2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第26講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教案 新人教版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第26講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．平面向量的數(shù)量積 ①通過(guò)物理中"功"等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； ②體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系； ③掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算； ④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。 2．向量的應(yīng)用 經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 二．命題走向 本講以選擇題、填空題考察本章的

2、基本概念和性質(zhì)，重點(diǎn)考察平面向量的數(shù)量積的概念及應(yīng)用。重點(diǎn)體會(huì)向量為代數(shù)幾何的結(jié)合體，此類題難度不大，分值5~9分。 平面向量的綜合問(wèn)題是“新熱點(diǎn)”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問(wèn)題，以解答題為主。 預(yù)測(cè)07年高考： （1）一道選擇題和填空題，重點(diǎn)考察平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長(zhǎng)度問(wèn)題；屬于中檔題目。 （2）一道解答題，可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體，考察向量的運(yùn)算和性質(zhì)； 三．要點(diǎn)精講 1．向量的數(shù)量積 （1）兩個(gè)非零向量的夾角 已知非零向量a與a，作＝，＝，則∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角； 說(shuō)明：（1）當(dāng)θ＝０時(shí)，與同向

3、； （2）當(dāng)θ＝π時(shí)，與反向； （3）當(dāng)θ＝時(shí)，與垂直，記⊥； （4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍0°≤q≤180°。 C （2）數(shù)量積的概念 已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定； 向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對(duì)值稱為射影； （3）數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積。 （4）向量數(shù)量積的性質(zhì) ①向量的模與平方的關(guān)系：。 ②乘法公式成立 ； ； ③平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 交換律成立：； 對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：； 分配律成立：。 ④向

4、量的夾角：cos==。 當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)θ=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題。 （5）兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 已知兩個(gè)向量，則·=。 （6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥。 兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。 （7）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè)，則或。 如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)。 2．向量的應(yīng)用 （1）向量在幾何中的應(yīng)用； （2）向量在物理中的應(yīng)用。 四．典例解析 題型1：數(shù)量積的概念 例1．判斷下列各命題

5、正確與否： （1）； （2）； （3）若，則； （4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立； （5）對(duì)任意向量都成立； （6）對(duì)任意向量，有。 解析：（1）錯(cuò)；（2）對(duì)；（3）錯(cuò)；（4）錯(cuò)；（5）錯(cuò)；（6）對(duì)。 點(diǎn)評(píng)：通過(guò)該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系，重點(diǎn)清楚為零向量，而為零。 例2．（1）（xx上海春，13）若、、為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是（ ） A． B． C．m（）=m+m D． （2）(xx江西、山西、天津理，4)設(shè)、、是任意的非零平面向量,且相互不共線,則 ①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（

6、·）－（·）不與垂直 ④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命題的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析：（1）答案：D；因?yàn)?，而；而方向與方向不一定同向。 （2）答案：D①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。故①假；②由向量的減法運(yùn)算可知||、||、|－|恰為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；③因?yàn)椋郏āぃāぃ荨?（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立。故④真。 點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律。

7、 題型2：向量的夾角 例3．（1）（06全國(guó)1文，1）已知向量、滿足、，且，則與的夾角為（ ） A． B． C． D． （2）（06北京文，12）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么與的夾角的大小是 。 （3）已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。 （4）（xx北京3）| |=1，| |=2，= + ，且⊥，則向量與的夾角為 （ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：（1）C；（2）； （3）由題意

8、，，且與的夾角為， 所以，， ， ， 同理可得。 而， 設(shè)為與的夾角， 則。 （4）C；設(shè)所求兩向量的夾角為 　　　 　　即： 所以 點(diǎn)評(píng)：解決向量的夾角問(wèn)題時(shí)要借助于公式，要掌握向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算。向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見(jiàn)一斑。對(duì)于這個(gè)公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練，另外向量垂直（平行）的充要條件必需掌握。 例4．（1）（06全國(guó)1理，9）設(shè)平面向量、、的和。如果向量、、，滿足，且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（ ） A．－++= B．-+= C．+-= D．++=

9、 （2）（06湖南理，5）已知 且關(guān)于的方程有實(shí)根, 則與的夾角的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 解析：（1）D；（2）B； 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于平面向量的數(shù)量積要學(xué)會(huì)技巧性應(yīng)用，解決好實(shí)際問(wèn)題。 題型3：向量的模 例5．（1）（06福建文，9）已知向量與的夾角為，則等于（ ） A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1 （2）（06浙江文，5）設(shè)向量滿足,,則（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 解析：（1

10、）B；（2）D； 點(diǎn)評(píng)：掌握向量數(shù)量積的逆運(yùn)算，以及。 例6．已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。 解析：由＝（3，4），＝（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)； 又（x+y）⊥(x+y)·＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0； 即25x+24y＝０ ①； 又｜x+y｜=1｜x+y｜２＝１； （３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１； 整理得25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１ ②； 由①②有24xy+25y２＝１

11、 ③； 將①變形代入③可得：y=±； 再代回①得：。 點(diǎn)評(píng)：這里兩個(gè)條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想。 題型4：向量垂直、平行的判定 例7．(xx廣東12)已知向量，，且，則 。 解析：∵，∴，∴，∴。 例8．已知，，，按下列條件求實(shí)數(shù)的值。（1）；（2）；。 解析： （1）； （2）； 。 點(diǎn)評(píng)：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運(yùn)算。 題型5：平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用 例9．已知。 分析：，可以看作向量的模的平方，而則是、的數(shù)量積，從而運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。 證明：設(shè) 則。 點(diǎn)

12、評(píng)：在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如等。 例10．已知，其中。 （1）求證：與互相垂直； （2）若與（）的長(zhǎng)度相等，求。 解析：（1）因?yàn)? 所以與互相垂直。 （2）， ， 所以， ， 因?yàn)椋? 所以， 有， 因?yàn)?，故? 又因?yàn)椋? 所以。 點(diǎn)評(píng)：平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計(jì)考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)

13、行處理?？墒菇忸}過(guò)程得到簡(jiǎn)化，從而提高解題的速度。 題型6：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用 例11．（xx年高考題）已知兩點(diǎn)，且點(diǎn)P（x，y）使得，成公差小于零的等差數(shù)列。 （1）求證； （2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，記與的夾角為，求。 解析：（1）略解：，由直接法得 （2）當(dāng)P不在x軸上時(shí)， 而 所以，當(dāng)P在x軸上時(shí)，，上式仍成立。 圖1 點(diǎn)評(píng)：由正弦面積公式得到了三角形面積與數(shù)量積之間的關(guān)系，由面積相等法建立等量關(guān)系。 例12．用向量法證明：直徑所對(duì)的圓周角是直角。 已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O上任一點(diǎn)（不與A、B重合），求證：∠APB＝90°。 證明

14、：聯(lián)結(jié)OP，設(shè)向量，則且， ，即∠APB＝90°。 點(diǎn)評(píng)：平面向量是一個(gè)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的很好工具，它具有良好的運(yùn)算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。 題型7：平面向量在物理中的應(yīng)用 例13．如圖所示，正六邊形PABCDE的邊長(zhǎng)為b，有五個(gè)力、作用于同一點(diǎn)P，求五個(gè)力的合力。 解析：所求五個(gè)力的合力為，如圖3所示，以PA、PE為邊作平行四邊形PAOE，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且O點(diǎn)在PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且F點(diǎn)在PC的延長(zhǎng)線上。 由正六邊形的性質(zhì)還可求得 故由向量的加法可知所求五個(gè)力的合力的大小為

15、，方向與的方向相同。 五．思維總結(jié) 1．兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別 （1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定； （2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成·；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積×，而×是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書(shū)寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替； （3）在實(shí)數(shù)中，若a10，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若10，且×=0，不能推出=。因?yàn)槠渲衏osq有可能為0； （4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b10)，則ab=bc T a=c。但是×= ×； 如右圖：×= |||cosb = |||OA|

16、，×c = ||c|cosa = |||OA|T× =×，但 1； (5)在實(shí)數(shù)中，有(×) = (×)，但是(×)1 (×)，顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與c不共線。 2．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 特別注意： （1）結(jié)合律不成立：； （2）消去律不成立不能得到； （3）=0不能得到=或=。 3．向量知識(shí)，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視. 數(shù)量積的主要應(yīng)用：①求模長(zhǎng)；②求夾角；③判垂

17、直； 4．注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué) ①．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法。 由于向量本身具有代數(shù)形式和幾何形式雙重身份，所以在向量知識(shí)的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，在解決問(wèn)題過(guò)程中要形成見(jiàn)數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣，以加深理解知識(shí)要點(diǎn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。 ②．化歸轉(zhuǎn)化的思想方法。 向量的夾角、平行、垂直等關(guān)系的研究均可化歸為對(duì)應(yīng)向量或向量坐標(biāo)的運(yùn)算問(wèn)題；三角形形狀的判定可化歸為相應(yīng)向量的數(shù)量積問(wèn)題；向量的數(shù)量積公式，溝通了向量與實(shí)數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系；一些實(shí)際問(wèn)題也可以運(yùn)用向量知識(shí)去解決。 ③．分類討論的思想方法。 如向量可分為共線向量與不共線向量；平行向量（共線向量）可分為同向向量和反向

18、向量；向量在方向上的投影隨著它們之間的夾角的不同，有正數(shù)、負(fù)數(shù)和零三種情形；定比分點(diǎn)公式中的隨分點(diǎn)P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。 5．突出向量與其它數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯 “新課程增加了新的現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，其意義不僅在于數(shù)學(xué)內(nèi)容的更新，更重要的是引入新的思維方法，可以更有效地處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題”。因此，新課程卷中有些問(wèn)題屬于新教材與舊教材的結(jié)合部，凡涉及此類問(wèn)題，高考命題都采用了新舊結(jié)合，以新帶舊或以新方法解決的方法進(jìn)行處理，從中啟示我們?cè)诟呖紝W(xué)習(xí)中，應(yīng)突出向量的工具性，注重向量與其它知識(shí)的交匯與融合，但不宜“深挖洞”。我們可以預(yù)測(cè)近兩年向量高考題的難度不會(huì)也不應(yīng)該上升到壓軸題的水平。