2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末練習(xí)練習(xí)

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末練習(xí)練習(xí) 一、選擇題(6×5分=30分) 1.已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則關(guān)于函數(shù)y=f(x),下列說(shuō)法正確的是(  ) A.在x=1處取極大值 B.在區(qū)間[-1,4]上是增函數(shù) C.在x=4處取極小值 D.在區(qū)間[1,+∞)上是減函數(shù) 解析:由導(dǎo)函數(shù)的圖象知,x=-1是極小值點(diǎn),x=4是極大值點(diǎn),函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞,-1]和[4,+∞)上是減函數(shù),在[-1,4]上是增函數(shù). 答案:B 2.(xx·廣東廣州)設(shè)f(x)=x3+ax2+5x+6在區(qū)間[1,3]上為單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取

2、值范圍為(  ) A.[-,+∞)       B.(-∞,-3] C.(-∞,-3]∪[-,+∞) D.[-,] 解析:f′(x)=x2+2ax+5,當(dāng)f(x)在[1,3]上單調(diào)減時(shí),由得a≤-3; 當(dāng)f(x)在[1,3]上單調(diào)增時(shí),f′(x)=0中, Δ=4a2-4×5≤0,或 得a∈[-,]∪(,+∞). 綜上:a的取值范圍為(-∞,-3]∪[-,+∞),故選C. 答案:C 3.(xx·江蘇無(wú)錫)若a>2,則方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有(  ) A.0個(gè)根 B.1個(gè)根 C.2個(gè)根 D.3個(gè)根 解析:設(shè)f(x)=x3-ax2+1,則f′(x)=

3、x2-2ax=x(x-2a),當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(0,2)上為減函數(shù),又f(0)f(2)=1×(-4a+1)=-4a<0,f(x)=0在(0,2)上恰好有1個(gè)根,故選B. 答案:B 4.(xx·東北十校聯(lián)考)設(shè)f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在x=1和x=-1處均有極值,則下列點(diǎn)中一定在x軸上的是(  ) A.(a,b) B.(a,c) C.(b,c) D.(a+b,c) 解析:f′(x)=3ax2+2bx+c,由題意知1、-1是方程3ax2+2bx+c=0的兩根,1-1=-,b=0,故選A. 答案:A 二、填空題(3×5分=15分)

4、5.(xx·江蘇無(wú)錫)設(shè)P為曲線C:y=x2-x+1上一點(diǎn),曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率的范圍是[-1,3],則點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍是________. 解析:y′=2x-1,∴-1≤2x-1≤3?0≤x≤2, y=x2-x+1=(x-)2+∈[,3]. 答案:[,3] 6.已知f(x)=x·e-x,x∈[-2,2]的最大值為M,最小值為m,則M-m=________. 解析:由f′(x)=e-x-x·e-x=e-x(1-x)=0, 得x=1,f(1)=,f(2)=,f(-2)=-2e2, ∴M=,m=-2e2,∴M-m=2e2+. 答案:2e2+ 7.(理)已知函數(shù)f(x)=

5、3x2+2x+1,若-1f(x)dx=2f(a)成立,則a=________. 解析:-1(3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)|-11=4, 所以2(3a2+2a+1)=4,即3a2+2a-1=0, 解得a=-1或a=. 答案:-1或 (文)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10,則a,b的值分別是a=________,b=________. 解析:由f(x)=x3+ax2+bx+a2得f′(x)=3x2+2ax+b, 根據(jù)已知條件即 解得或(經(jīng)檢驗(yàn)應(yīng)舍去) 答案:4 -11 8.(xx·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P在曲線C:y=x3

6、-10x+3上,且在第二象限內(nèi),已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________. 解析:∵y=x3-10x+3,∴y′=3x2-10. 由題意,設(shè)切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0,且x0<0, 即3x02-10=2,∴x02=4, ∴x0=-2,∴y0=x03-10x0+3=15. 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,15). 答案:(-2,15) 9.(xx·福建高考)若曲線f(x)=ax3+lnx存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:f′(x)=3ax2+,∵f(x)存在垂直于y軸的切線, ∴f′(x)=0有解,即3ax2+=0有解, ∴3a=-

7、,而x>0,∴a∈(-∞,0). 答案:(-∞,0) 三、解答題(共37分) 10.(12分)(xx·陜西高考)已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求m的取值范圍. 解析:(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a), 當(dāng)a<0時(shí),對(duì)x∈R有f′(x)>0. ∴a<0時(shí), f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞). 當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)>0解得x<-或x>; 由f′(x)<0解得-0時(shí), f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-),(

8、,+∞); f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-,). (2)∵f(x)在x=-1處取得極值, ∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1. ∴f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3, 由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1, 由(1)中f(x)的單調(diào)性可知,f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3. 直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),又f(-3)=-19<-3,f(3)=17>1, 結(jié)合如圖示f(x)的圖象可知: m的取值范圍是(-3,1). 11.(12分)(xx·課標(biāo)全國(guó))設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1

9、-x-ax2. (1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍. 解析:(1)a=0時(shí),f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1. 當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)<0; 當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0. 故f(x)在(-∞,0)單調(diào)減少,在(0,+∞)單調(diào)增加. (2)f′(x)=ex-1-2ax. 由(1)知ex≥1+x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立. 故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x, 從而當(dāng)1-2a≥0,即a≤時(shí),f′(x)≥0(x≥0),∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)增加. 而f(0)=0,于是當(dāng)x≥0時(shí),f

10、(x)≥0. 由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0). 從而當(dāng)a>時(shí), f′(x)

11、a,b,c的值; (2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 解析:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c, 得f′(x)=3x2+2ax+b, 當(dāng)x=1時(shí),切線l的斜率為3,可得2a+b=0.① 當(dāng)x=時(shí),y=f(x)有極值,則f′()=0, 可得4a+3b+4=0.② 由①②解得a=2,b=-4. 由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1, ∴f(1)=4, ∴1+a+b+c=4, ∴c=5. (2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5, ∴f′(x)=3x2+4x-4, 令f′(x)=0,得x1=-2,x2=. 當(dāng)x變化時(shí),y、y′的取值及變化如下表: x -3 (-3,-2) -2 (-2,) (,1) 1 y′ + 0 - 0 + y 8 單調(diào)遞增  13 單調(diào)遞減  單調(diào)遞增  4 ∴f(x)的最大值為f(-2)=13, f(x)的最小值為f()=.

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