2022年高中數(shù)學(xué) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教案 新人教A版必修2

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教案 新人教A版必修2 　　教學(xué)目標(biāo) (一)知識(shí)目標(biāo) 1.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程：根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練地求出圓心坐標(biāo)和半徑； 2.理解并掌握切線方程的探求過程和方法。 (二)能力目標(biāo) 1．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用坐標(biāo)法研究幾何問題的能力； 2. 通過教學(xué)，使學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用觀察、類比、聯(lián)想、猜測(cè)、證明等合情推理方法，提高學(xué)生運(yùn)算能力、邏輯思維能力； 3. 通過運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題及分析、解決問題的能力。 (三)情感目標(biāo) 通過運(yùn)用圓的知識(shí)解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)，理解理論來源于實(shí)

2、踐，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，激發(fā)學(xué)生自主探究問題的興趣，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、堅(jiān)忍不拔的意志品質(zhì)。 　　教學(xué)重、難點(diǎn) (一)教學(xué)重點(diǎn) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解、掌握。 (二)教學(xué)難點(diǎn) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。 　　教學(xué)方法 選用引導(dǎo)―探究式的教學(xué)方法。 　　教學(xué)手段 ?? 借助多媒體進(jìn)行輔助教學(xué)。 　　教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)提問、引入課題 師：前面我們學(xué)習(xí)了曲線和方程的關(guān)系及求曲線方程的方法。請(qǐng)同學(xué)們考慮：如何求適合某種條件的點(diǎn)的軌跡？ 生：①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)；②寫出適合某種條件p的點(diǎn)M的集合P＝｛M ︳p（M）｝；③用坐標(biāo)表示條件，列

3、出方程f(x,y)=0；④化簡(jiǎn)方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式。⑤證明以化簡(jiǎn)后方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)（一般省略）。［多媒體演示］ 師：這就是建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)四步曲。用這四步曲我們可以求適合某種條件的任何曲線方程，今天我們來看圓這種曲線的方程。［給出標(biāo)題］ 師：前面我們?cè)C明過圓心在原點(diǎn)，半徑為5的圓的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25. ??? 若半徑發(fā)生變化，圓的方程又是怎樣的？能否寫出圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程？ 生：x2+y2=r2. 師：你是怎樣得到的？（引導(dǎo)啟發(fā)）圓上的點(diǎn)滿足什么條件？ 生：圓上的任一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑。即 ，亦即 x2+y

4、2=r2. 師：x2+y2=r2 表示的圓的位置比較特殊：圓心在原點(diǎn)，半徑為r.有時(shí)圓心不在原點(diǎn)，若此圓的圓心移至C（a,b）點(diǎn)（如圖），方程又是怎樣的？ 生：此圓是到點(diǎn)C(a,b)的距離等于半徑r的點(diǎn)的集合， 由兩點(diǎn)間的距離公式得??????????????????????????? ??? ?? 即：（x-a）2+(y-b)2= r2 Ⅱ.講授新課、嘗試練習(xí) 師：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.? ??? 特別：當(dāng)圓心在原點(diǎn)，半徑為r時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+y2=r2. 師：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由哪些量決定？ 生：由圓心坐標(biāo)（a,b）及半徑r

5、決定。 師：很好！實(shí)際上圓心和半徑分別決定圓的位置和大小。由此可見，要確定圓的方程，只需確定a、b、r這三個(gè)獨(dú)立變量即可。 1、???? 寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：［多媒體演示］ ?? ① 圓心在原點(diǎn)，半徑是3?? ：________________________ ?? ② 圓心在點(diǎn)C（3，4），半徑是 ：______________________ ③ 經(jīng)過點(diǎn)P（5，1），圓心在點(diǎn)C（8，－3）：_______________________ 2、? 變式題［多媒體演示］ ①???? 求以C（1，3）為圓心，并且和直線3x-4y-7=0相切的圓的方程。 ???? 答案：(x-

6、1)2 + (y-3)2 = ????? ② 已知圓的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,寫出圓心坐標(biāo)和半徑。?? ?????????? 答案： C（a,0）,? r=|a| Ⅲ.例題分析、鞏固應(yīng)用 師：下面我們通過例題來看看圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用. ［例1］??????????? 已知圓的方程是 x2+y2=17，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)P（，）的切線的方程。 師：你打算怎樣求過P點(diǎn)的切線方程？ 生：要求經(jīng)過一點(diǎn)的直線方程，可利用直線的點(diǎn)斜式來求。 師： 斜率怎樣求？ 生：。。。。。。 師：已知條件有哪些？能利用嗎？不妨結(jié)合圖形來看看（如圖） 生：切線與過切點(diǎn)的半

7、徑垂直，故斜率互為負(fù)倒數(shù) ? 半徑OP的斜率 K1＝， 所以切線的斜率 K＝－＝－ 所以所求切線方程：y-= －(x-) 即：x+y=17?? (教師板書) ??????? 師：對(duì)照?qǐng)A的方程x2+y2=17和經(jīng)過點(diǎn)P（，）的切線方程x+y=17，你能作出怎樣的猜想？ 生：。。。。。。 ? 師：由x2+y2=17怎樣寫出切線方程x+y=17,與已知點(diǎn)P（，）有何關(guān)系？ （若看不出來，再看一例） ［例1/］? 圓的方程是x2+y2=13，求過此圓上一點(diǎn)（2，3）的切線方程。 ???????? 答案：2x+3y=13? 即：2x+3y－13＝0 師：發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？（學(xué)生紛紛舉手

8、回答） 生：分別用切點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)代替圓方程中的一個(gè)x和一個(gè)y，便得到了切線方程。 師：若將已知條件中圓半徑改為r，點(diǎn)改為圓上任一點(diǎn)（xo,yo）,則結(jié)論將會(huì)發(fā)生怎樣的變化？大膽地猜一猜！ 生：xox+yoy=r2. 師：這個(gè)猜想對(duì)不對(duì)？若對(duì)，可否給出證明？ 生：。。。。。。 ［例2］已知圓的方程是 x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)P（xo,yo）的切線的方程。 解：如圖(上一頁)，因?yàn)榍芯€與過切點(diǎn)的半徑垂直，故半徑OP的斜率與切線的斜率互為負(fù)倒數(shù) ? ∵半徑OP的斜率 K1＝，∴切線的斜率 K＝－＝－ ∴所求切線方程：y-yo= － (x-xo) 即：xox+yoy=

9、xo2+yo2?? 亦即：xox+yoy=r2. (教師板書) ? ?? 當(dāng)點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上時(shí)，可以驗(yàn)證上面方程同樣適用。 歸納總結(jié)：圓的方程可看成 x.x+y.y=r2,將其中一個(gè)x、y用切點(diǎn)的坐標(biāo)xo、yo 替換，可得到切線方程 ［例3］右圖為某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造時(shí)每隔4M需用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2的長(zhǎng)度。（精確到0.01M） ??????? 引導(dǎo)學(xué)生分析，共同完成解答。 ?? 師生分析：①建系； ②設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（待定系數(shù)）；③求系數(shù)（求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）；④利用方程求A2P2的長(zhǎng)度。 ?? 解：以AB所在直線為X

10、軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系。則圓心在Y軸上，設(shè)為 （0，b）,半徑為r，那么圓的方程是? ?x2+(y-b)2=r2. ∵P(0,4),B(10,0)都在圓上，于是得到方程組： ? 解得：b=-10.5 ,r2=14.52 ∴圓的方程為 x2+(y＋10.5)2=14.52. 將P2的橫坐標(biāo)x=-2代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 且取y>0 得：y= ???? ≈14.36-10.5=3.86 (M) 答：支柱A2P2的長(zhǎng)度約為3.86M。 Ⅳ.課堂練習(xí)、課時(shí)小結(jié) 課本Ｐ77練習(xí)2，3 師：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解并掌握切線方程的探求過程和方法

11、，能運(yùn)用圓的方程解決實(shí)際問題. Ⅴ.問題延伸、課后作業(yè) (一)若P（xo,yo）在圓（x-a）2+(y-b)2= r2上時(shí)，試求過P點(diǎn)的圓的切線方程。 課本Ｐ81習(xí)題7.7 : 1，2，3，4 (二)預(yù)習(xí)課本Ｐ77～Ｐ79 ? 教學(xué)設(shè)計(jì)說明 　　設(shè)計(jì)思想： 在教學(xué)過程中，教師遵循數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律，并依據(jù)建構(gòu)主義教育理論，創(chuàng)設(shè)一系列數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境，在情境中讓學(xué)生觀察、類比、猜想、嘗試、探索、歸納并引導(dǎo)加以證明，強(qiáng)調(diào)主動(dòng)建構(gòu)，從深層次加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的感知度，使學(xué)生能更好地理解和掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程。 　　設(shè)計(jì)理念： 設(shè)計(jì)的根本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。教師以合作者的身份參與，課堂上建立平等

12、、互助、融洽的關(guān)系，師生共同研究，共同提高。 　　設(shè)計(jì)思路： 本節(jié)課的設(shè)計(jì)與教材的呈現(xiàn)方式有所不同，教材只是教學(xué)的藍(lán)本，教師在理解教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，應(yīng)發(fā)揮主觀能動(dòng)作用，對(duì)教材資源進(jìn)行再加工、再創(chuàng)造，這樣教學(xué)有利于認(rèn)知結(jié)構(gòu)與知識(shí)結(jié)構(gòu)的有機(jī)結(jié)合，也有利于學(xué)生從深層次理解和掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程。鑒于此，本節(jié)在給出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，運(yùn)用簡(jiǎn)單、特殊的到復(fù)雜、一般的數(shù)學(xué)思想，使用了觀察、猜測(cè)、經(jīng)驗(yàn)歸納等方法進(jìn)行合情地推理，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照?qǐng)A的幾何形狀，觀察和欣賞圓的方程，體會(huì)數(shù)學(xué)中的美——對(duì)稱、簡(jiǎn)潔。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用是本節(jié)的難點(diǎn)。為了突破難點(diǎn)，設(shè)計(jì)三個(gè)例題。第一、二個(gè)例題，從特殊到一般給出切線方

13、程，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣，不斷完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。第三個(gè)例題，充分利用多媒體的動(dòng)感演示，刺激學(xué)生的感官，引起更強(qiáng)的注意，從而使學(xué)生理解理論來源于實(shí)踐，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，激發(fā)學(xué)生自主探究問題的興趣，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、堅(jiān)忍不拔的意志品質(zhì)。最后設(shè)計(jì)了“問題延伸”，讓學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂，又帶著問題走出課堂，激發(fā)學(xué)生不斷求知、不斷探索的欲望。 在整個(gè)教學(xué)過程中，主要著眼于“引”，啟發(fā)學(xué)生“探”，把“引”和“探”有機(jī)的結(jié)合起來，教師的每項(xiàng)措施都是為了力求給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境，一種動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口并且主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，激發(fā)學(xué)生求知的欲望，促使學(xué)生掌握知識(shí)，解決問題。 　　媒體設(shè)計(jì)： 　　采用powerpoint媒體。本節(jié)知識(shí)容量大，同時(shí)又有圖形。為了在短時(shí)間內(nèi)完成教學(xué)內(nèi)容，故采用演示文稿的方式，增加信息量，節(jié)省時(shí)間。同時(shí)動(dòng)態(tài)演示圖形，刺激學(xué)生的感官，引起更強(qiáng)的注意，提高課堂教學(xué)效率