2022年高考數(shù)學大一輪復習 第十章 第58課 圓與圓的位置關系要點導學

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1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 第十章 第58課 圓與圓的位置關系要點導學 兩圓位置關系的判定 　已知圓C1:x2+y2-2kx+k2-1=0和圓C2:x2+y2-2(k+1)y+k2+2k=0,當它們的圓心距最小時,判斷兩圓的位置關系. [思維引導]計算出兩圓圓心距關于參數(shù)k的表達式,求出最小值,判斷與兩圓半徑和及差與圓心距的大小關系. [解答]將兩圓方程化為標準方程, 圓C1:(x-k)2+y2=1, 圓C2:x2+(y-k-1)2=1. 圓心距d=C1C2==. 顯然當k=-時,兩圓圓心距最短且dmin=,兩圓半徑之和為2,半徑之差為0. 因為0<<2,所以兩圓相交.

2、 [精要點評]圓與圓的位置關系有五種,判斷依據(jù)是圓心距與兩圓半徑和及差的大小關系. 　(xx·江蘇模擬)已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圓C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,求m為何值時: (1) 圓C1與圓C2外切; (2) 圓C1與圓C2內(nèi)含. [解答]將兩圓方程化為標準方程, 圓C1:(x-m)2+(y+2)2=9, 圓C2:(x+1)2+(y-m)2=4. (1) 因為圓C1與圓C2外切, 則有=3+2, 所以m2+3m-10=0,解得m=2或-5. 所以當m=-5或m=2時,圓C1與圓C2外切. (2) 因為圓C1與圓C2內(nèi)含

3、, 則有<3-2, 所以m2+3m+2<0,解得-2

4、圓C2:x2+y2-4y-6=0. (1) 試判斷兩圓的位置關系; (2) 求公共弦所在直線的方程. [解答](1) 因為圓C1的圓心為(3,0),半徑為r1=,圓C2的圓心為(0,2),半徑為r2=, 又因為C1C2=,所以|r1-r2|

5、相交的條件:|r1-r2|

6、-4=0和圓C2:x2+y2-2by+b2-1=0內(nèi)切.若a,b∈R,且ab≠0,求實數(shù)a,b之間滿足的關系式. [解答]圓C1的標準方程為(x+2a)2+y2=4,圓心C1(-2a,0),半徑為2, 圓C2的標準方程為x2+(y-b)2=1,圓心C2(0,b),半徑為1. 因為兩圓內(nèi)切,則有C1C2=1,即4a2+b2=1. 兩圓的綜合問題 　(xx·玉溪一中模擬)在平面直角坐標系xOy中,已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1) 若直線l過點A(4,0),且被圓C1截得的弦長為2,求直線l的方程; (2) 設P為平面上的

7、點,滿足:存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓C1和圓C2相交,且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點P的坐標. [解答](1) 當直線l的斜率不存在時,不滿足題意,故可設直線l的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0. 由垂徑定理得圓心C1到直線l的距離d==1. 結合點到直線的距離公式得=1Tk=0或k=-. 故直線l的方程為y=0或y=-(x-4), 即y=0或7x+24y-28=0. (2) 設點P(m,n),直線l1,l2的方程分別為y-n=k(x-m),y-n=-(x-m), 即l1:kx-y+n

8、-km=0,l2:-x-y+n+=0. 由題意可知C1到直線l1的距離等于C2到直線l2的距離, 即=, 化簡,得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5, 由題意知關于k的方程有無窮多個解, 則有或 解得或 故P或P. 　求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點,并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程. [解答]設所求圓的方程為x2+y2+6y-28+λ(x2+y2+6x-4)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6λx+6y-28-4λ=0, 則所求圓的圓心為. 因為圓心在直線x-y-4=0上, 所以-+-4=0

9、,解得λ=-. 所以所求圓的方程為x2+y2-x+7y-32=0. 1. 圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關系為　　　　. [答案]相交 2. 圓x2+y2-4=0與圓x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的長為　　　　. [答案]2 [解析]兩圓的方程相減得y=x+2,即為公共弦所在直線的方程.圓x2+y2-4=0的圓心到直線x-y+2=0的距離為d==.所以兩圓的公共弦長為2=2=2. 3. (xx·江蘇模擬)若圓x2+y2=1與圓(x+4)2+(y-a)2=25相切,則常數(shù)a的值是　　　　. [答案]0或2或-2 [解析

10、]由題意得16+a2=16或16+a2=36,解得a=0或a=±2. 4. 圓x2+y2+4x-4y+7=0與圓x2+y2-4x+10y+13=0的公切線的條數(shù)是　　　　. [答案]4 [解析]易知圓x2+y2+4x-4y+7=0與圓x2+y2-4x+10y+13=0外離,所以兩圓的公切線有4條. 5. 已知動圓x2+y2-2mx-4my+6m-2=0恒過定點,那么定點的坐標是　　　　. [答案](1,1), [解析]動圓方程轉(zhuǎn)化為(x2+y2-2)+(-2x-4y+6)m=0,令x2+y2-2=0,且-2x-4y+6=0,解得或 [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習(第115-116頁).