2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第57課 直線與圓的位置關(guān)系自主學(xué)習(xí)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 第57課 直線與圓的位置關(guān)系自主學(xué)習(xí) 1. 直線與圓有三種位置關(guān)系:相離、相交、相切. 2. 直線與圓的位置關(guān)系的判定有兩種方法:代數(shù)法和幾何法. (1) 代數(shù)法:聯(lián)立直線與圓的方程,根據(jù)方程組的解的個(gè)數(shù),判定它們的位置關(guān)系. 將直線方程代入圓的方程,得到關(guān)于x或者y的二次方程.若Δ>0,則直線與圓相交;若Δ=0,則直線與圓相切;若Δ<0,則直線與圓相離. (2) 幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小來判斷. 當(dāng)dr時(shí),直線與圓相離. 3. 圓的切線 (1) 若點(diǎn)P

2、(x0,y0)在圓x2+y2=r2上時(shí),則經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2;若點(diǎn)P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時(shí),則經(jīng)過點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (2) 當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)在圓外時(shí),切線有兩條.求圓的切線方程時(shí),常設(shè)出切線的點(diǎn)斜式方程,然后運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離求出斜率.如果只能解出斜率的一個(gè)值,要注意斜率不存在的情形. (3) 當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=r2外時(shí),直線x0x+y0y=r2是切點(diǎn)弦所在的直線方程. 4. 圓的弦(直線與圓相交時(shí)) (1) 當(dāng)直線與

3、圓相交時(shí),設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為R,則直線被圓截得的弦長為2. (2) 直線y=kx+b與曲線C相交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=|x1-x2|=|y1-y2|. 1. (必修2P128復(fù)習(xí)12改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓(x-2)2+(y+1)2=4被直線x+2y-3=0截得的弦長為　　　　. [答案] [解析]圓(x-2)2+(y+1)2=4的圓心為C(2,-1),半徑為r=2,圓心C到直線x+2y-3=0的距離d==,故所求弦長為2=2=. 2. (必修2P104例2改編)若直線x-y+1=0與圓(x-a)2+y2=2有公共點(diǎn),則

4、實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　. [答案][-3,1] [解析]設(shè)圓(x-a)2+y2=2的圓心C(a,0)到直線x-y+1=0的距離為d,則 d≤r=,即≤,解得-3≤a≤1. 3. (必修2P113例2改編)若直線x-y+m=0與圓x2+y2-2x-2=0相切,則實(shí)數(shù)m=　　　　. [答案]-3或 [解析]圓x2+y2-2x-2=0的圓心C(1,0),半徑r=,直線x-y+m=0與圓相切時(shí),d=r,即=,解得m=-3或m=. 4. (必修2P117習(xí)題5改編)若直線3x+4y+m=0與圓x2+y2-2x+4y+4=0沒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　. [答案](-∞,0)∪(10,+∞) [解析]將圓x2+y2-2x+4y+4=0化為(x-1)2+(y+2)2=1,圓心為(1,-2),半徑為1.因?yàn)橹本€與圓無公共點(diǎn),所以圓心到直線的距離大于半徑,即d==>1,解得m<0或m>10. 5. (必修2P103例3改編)若PQ是圓x2+y2=9的弦,PQ的中點(diǎn)是(1,2),則直線PQ的方程是 . [答案]x+2y-5=0 [解析]由題意知kPQ=-,故直線PQ的方程為y=-(x-1)+2,即x+2y-5=0.