（

11、 ） A．（，）∪（π，） B．（，π） C．（，） D．（，π）∪（，） 解析：C； 解法一：作出在（0，2π）區(qū)間上正弦和余弦函數的圖象，解出兩交點的橫坐標和，由圖1可得C答案。 圖1 圖2 解法二：在單位圓上作出一、三象限的對角線，由正弦線、余弦線知應選C。（如圖2） 題型4：三角函數的定義域、值域 例7．（1）已知f（x）的定義域為［0，1］，求f（cosx）的定義域； （2）求函數y=lgsin（cosx）的定義域； 分析：求函數的定義域：（1）要使0≤co

12、sx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，這里的cosx以它的值充當角。 解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）。 ∴所求函數的定義域為{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。 （2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）。 又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。 故所求定義域為{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z}。 點評：求三角函數的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數線。 例8．（xx京春，18）已知函數f（x）=，求f（x）的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域

13、。 解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，所以f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠，k∈Z}， 因為f（x）的定義域關于原點對稱， 且f（－x）==f（x）。 所以f（x）是偶函數。 又當x≠（k∈Z）時， f（x）=。 所以f（x）的值域為{y|－1≤y<或

14、）|的圖象。 解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。 故由2kπ－≤－≤2kπ+。 3kπ－≤x≤3kπ+（k∈Z），為單調減區(qū)間； 由2kπ+≤－≤2kπ+。 3kπ+≤x≤3kπ+（k∈Z），為單調增區(qū)間。 ∴遞減區(qū)間為［3kπ－，3kπ+］， 遞增區(qū)間為［3kπ+，3kπ+］（k∈Z）。 （2）y=－|sin（x+）|的圖象的增區(qū)間為［kπ+，kπ+］，減區(qū)間為［kπ－，kπ+］。 例10．（xx京皖春文，9）函數y=2sinx的單調增區(qū)間是（ ） A．［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z） B．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z） C．［2kπ－π，2kπ

15、］（k∈Z） D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z） 解析：A；函數y=2x為增函數，因此求函數y=2sinx的單調增區(qū)間即求函數y=sinx的單調增區(qū)間。 題型6：三角函數的奇偶性 例11．判斷下面函數的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）。 分析：判斷奇偶性首先應看定義域是否關于原點對稱，然后再看f（x）與f（－x）的關系。 解析：定義域為R，又f（x）+f（－x）=lg1=0， 即f（－x）=－f（x），∴f（x）為奇函數。 點評：定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要（但不充分）條件。 例12．（xx上海春）關于x的函數f（x）=sin（x+）有以下命題： ①對任意

16、的，f（x）都是非奇非偶函數； ②不存在，使f（x）既是奇函數，又是偶函數； ③存在，使f（x）是奇函數； ④對任意的，f（x）都不是偶函數。 其中一個假命題的序號是_____.因為當=_____時，該命題的結論不成立。 答案：①，kπ（k∈Z）；或者①，+kπ（k∈Z）；或者④，+kπ（k∈Z） 解析：當=2kπ，k∈Z時，f（x）=sinx是奇函數。當=2（k+1）π，k∈Z時f（x）=－sinx仍是奇函數。當=2kπ+，k∈Z時，f（x）=cosx，或當=2kπ－，k∈Z時，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函數.所以②和③都是正確的。無論為何值都不能使f（x）恒等于零。所

17、以f（x）不能既是奇函數又是偶函數。①和④都是假命題。 點評：本題考查三角函數的奇偶性、誘導公式以及分析問題的能力，注意k∈Z不能不寫，否則不給分，本題的答案不惟一，兩個空全答對才能得分。 題型7：三角函數的周期性 例13．求函數y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x為何值時，y有最大值。 分析：將原函數化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解。 解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x） =1－3sin2xcos2x=1－sin22x=cos4x+。 ∴T=。 當cos4x=1，即x=（k∈Z）時

18、，ymax=1。 例14．設的周期，最大值， （1）求、、的值； （2）。 解析：(1) ， ， ， 又 的最大值。 ， ① ，且 ②， 由 ①、②解出 a=2 , b=3. (2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共線，故舍去) ， 或 ， 。 點評：方程組的思想是解題時常用的基本思想方法；在解題時不要忘記三角函數的周期性。 題型8：三角函數的最值 例15．（xx京春文，2）設M和m分別表示函數y=cosx－1的最大值和最小值，則M+m等于（ ） A． B．－

19、C．－ D．－2 解析：D；因為函數g（x）=cosx的最大值、最小值分別為1和－1。所以y=cosx－1的最大值、最小值為－和－。因此M+m=－2。 例16．（xx京、皖春理，10）函數y＝的最大值是（ ） A．－1 B．＋1 C．1－ D．－1－ 解析：B；。 五．思維總結 1．數形結合是數學中重要的思想方法，在中學階段，對各類函數的研究都離不開圖象，很多函數的性質都是通過觀察圖象而得到的。 2．作函數的圖象時，首先要確定函數的定義域。 3．對于具有周期性的函數，應先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據周期性作出整個函數的圖象。 4．求定義域時，若需先把式子化簡，一定要注意變形時x的取值范圍不能發(fā)生變化。 5．求三角函數式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數，且三角函數的次數為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯誤。 6．函數的單調性是在定義域或定義域的某個子區(qū)間上考慮的，要比較兩三角函數值的大小一般先將它們化歸為同一單調區(qū)間的同名函數再由該函數的單調性來比較大小。 7．判斷y=－Asin（ωx+）（ω＞0）的單調區(qū)間，只需求y=Asin（ωx+）的相反區(qū)間即可，一般常用數形結合而求y=Asin（－ωx+）（－ω＜0＝單調區(qū)間時，則需要先將x的系數變?yōu)檎?，再設法求之。