2022年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第8篇 第5節(jié) 拋物線課時訓(xùn)練 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第8篇 第5節(jié) 拋物線課時訓(xùn)練 理 新人教A版 一、選擇題 1．(xx銀川模擬)拋物線y＝－2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(－，0) B．(，0) C．(0，－ ) D．(0，－) 解析：y＝－2x2化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－y，其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，－)，故選C. 答案：C 2．設(shè)點(diǎn)A是拋物線y2＝4x上一點(diǎn)，點(diǎn)B(1,0)，點(diǎn)M是線段AB中點(diǎn)．若|AB|＝3，則點(diǎn)M到直線x＝－1的距離為(　　) A．5 B． C．2 D． 解析：如圖，過A、M、B分別作l：x＝－1的垂線，垂足分別為P，N，Q，則MN＝(AP＋BQ)＝×(3＋2)＝.故

2、選D. 答案：D 3．(xx年高考四川卷)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2－＝1的漸近線的距離是(　　) A． B． C．1 D． 解析：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，雙曲線的漸近線方程為±x－y＝0，則所求距離為d＝.故選B. 答案：B 4．已知拋物線y2＝2px，以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是(　　) A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定 解析：如圖所示，設(shè)拋物線焦點(diǎn)弦為AB，中點(diǎn)為M，準(zhǔn)線為l，A1、B1分別為A、B在直線l上的射影，則|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距離d＝(|AA1|＋|BB1|)

3、＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，故圓與拋物線準(zhǔn)線相切．故選C. 答案：C 5．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝±4x D．y2＝±8x 解析：當(dāng)a>0時，F(xiàn)，設(shè)A(0，yA)， S△OAF＝××|yA|＝4， ∴yA＝－. 又直線l的斜率為2， ∴＝2， 解得a＝8， ∴拋物線方程為y2＝8x. 同理當(dāng)a<0時， 可求拋物線方程為y2＝－8x. 故選D. 答案：D 6．(xx年高考大綱全國卷)已知拋物線C：y2

4、＝8x與點(diǎn)M(－2，2)，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，若·＝0，則k等于(　　) A． B． C． D．2 解析：法一　設(shè)直線方程為 y＝k(x－2)，A(x1，y1)、B(x2，y2)， 由 得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0， ∴x1＋x2＝， ① x1x2＝4， ② 由·＝0， 得(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2) ＝(x1＋2)(x2＋2)＋[k(x1－2)－2][k(x2－2)－2] ＝0， 代入①②整理得k2－4k＋4＝0， 解得k＝2.故選D. 法二　如圖所示，設(shè)F為焦點(diǎn)，取AB中點(diǎn)P， 過A、B分別作準(zhǔn)

5、線的垂線，垂足分別為G、H， 連接MF，MP， 由·＝0， 知MA⊥MB， 則|MP|＝|AB| ＝(|AG|＋|BH|)， 所以MP為直角梯形BHGA的中位線， 所以MP∥AG∥BH， 所以∠GAM＝∠AMP＝∠MAP， 又|AG|＝|AF|， |AM|＝|AM|， 所以△AMG≌△AMF， 所以∠AFM＝∠AGM＝90°， 則MF⊥AB，所以k＝－＝2. 答案：D 二、填空題 7．(xx臨沂一模)已知圓x2＋y2＋mx－＝0與拋物線y＝x2的準(zhǔn)線相切，則m＝________. 解析：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y，其準(zhǔn)線方程為y＝－1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x＋

6、2＋y2＝， 所以圓心為－，0，半徑為， 由于圓與拋物線準(zhǔn)線y＝－1相切， 所以＝1，解得m＝±. 答案：± 8．(xx安徽皖南八校第二次聯(lián)考)若拋物線y2＝2x上一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為，則點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為________． 解析：設(shè)M(x，y)，則由 得x2＋2x－3＝0. 解得x＝1或x＝－3(舍)． 所以點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離d＝1－－＝. 答案： 9．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，若·＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為________． 解析：設(shè)A的坐標(biāo)為，y0， ∵F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)， ∴F(1,0)， ∴·＝，y

7、0·1－，－y0 ＝－－ ＝－4， 解得y＝4， ∴y0＝±2. ∴A的坐標(biāo)為(1,2)或(1，－2)． 答案：(1,2)或(1，－2) 10．已知P、Q為拋物線x2＝2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)分別為4、－2，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為________． 解析：由于P、Q為拋物線x2＝2y，即y＝x2上的點(diǎn)，且橫坐標(biāo)分別為4、－2，則P(4,8)，Q(－2,2)，從而在點(diǎn)P處的切線斜率k1＝4.據(jù)點(diǎn)斜式，得曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y－8＝4(x－4)；同理，曲線在點(diǎn)Q處的切線方程為y－2＝－2(x＋2)；將這兩個方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為

8、－4. 答案：－4 三、解答題 11．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線截直線y＝2x－4所得的弦長|AB|＝3，求此拋物線方程． 解：設(shè)所求的拋物線方程為y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直線y＝2x－4代入y2＝ax， 得4x2－(a＋16)x＋16＝0， 由Δ＝(a＋16)2－256＞0，得a＞0或a＜－32. 又x1＋x2＝，x1x2＝4， ∴|AB|＝ ＝ ＝3， ∴5[()2－16]＝45， ∴a＝4或a＝－36. 故所求的拋物線方程為y2＝4x或y2＝－36x. 12．若拋物線y＝2x2上的兩點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)

9、關(guān)于直線l：y＝x＋m對稱，且x1x2＝－，求實(shí)數(shù)m的值． 解：法一　如圖所示，連接AB， ∵A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱， ∴AB⊥l，且AB中點(diǎn)M(x0，y0)在直線l上． 可設(shè)lAB：y＝－x＋n， 由得2x2＋x－n＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－. 由x1x2＝－，得n＝1. 又x0＝＝－， y0＝－x0＋n＝＋1＝， 即點(diǎn)M的坐標(biāo)為， 由點(diǎn)M在直線l上， 得＝－＋m， ∴m＝. 法二　∵A、B兩點(diǎn)在拋物線y＝2x2上． ∴ ∴y1－y2＝2(x1＋x2)(x1－x2)． 設(shè)AB中點(diǎn)M(x0，y0)， 則x1＋x2＝2x0，kAB＝＝4x0. 又AB⊥l，∴kAB＝－1，從而x0＝－. 又點(diǎn)M在l上，∴y0＝x0＋m＝m－， 即M， ∴AB的方程是y－＝－， 即y＝－x＋m－， 代入y＝2x2， 得2x2＋x－＝0， ∴x1x2＝－＝－， ∴m＝.