2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第五單元 四邊形 課時(shí)訓(xùn)練（二十六）正方形及中點(diǎn)四邊形練習(xí)

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1、2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第五單元 四邊形 課時(shí)訓(xùn)練（二十六）正方形及中點(diǎn)四邊形練習(xí) |夯實(shí)基礎(chǔ)| 1.[xx·廣安] 下列說法: ①四邊相等的四邊形一定是菱形; ②順次連接矩形各邊中點(diǎn)形成的四邊形一定是正方形; ③對(duì)角線相等的四邊形一定是矩形; ④經(jīng)過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線,一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分. 其中說法正確的個(gè)數(shù)為 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 2.小紅用次數(shù)最少的對(duì)折方法驗(yàn)證了一條四邊形絲巾的形狀是正方形,她對(duì)折了 (

2、　　) A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 3.若順次連接四邊形ABCD四邊的中點(diǎn),得到的圖形是一個(gè)矩形,則四邊形ABCD一定是 (　　) A.矩形 B.菱形 C.對(duì)角線相等的四邊形 D.對(duì)角線互相垂直的四邊形 4.[xx·河北] 如圖K26-1是邊長(zhǎng)為10 cm的正方形鐵片,過兩個(gè)頂點(diǎn)剪掉一個(gè)三角形,以下四種剪法中,裁剪線長(zhǎng)度所標(biāo)的數(shù)據(jù)(單位:cm)不正確的是 (　　) 圖K26-1 圖K26-2 5.[xx·黔東南州] 如圖K26-3,正方形ABCD中,E為AB中點(diǎn),

3、FE⊥AB,AF=2AE,FC交BD于點(diǎn)O,則∠DOC的度數(shù)為 (　　) 圖K26-3 A.60° B.67.5° C.75° D.54° 6.小明在學(xué)習(xí)了正方形之后,給同桌小文出了道題,從下列四個(gè)條件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件,使?ABCD成為正方形(如圖K26-4),現(xiàn)有下列四種選法,你認(rèn)為錯(cuò)誤的是 (　　) 圖K26-4 A.①② B.②③

4、 C.①③ D.②④ 7.[xx·黃岡] 已知:如圖K26-5,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊三角形ADE,則∠BED=　　　　度.? 圖K26-5 8.[xx·大慶] 如圖K26-6,點(diǎn)M,N在半圓的直徑AB上,點(diǎn)P,Q在上,四邊形MNPQ為正方形.若半圓的半徑為,則正方形的邊長(zhǎng)為　　　　.? 圖K26-6 9.[xx·深圳] 如圖K26-7,四邊形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且E,A,B三點(diǎn)共線,AB=4,則陰影部分的面積是　　　　.? 圖K26-7 10.[xx·武漢] 以正方形ABCD的邊AD為

5、邊作等邊三角形ADE,則∠BEC的度數(shù)是　　　　.? 11.[xx·義烏] 如圖K26-8為某城市部分街道示意圖,四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)G在對(duì)角線BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500 m,小敏行走的路線為B→A→G→E,小聰行走的路線為B→A→D→E→F,若小敏行走的路程為3100 m,則小聰行走的路程為　　　　m.? 圖K26-8 12.[xx·舟山] 如圖K26-9,等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E,F在矩形ABCD的邊BC,CD上,且∠CEF=45°. 求證:矩形ABCD是正方形. 圖K26-9 13.如圖K26-10,四邊形ABCD是正

6、方形,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F. 求證:AE=EF. 圖K26-10 |拓展提升| 14.[xx·煙臺(tái)] 【問題解決】 一節(jié)數(shù)學(xué)課上,老師提出了這樣一個(gè)問題:如圖K26-11①,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度數(shù)嗎? 小明通過觀察、分析、思考,形成了如下思路: 思路一:將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△BP'A,連接PP',求出∠APB的度數(shù); 思路二:將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△CP'B,連接PP',求出∠APB的度數(shù). 請(qǐng)參考小明的

7、思路,任選一種寫出完整的解答過程. 【類比探究】 如圖②,若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn),PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度數(shù). 圖K26-11 參考答案 1.C　[解析] ①正確;由于矩形的對(duì)角線相等,根據(jù)三角形的中位線定理,可得順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得四邊形的四邊都相等,由此可判定所得四邊形是菱形,故②錯(cuò)誤;對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形,對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形,故③錯(cuò)誤;④正確.綜上所述,正確的說法有2個(gè).故選C. 2.B 3.D　[解析] 如圖,四邊形EFGH是矩形,且E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn), 根據(jù)三角形中位線定

8、理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG. ∵四邊形EFGH是矩形,即EF⊥FG, ∴AC⊥BD. 4.A　[解析] 選項(xiàng)A不正確.理由:正方形的邊長(zhǎng)為10,所以對(duì)角線=10≈14,因?yàn)?5>14,所以這個(gè)圖形不可能存在.故選A. 5.A　[解析] 連接BF,∵E為AB中點(diǎn),FE⊥AB,∴EF垂直平分AB,∴AF=BF.∵AF=2AE, ∴AF=AB,∴AF=BF=AB,∴△ABF為等邊三角形,∴∠FBA=60°,BF=BC,∴∠FCB=∠BFC=15°,∵四邊形ABCD為正方形,∴∠DBC=45°,根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得∠DOC=15°+45°=60°.

9、 6.B　[解析] 此題考查正方形的判定,即在平行四邊形的基礎(chǔ)上,需要再同時(shí)具備矩形和菱形的特征.①是菱形的特征;②是矩形的特征;③是矩形的特征,④是菱形的特征.而B中都是矩形的特征.故選B. 7.45　[解析] 由題意得,AB=AE,∠BAD=90°,∠DAE=∠AED=60°,所以∠BAE=150°,∠AEB=15°.所以∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°. 8.2　[解析] 連接OP,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a(a>0),則ON=,PN=a,在Rt△OPN中,ON2+PN2=OP2,即2+a2=()2,解得a=2. 9.8　[解析] ∵四邊形ACDF是正方形,∴AC=A

10、F,∠CAF=90°,∴∠CAE+∠BAF=90°,又∠CAE+∠ECA=90°,∴∠ECA=∠BAF,則在△ACE和△FAB中,∵ ∴△ACE≌△FAB(AAS),∴AB=CE=4, ∴陰影部分的面積=AB·CE=×4×4=8. 10.30°或150°　[解析] 如圖①,∵△ADE是等邊三角形, ∴DE=DA,∠DEA=∠1=60°. ∵四邊形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠2=90°. ∴∠CDE=150°,DE=DC,∴∠3=(180°-150°)=15°. 同理可求得∠4=15°. ∴∠BEC=30°. 如圖②,∵△ADE是等邊三角形,∴DE=DA,∠1=∠2=

11、60°,∵四邊形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠CDA=90°. ∴DE=DC,∠3=30°,∴∠4=(180°-30°)=75°. 同理可求得∠5=75°.∴∠BEC=360°―∠2―∠4―∠5=150°. 故答案為30°或150°. 11.4600　[解析] 連接GC,由四邊形ABCD為正方形可得△ADG≌△CDG,所以GC=AG,由四邊形GECF為矩形可得GC=EF,所以EF=AG,因?yàn)樾∶粜凶叩穆肪€為B→A→G→E,所以BA+AG+GE=3100 m.因?yàn)樾÷斝凶叩穆肪€為B→A→D→E→F,所以BA+AD+DE+EF=BA+1500+GE+AG=3100+1500=4600(

12、m). 12.證明:∵四邊形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D=∠C=90°, ∵△AEF是等邊三角形, ∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°, ∵∠CEF=45°, ∴∠CFE=∠CEF=45°, ∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°, ∴△ABE≌△ADF, ∴AB=AD, ∴矩形ABCD是正方形. 13.證明:取AB的中點(diǎn)H,連接EH. ∵∠AEF=90°, ∴∠2+∠AEB=90°, ∵四邊形ABCD是正方形, ∴∠1+∠AEB=90°, ∴∠1=∠2, ∵E是BC的中點(diǎn),H是AB的中點(diǎn), ∴BH=BE,AH=CE, ∴∠BH

13、E=45°, ∵CF是∠DCG的平分線, ∴∠FCG=45°,∴∠AHE=∠ECF=135°, 在△AHE和△ECF中, ∴△AHE≌△ECF(ASA),∴AE=EF. 14.[解析] 將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'BA,連接PP',得到等腰直角三角形BP'P,從而得到PP'=2,∠BPP'=45°,又AP'=CP=3,AP=1,∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2,∴根據(jù)勾股定理的逆定理得∠APP'=90°,從而求出∠APB=45°+90°=135°. 將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△P'BA,連接PP',方法和上述類似,求出∠APB=45°. 解:【問

14、題解決】如圖①,將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△P'BA,連接PP'. ① ∵P'B=PB=2,∠P'BP=90°, ∴PP'=2,∠BPP'=45°. 又AP'=CP=3,AP=1, ∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2, ∴∠APP'=90°, ∴∠APB=45°+90°=135°. ② 【類比探究】如圖②,將△PBC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△P'BA,連接PP'. ∵P'B=PB=1, ∠P'BP=90°, ∴PP'=,∠BPP'=45°. 又AP'=CP=,AP=3, ∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2, ∴∠APP'=90°,∴∠APB=90°-45°=45°.