2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 數(shù)列 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 理 求數(shù)列的通項(xiàng) 訓(xùn)練提示:求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法有累加法、累積法、構(gòu)造等比數(shù)列法或已知Sn與an關(guān)系,求an或利用方程思想聯(lián)立方程組,求出基本量,得出an.解題時(shí)應(yīng)注意各自的適用范圍及注意驗(yàn)證n=1的情況. 1.(xx寧夏石嘴山高三聯(lián)考)已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{an}的前7項(xiàng)和為70,且a3為a1和a7的等比中項(xiàng). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an(n∈N*),且b1=2,求數(shù)列（）的前n項(xiàng) 和Tn. 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),則 解得

2、 所以an=2n+2. (2)因?yàn)閎n+1-bn=an, 所以bn-bn-1=an-1=2n(n≥2,n∈N*) bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1=n(n+1). 所以==-, 所以Tn=1-+-+…+- =1-=. 【教師備用】 (xx東北三校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=n·an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解:(1)當(dāng)n=1時(shí)a2=S1+2=4=2a1, 當(dāng)n≥2時(shí), ?

3、an+1=2an, 數(shù)列{an}滿足an+1=2an(n∈N*),且a1=2, 所以an=2n(n∈N*). (2)bn=n·an=n·2n Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2n-1+n·2n 2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1 兩式相減,得 -Tn=21+22+23+…+2n-1+2n-n·2n+1 -Tn=-n·2n+1, Tn=2+(n-1)·2n+1(n∈N*). 求數(shù)列的前n項(xiàng)和 訓(xùn)練提示:在數(shù)列求和的幾種常見方法中,一定要注意其各自的適用范圍,其中在裂項(xiàng)相消法中注意裂項(xiàng)后的恒等變形,在錯(cuò)位相減法中注意相

4、減后,哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列. 2.(xx甘肅二診)已知數(shù)列{an}中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n≥2,n ∈N*). (1)求a2,a3,并證明{an-n}是等比數(shù)列; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解:(1)由已知an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*)得 a2=4,a3=7. an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2[an-1-(n-1)], 因?yàn)?2(n≥2,n∈N*). 所以{an-n}是以2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)得an-n=(a1-1)·2n-1. 即an=2n-1+n. 所以bn==1+. 設(shè)cn=,且前

5、n項(xiàng)和為Tn, 所以Tn=+++…+① Tn=+++…+ ② ①-②得Tn=1+（+++…+）- =- =2-. 所以Tn=4-,Sn=n+4-. 【教師備用】 (xx鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=1,且a3,a4+,a11成等比數(shù)列. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解:(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d,由題意知d>0. 因?yàn)閍3,a4+,a11成等比數(shù)列,所以(a4+)2=a3a11, 所以(+3d)2=(1+2d)(1+10d), 即44d2-36d-45=0, 所以d=(d=-舍去

6、), 所以an=. (2)bn= = =(-). 所以Tn=(-+-+…+-) =. 類型一:周期數(shù)列與通項(xiàng)公式 1.(xx山西大同三模)在數(shù)列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N+)的個(gè)位數(shù),則axx=　　　　.? 解析:a1a2=2×7=14,所以a3=4,4×7=28,所以a4=8,4×8=32,所以a5=2,2×8=16,所以a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,a11=2,所以從第三項(xiàng)起,an的值成周期排列,周期為6,xx=335×6+5,所以axx=a5=2. 答案:2 2.(xx赤峰市高三統(tǒng)考)數(shù)列{an}滿足a

7、1=1,a2=3,an+2=an+1-an,n∈N*,則axx=　　　　.? 解析:因?yàn)閍1=1,a2=3,an+2=an+1-an, 所以a3=2,a4=-1,a5=-3,a6=-2,a7=1,a8=3,… 所以數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列. 所以axx=a6×335+5=a5=-3. 答案:-3 類型二:由數(shù)列性質(zhì)解決恒成立問題 3.(xx遼寧沈陽一模)已知數(shù)列{an},{cn}滿足條件:a1=1, an+1=2an+1,cn=. (1)求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn,并求使得am>對(duì)任意n∈N+都

8、成立的正整數(shù)m的最小值. 解:(1)因?yàn)閍n+1=2an+1, 所以an+1+1=2(an+1), 因?yàn)閍1=1,a1+1=2≠0, 所以數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列. 所以an+1=2×2n-1, 所以an=2n-1. (2)因?yàn)閏n==(-), 所以Tn=(-+-+…+-) =(-) = =. 所以==6+,n∈N*, 所以6+≤15. 所以當(dāng)n=1時(shí),取得最大值15. 要使得am>對(duì)任意n∈N*恒成立,結(jié)合(1)的結(jié)果,只需2m-1>15, 由此得m>4. 所以正整數(shù)m的最小值是5. 【教師備用】 (xx東北三校聯(lián)合二模)已知數(shù)列{a

9、n}前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=2an-2n(n∈N*). (1)證明:{an+2}是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式; (2)數(shù)列{bn}滿足bn=log2(an+2),Tn為數(shù)列()的前n項(xiàng)和,若Tn

10、n+1-2(n∈N*). (2)因?yàn)閎n=log2(an+2)=log22n+1=n+1, ==-, 所以Tn=(-)+(-)+…+(-)=-<, 所以a≥,即a的取值范圍為[,+∞). 類型三:數(shù)列的綜合問題 4.(xx山西大同三模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足an+3Sn·Sn-1=0(n≥2,n∈N*),a1=,則nan的最小值為　　　　.? 解析:因?yàn)閍n+3Sn·Sn-1=0(n≥2,n∈N*), 所以Sn-Sn-1+3Sn·Sn-1=0, 因?yàn)閍1=,顯然Sn·Sn-1≠0,化簡(jiǎn)得-=3, 可見()是以3為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列, 所以=3+3(n-1

11、)=3n,Sn=, 從而nan=n(Sn-Sn-1) =- =(1-)(n≥2), 要使nan最小,則需1-(n≥2)最小,即n=2時(shí)最小,此時(shí)nan=(1-2)=-(n≥2),當(dāng)n=1時(shí),nan=,故對(duì)任意的n∈N*,nan最小為-. 答案:- 5.(xx濱州模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=9,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù). (1)證明:數(shù)列{lg(an+1)}為等比數(shù)列. (2)令bn=an+1,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn,即Tn=(a1+1)(a2+1)…(an+1),求lg Tn. (3)在(2)的條件下,記cn=,設(shè)數(shù)列

12、{cn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn<1. (1)證明:由題意得an+1=+2an, 即an+1+1=(an+1)2, 對(duì)an+1+1=(an+1)2兩邊取對(duì)數(shù)得 lg(an+1+1)=2lg(an+1), 因?yàn)閍1=9,所以lg(a1+1)=lg 10=1, 所以數(shù)列{lg(an+1)}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列. (2)解:由(1)知lg(an+1)=2n-1. lg Tn=lg[(a1+1)(a2+1)…(an+1)] =lg(a1+1)+lg(a2+1)+…+lg(an+1) = 所以lg Tn=2n-1. (3)證明:cn==-, Sn=(-)+(-)+(-)+…+(-) =1-<1.