2021高考數學一輪復習 第11章 計數原理、概率、隨機變量及其分布 第6節(jié) n次獨立重復試驗與二項分布教學案 理 北師大版

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1、第六節(jié)　n次獨立重復試驗與二項分布 [最新考綱]　1.了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨立的概念.2.理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單問題． 1．條件概率 在已知B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率叫作B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，用符號P(A|B)來表示，其公式為P(A|B)＝(P(B)＞0)． 2．相互獨立事件 (1)一般地，對兩個事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱A，B相互獨立． (2)如果A，B相互獨立，則A與，與B，與也相互獨立． (3)如果A1，A2，…，An相互獨立，則有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)

2、． 3．獨立重復試驗與二項分布 (1)獨立重復試驗 在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次試驗結果，則 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)． (2)二項分布 進行n次試驗，如果滿足以下條件： ①每次試驗只有兩個相互對立的結果，可以分別稱為“成功”和“失敗”； ②每次試驗“成功”的概率均為p，“失敗”的概率均為1－p； ③各次試驗是相互獨立的． 用X表示這n次試驗中成功的次數，則 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)． 若一個隨機變量X的分布列如上所述，稱X服從參

3、數為n，p的二項分布，簡記為X～B(n，p)． 牢記且理解事件中常見詞語的含義 (1)A，B中至少有一個發(fā)生的事件為A＋B； (2)A，B都發(fā)生的事件為AB； (3)A，B都不發(fā)生的事件為； (4)A，B恰有一個發(fā)生的事件為A＋B； (5)A，B至多一個發(fā)生的事件為A＋B＋. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)相互獨立事件就是互斥事件．(　　) (2)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．(　　) (3)公式P(AB)＝P(A)P(B)對任意兩個事件都成立．(　　) (4)二項分布是一個概率分布列，是一個用公式P(X＝k)＝Cpk

4、(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數的概率分布．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．如果某一批玉米種子中，每粒發(fā)芽的概率均為，那么播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概率是(　　) A．　 B．　　　 C．　 D． A　[用X表示發(fā)芽的粒數，則X～B，則P(X＝3)＝C× 3×2＝，故播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概率為.] 2．兩個實習生每人加工一個零件，加工成一等品的概率分別為和，兩個零件中能否被加工成一等品相互獨立，則這兩個零件中恰好有一個一等品的概率為(　　)

5、 A． B． C． D． B　[因為兩人加工成一等品的概率分別為和，且相互獨立，所以兩個零件中恰好有一個一等品的概率P＝×＋×＝.] 3．在5道題中有3道理科題和2道文科題．如果不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到文科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為(　　) A． B． C． D． D　[根據題意，在第1次抽到文科題后，還剩4道題，其中有3道理科題；則第2次抽到理科題的概率P＝，故選D.] 4．一批產品的二等品率為0.02，從這批產品中每次隨機抽取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品的件數，則X服從二項分布，記作________． X～B(100,0.

6、02)　[根據題意，X～B(100,0.02)．] 考點1　條件概率 　求條件概率的2種方法 (1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，這是求條件概率的通法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數n(AB)，得P(B|A)＝. 　1.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數，事件A＝“取到的2個數之和為偶數”，事件B＝“取到的2個數均為偶數”，則P(B|A)＝(　　) A．　 B．　　　 C．　 D． B　[法一(直接法)：P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝.由條件概率計算公式，得P(B

7、|A)＝＝＝. 法二(縮小樣本空間法)：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共4個． 事件AB發(fā)生的結果只有(2,4)一種情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率P(B|A)＝＝.] 2．(2019·運城模擬)有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為________． 0．72　[設“種子發(fā)芽”為事件A，“種子成長為幼苗”為事件AB(發(fā)芽，又成活為幼苗)．出芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9，根據條件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0

8、.9＝0.72，即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.] 　判斷所求概率為條件概率的主要依據是題目中的“已知”“在……前提下(條件下)”等字眼．第2題中沒有出現上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也認為是條件概率問題．運用P(AB)＝P(B|A)·P(A)，求條件概率的關鍵是求出P(A)和P(AB)，要注意結合題目的具體情況進行分析． 考點2　相互獨立事件的概率 　求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法 (1)首先判斷幾個事件的發(fā)生是否相互獨立． (2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有： ①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解． ②正面計算較繁或難以入手時，

9、可從其對立事件入手計算． 　(1)天氣預報，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假設在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56 (2)某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參加某運動會的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況．規(guī)定一名運動員出線記1分，未出線記0分．假設甲、乙、丙出線的概率分別為，，，他們出線與未出線是相互獨立的． ①求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率； ②記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員的得分之和為隨機變量ξ，求隨

10、機變量ξ的分布列． (1)C　[設甲地降雨為事件A，乙地降雨為事件B，則兩地恰有一地降雨為A＋B， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B) ＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.] (2)[解]　①記“甲出線”為事件A，“乙出線”為事件B，“丙出線”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事件D， 則P(D)＝1－P( )＝1－××＝. ②由題意可得，ξ的所有可能取值為0,1,2,3， 則P(ξ＝0)＝P( )＝××＝； P(ξ＝1)＝P( )＋P( )＋P( )＝××＋××＋××＝； P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC

11、)＝××＋××＋××＝； P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 　含有“恰好、至多、至少”等關鍵詞的問題，求解的關鍵在于正確分析所求事件的構成，將其轉化為彼此互斥事件的和或相互獨立事件的積，然后利用相關公式進行計算． [教師備選例題] 從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，. (1)設X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量X的分布列； (2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率． [解]　(1)隨機變量X的所有可能取值

12、為0,1,2,3， 則P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝2)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＝. 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P (2)設Y表示第一輛車遇到紅燈的個數，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數，則所求事件的概率為 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0) ＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) ＝×＋×＝. 所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為. 　(2019·全國卷Ⅱ)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權，

13、先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束． (1)求P(X＝2)； (2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率． [解]　(1)X＝2就是10∶10平后，兩人又打了2個球該局比賽結束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5. (2)X＝4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個球該局比賽結束，且這4個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均

14、為甲得分． 因此所求概率為 [0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1. 考點3　獨立重復試驗與二項分布 　獨立重復試驗的概率 　獨立重復試驗概率求解的策略 (1)首先判斷問題中涉及的試驗是否為n次獨立重復試驗，判斷時注意各次試驗之間是相互獨立的，并且每次試驗的結果只有兩種，在任何一次試驗中，某一事件發(fā)生的概率都相等，然后用相關公式求解． (2)解此類題時常用互斥事件概率加法公式，相互獨立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式． 　(1)位于坐標原點的一個質點P按下述規(guī)則移動：質點 每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的

15、概率都是.質點P移動五次后位于點(2,3)的概率是________． (2)(2019·蘇州模擬)某射手每次射擊擊中目標的概率是，且各次射擊的結果互不影響． ①假設這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率； ②假設這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標的概率； ③假設這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分．在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分．記ξ為射手射擊3次后的總分數，求ξ的分布列． (1)　[由于質點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，移動五次后位于點(2,3)，所以質點P必

16、須向右移動兩次，向上移動三次，故其概率為C3·2＝C5＝.] (2)[解]　①設X為射手在5次射擊中擊中目標的次數，則X～B.在5次射擊中，恰有2次擊中目標的概率為P(X＝2)＝C×2×3＝. ②設“第i次射擊擊中目標”為事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件A，則 P(A)＝P(A1A2A345)＋P(1A2A3A45)＋P(12A3A4A5)＝3×2＋×3×＋2×3＝. ③設“第i次射擊擊中目標”為事件Ai(i＝1,2,3)． 由題意可知，ξ的所有可能取值為0,1,2,3,6. P(ξ＝0)＝P(123)＝3＝；

17、 P(ξ＝1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3) ＝×2＋××＋2×＝； P(ξ＝2)＝P(A12A3)＝××＝； P(ξ＝3)＝P(A1A23)＋P(1A2A3) ＝2×＋×2＝； P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝3＝. 所以ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 6 P 　在求解過程中，本例(2)中②常因注意不到題設條件 “有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”，盲目套用公式致誤；本例(2)中③常因對ξ的取值不明，導致事件概率計算錯誤． 　一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次， 每次擊鼓要么出現一次音樂，要么不出現音

18、樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現一次音樂獲得10分，出現兩次音樂獲得20分，出現三次音樂獲得100分，沒有出現音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設每次擊鼓出現音樂的概率為，且各次擊鼓出現音樂相互獨立． (1)設每盤游戲獲得的分數為X，求X的分布列； (2)玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂的概率是多少？ [解]　(1)X可能的取值為10,20,100，－200. 根據題意，有 P(X＝10)＝C×1×2＝， P(X＝20)＝C×2×1＝， P(X＝100)＝C×3×0＝， P(X＝－200)＝C×0×3＝. 所以X的分布列為 X 10 20 100 －200 P

19、 (2)設“第i盤游戲沒有出現音樂”為事件Ai(i＝1,2,3)， 則P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝. 所以“三盤游戲中至少有一盤出現音樂”的概率為 1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝. 因此，玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂的概率是. 　 二項分布 　(2019·秦皇島模擬)某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本稱出它們的質量(單位：克)，質量的分組區(qū)間為(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖)． (1)根據頻率分布直方圖，求

20、質量超過505克的產品數量； (2)在上述抽取的40件產品中任取2件，設X為質量超過505克的產品數量，求X的分布列； (3)從該流水線上任取2件產品，設Y為質量超過505克的產品數量，求Y的分布列． [解]　(1)質量超過505克的產品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以質量超過505克的產品數量為40×0.3＝12(件)． (2)重量超過505的產品數量為12件，則重量未超過505克的產品數量為28件，X的取值為0,1,2， X服從超幾何分布． P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列為 X 0 1 2 P

21、 (3)根據樣本估計總體的思想，取一件產品，該產品的質量超過505克的概率為＝. 從流水線上任取2件產品互不影響，該問題可看成2次獨立重復試驗，質量超過505克的件數Y的可能取值為0,1,2，且Y～B， P(Y＝k)＝C2－kk， 所以P(Y＝0)＝C·2＝， P(Y＝1)＝C··＝， P(Y＝2)＝C·2＝. ∴Y的分布列為 Y 0 1 2 P 　(1)注意隨機變量滿足二項分布的關鍵詞： ①視頻率為概率；②人數很多、數量很大等． (2)求概率的過程，就是求排列數與組合數的過程，而在解決具體問題時要做到： ①分清 ②判斷事件的運算即是至少有一個

22、發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件． [教師備選例題] 某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算(結果保留到小數點后第2位)： (1)5次預報中恰有2次準確的概率； (2)5次預報中至少有2次準確的概率； (3)5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率． [解]　令X表示5次預報中預報準確的次數， 則X～B(5,0.8)． (1)“5次預報中恰有2次準確”的概率為P(X＝2)＝C×0.82×(1－0.8)3＝10×0.64×0.008≈0.05. (2)“5次預報中至少有2次準確”的概率為P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C×0.80×(1－0

23、.8)5－C×0.8×(1－0.8)4＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99. (3)“5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確”的概率為C×0.8×(1－0.83)×0.8≈0.02. 　(2019·西安模擬)某學校用“10分制”調查本校學生對教師教學的滿意度，現從學生中隨機抽取16名，以莖葉圖記錄了他們對該校教師教學滿意度的分數(以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉)： (1)若教學滿意度不低于9.5分，則稱該生對教師的教學滿意度為“極滿意”．求從這16人中隨機選取3人，至少有1人是“極滿意”的概率； (2)以這16人的樣本數據來估計整個學校的總體數據，若從該校所有學生中(學生人數很多)任選3人，記X表示抽到“極滿意”的人數，求X的分布列及數學期望． [解]　(1)設Ai表示所抽取的3人中有i個人是“極滿意”，至少有1人是“極滿意”記為事件A，則P(A)＝1－P(A0)＝1－＝. (2)X的所有可能取值為0,1,2,3，由已知得X～B，∴P(X＝0)＝3＝， P(X＝1)＝C××2＝， P(X＝2)＝C×2×＝， P(X＝3)＝3＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 P ∴E(X)＝3×＝. 11