高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 3-8函數(shù)與方程檢測(cè)試題（2）文

9、零點(diǎn)，結(jié)合圖像得：00時(shí)，f(x)＝2 014x＋log2 014x，則在R上，函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為__________． 解析：函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2 014x＋log2 014x在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．根據(jù)對(duì)稱性可知函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3. 答案：3 14．已知[x] 表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函

10、數(shù)f(x)＝lnx－的零點(diǎn)，則[x0]等于__________． 解析：∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，∴函數(shù)f′(x)＝＋>0，即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．由f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝lne－>0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2. 答案：2 三、解答題 15．是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上與x軸恒有一個(gè)零點(diǎn)，且只有一個(gè)零點(diǎn)．若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由． 解析：∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝92＋＞0， ∴若實(shí)數(shù)a滿足條件，則只需f(－1)·f(3)≤

11、0即可． f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－或a≥1. 檢驗(yàn)：(1)當(dāng)f(－1)＝0時(shí)，a＝1.所以f(x)＝x2＋x. 令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1，方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠1. (2)當(dāng)f(3)＝0時(shí)，a＝－， 此時(shí)f(x)＝x2－x－. 令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解之得x＝－或x＝3，方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠－. 綜上所述，存在實(shí)數(shù)a，其范圍是a＜－或a＞1. 答案：存在，a的范圍是a＜－或a＞1 16．已知函數(shù)f(x)＝

12、－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0)． (1)若g(x)＝m有零點(diǎn)，求m的取值范圍； (2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根． 解析：(1)方法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e， 等號(hào)成立的條件是x＝e，∴g(x)的值域是[2e，＋∞)， 因而只需m≥2e，則g(x)＝m就有零點(diǎn)． 方法二：作出g(x)＝x＋(x＞0)的圖像如圖所示， 可知若使g(x)＝m有零點(diǎn)，則只需m≥2e. 方法三：由g(x)＝m得x2－mx＋e2＝0. 此方程有大于零的根，故 等價(jià)于 故m≥2e. (2)方法一：若g(x)－f(x)＝0有兩相異的實(shí)根，

13、 即g(x)與f(x)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 作出g(x)＝x＋(x＞0)的圖像． ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1 ＝－(x－e)2＋m－1＋e2. 其對(duì)稱軸為x＝e，開口向下，最大值為m－1＋e2. 故當(dāng)m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1時(shí)， g(x)與f(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根． ∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)． 方法二：令F(x)＝g(x)－f(x)， 則由已知F(x)＝g(x)－f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)． 又F′(x)＝g′(x)－f′(x)＝1－＋2x－2e ＝ ＝， ∵x2＞0恒成立，2x2＋x＋

14、e＞0恒成立， ∴當(dāng)x＞e時(shí)F′(x)＞0，x＜e時(shí)F′(x)＜0，故F(x)在(0，e)上為減函數(shù)，在(e，＋∞)上為增函數(shù)． ∴F(x)＝g(x)－f(x)在x＝e處取得極小值， 若F(x)＝g(x)－f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則F(e)＜0. 即e＋＋e2－2e·e－m＋1＜0， 即m＞－e2＋2e＋1. 答案：(1)m≥2e；(2)m＞－e2＋2e＋1. 創(chuàng)新試題　教師備選 教學(xué)積累　資源共享 1．函數(shù)f(x)＝－cosx在[0，＋∞)內(nèi)(　　) A．沒(méi)有零點(diǎn)　　　　　　　 B．有且僅有一個(gè)零點(diǎn) C．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn) D．有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn) 解析：在同一直角坐標(biāo)系

15、中分別作出函數(shù)y＝和y＝cosx的圖像，如圖，由于x>1時(shí)，y＝>1，y＝cosx≤1，所以兩圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程－cosx＝0在[0，＋∞)內(nèi)只有一個(gè)根，所以f(x)＝－cosx在[0，＋∞)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以選B項(xiàng)． 答案：B 2．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x3.又函數(shù)g(x)＝|xcos(πx)|，則函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè) 解析：根據(jù)題意，函數(shù)y＝f(x)是周期為2的偶函數(shù)且0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x3，

16、則當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝－x3，且 g(x)＝|xcos(πx)|， 所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝g(x)． 當(dāng)x≠0時(shí)，若0

17、一個(gè)“λ－同伴函數(shù)” C．f(x)＝log2x是一個(gè)“λ－同伴函數(shù)” D．f(x)＝0是唯一一個(gè)常值“λ－同伴函數(shù)” 解析：A項(xiàng)正確，令x＝0，得f＋f(0)＝0，所以f＝－f(0)．若f(0)＝0，顯然f(x)＝0有實(shí)數(shù)根；若f(0)≠0，f·f(0)＝－(f(0))2＜0.又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像是連續(xù)不斷的，所以f(x)＝0在上必有實(shí)數(shù)根，即任意“－同伴函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)． B項(xiàng)錯(cuò)誤，用反證法，假設(shè)f(x)＝x2是一個(gè)“λ－同伴函數(shù)”，則(x＋λ)2＋λx2＝0，即(1＋λ)x2＋2λx＋λ2＝0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，所以λ＋1＝2λ＝λ2＝0，而此式無(wú)解，所以f(x)＝x2不是一

18、個(gè)“λ－同伴函數(shù)”． C項(xiàng)錯(cuò)誤，因?yàn)閒(x)＝log2x的定義域不是R. D項(xiàng)錯(cuò)誤，設(shè)f(x)＝C是一個(gè)“λ－同伴函數(shù)”，則(1＋λ)C＝0，當(dāng)λ＝－1時(shí)，可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f(x)＝0不是唯一一個(gè)常值“λ－同伴函數(shù)”． 答案：A 4．[xx·青島調(diào)研]設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱f(x)和g(x)在[a，b]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”．若f(x)＝x2－3x＋4與g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則m的取值范圍為(　　) A. B．[－1,0

19、] C．(－∞，－2] D. 解析：令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－3x＋4－(2x＋m)＝x2－5x＋4－m，則由題意知F(x)＝0在[0,3]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，因而 即解之得－100，由26＝64,27＝128知n＝7. 答案：7 6．已知函數(shù)y＝f(x) (x∈R)滿足f(－x＋2)＝f(－x)，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝|x|，則y＝f(x)與y＝log7x的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為__________． 解析：因?yàn)閒(－x＋2)＝f(－x)，所以y＝f(x)為周 期函數(shù)，其周期為2.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝f(x)和y＝log7x的圖像如圖， 當(dāng)x＝7時(shí)，f(7)＝1，log77＝1，故y＝f(x)與y＝log7x共有6個(gè)交點(diǎn)． 答案：6