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1、八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第四章 因式分解試題 (新版)北師大版
1.因式分解的方法
名稱
提公因式法
平方差公式
完全平方公式
公式
ma+mb+mc
=m(a+b+c)
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
項(xiàng)數(shù)
最少兩項(xiàng)
兩項(xiàng)
三項(xiàng)
適用
條件
有公因式
平方差形式
(1)兩項(xiàng).
(2)每項(xiàng)都是平方的形式.(3)兩項(xiàng)符號(hào)相反
完全平方形式(1)三項(xiàng).
(2)兩項(xiàng)是平方的形式.
(3)另一項(xiàng)是兩數(shù)乘積的二倍
【例1】分解因式:2x2-6x=________.
【標(biāo)準(zhǔn)解答】?jī)身?xiàng)中都含有公因式2x,提取公因式2x得2x2
2、-6x=2x(x-3).
答案:2x(x-3)
【例2】分解因式:4x2-1=________.
【標(biāo)準(zhǔn)解答】4x2-1=(2x)2-12=(2x+1)(2x-1).
答案:(2x+1)(2x-1)
【例3】分解因式:(a+b)3-4(a+b)=________.
【標(biāo)準(zhǔn)解答】(a+b)3-4(a+b)
=(a+b)
=(a+b)(a+b+2)(a+b-2).
答案:(a+b)(a+b+2)(a+b-2)
【例4】分解因式:a3-10a2+25a=________.
【標(biāo)準(zhǔn)解答】a3-10a2+25a=a(a2-10a+25)=a(a-5)2.
答案:a(a-5)2
3、【例5】分解因式:(2a-b)2+8ab =________.
【標(biāo)準(zhǔn)解答】(2a-b)2+8ab=4a2-4ab+b2+8ab=4a2+4ab+b2=(2a+b)2.
答案:(2a+b)2
1.下列各式能用完全平方公式進(jìn)行分解因式的是( )
A.x2+1 B.x2+2x-1
C.x2+x+1 D.x2+4x+4
2.分解因式:(x+3)2-(x+3)=________.
3.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解x4-4=________.
4.因式分解:x3y2-x5=________.
5.分解因式:-a3+a2b-ab2=________.
6.給出三個(gè)多項(xiàng)式x2+x
4、-1,x2+3x+1,x2-x,請(qǐng)你選擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算,并把結(jié)果因式分解.
2.分解因式與整體代入求值
(1)利用平方差公式分解因式,再整體代入求值
通過對(duì)已知條件或?qū)λ蟠鷶?shù)式利用平方差公式進(jìn)行因式分解,再整體代入求值.
【例1】若m2-n2=6,且m-n=2,則m+n=________.
【標(biāo)準(zhǔn)解答】m2-n2=(m+n)(m-n)
=2(m+n)=6,∴m+n=3.
答案:3
(2)利用完全平方公式分解因式,再整體代入求值
通過對(duì)已知條件利用完全平方公式分解因式,對(duì)所求代數(shù)式化簡(jiǎn)分解因式,找出已知條件與所求代數(shù)式之間的關(guān)系,然后整體代入求值
5、.
【例2】已知a2+2ab+b2=0,求代數(shù)式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值.
【標(biāo)準(zhǔn)解答】∵a2+2ab+b2=0,∴a+b=0,
又∵a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)=a2+4ab-(a2-4b2)=4ab+4b2=4b(a+b).
∴原式=4×b×0=0.
1.若m-n=2,m+n=5,則m2-n2的值為________.
2.已知m+n=3,求2m2+4mn+2n2-6的值.
3.因式分解的解題技巧
(1)通過加減變形,進(jìn)行因式分解
分解某些多項(xiàng)式,有時(shí)需要加上并減去一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng),從而在多項(xiàng)式的值保持不變的前提下達(dá)到因式分解
6、的目的.
【例1】分解因式:4a4+1.
【標(biāo)準(zhǔn)解答】本題只需在原式中加上并減去4a2,即能運(yùn)用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行分解.
原式=4a4+1+4a2-4a2=(4a4+4a2+1)-4a2
=(2a2+1)2-(2a)2=(2a2+2a+1)(2a2-2a+1).
(2)通過拆項(xiàng)變形,進(jìn)行因式分解
當(dāng)多項(xiàng)式的因式分解遇到困難時(shí),有時(shí)也可考慮采用拆項(xiàng)的方法,將多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)進(jìn)行拆分,然后將新得到的多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)組合,同樣可以實(shí)現(xiàn)因式分解.
【例2】分解因式:2x3+3x2-1.
【標(biāo)準(zhǔn)解答】將3x2拆成2x2+x2,再將2x2與2x3組合,x2與-1組合,則能運(yùn)用提取公
7、因式法與平方差公式進(jìn)行分解.
原式=2x3+2x2+x2-1
=(2x3+2x2)+(x2-1)
=2x2(x+1)+(x+1)(x-1)
=(x+1)(2x2+x-1).
(3)通過換元變形,進(jìn)行因式分解
當(dāng)多項(xiàng)式的次數(shù)較高,且其中含有相同的多項(xiàng)式因子時(shí),采用換元法就能降低原多項(xiàng)式的次數(shù),從而簡(jiǎn)化因式分解操作.
【例3】分解因式:(a2+2a)(a2+2a+4)+4.
【標(biāo)準(zhǔn)解答】設(shè)y=a2+2a,則原式=y(y+4)+4=y2+4y+4=(y+2)2,
∴(a2+2a)(a2+2a+4)+4=(a2+2a+2)2.
(4)由整式的乘法可知,(x+p)(x+q)=x2+(
8、p+q)x+pq,根據(jù)因式分解與整式乘法的關(guān)系可得,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).因此可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式.
例如,將式子x2+3x+2分解因式,這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)2=1×2,一次項(xiàng)系數(shù)3=1+2,因此這是一個(gè)符合x2+(p+q)x+pq型的式子,利用這個(gè)關(guān)系可得x2+3x+2=(x+1)(x+2).
【例4】利用這種方法,將下列多項(xiàng)式分解因式.
(1)x2+9x+20. (2)x2-7x+12.
【標(biāo)準(zhǔn)解答】(1)x2+9x+20=(x+4)(x+5).
(2)x2-7x+12=(x-3)(x-4).
1.分解因式:
9、
(1)x2-7x-8.
(2)x2+3x-18.
(3)a2+7ab+12b2.
(4)(a+b)2-5(a+b)-14.
2.先閱讀以下材料,然后解答問題.
分解因式mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+y);也可以mx+nx+my+ny=(mx+my)+(nx +ny)=m(x+y)+n(x+y)=(m+n)(x+y).
以上分解因式的方法稱為分組分解法.請(qǐng)用分組分解法分解因式:a3-b3+a2b-ab2.
3.觀察下列分解因式的過程
10、:
x2+2ax-3a2
=x2+2ax+a2-4a2(先加上a2,再減去a2)
=(x+a)2-4a2(運(yùn)用完全平方公式)
=(x+a+2a)(x+a-2a)
=(x+3a)(x-a).
像上面這樣通過加減項(xiàng)配出完全平方式,把二次三項(xiàng)式分解因式的方法,叫做配方法.請(qǐng)你用配方法分解因式:x2-4xy+3y2.
跟蹤訓(xùn)練答案解析
1.因式分解的方法
【跟蹤訓(xùn)練】
1.【解析】選D.根據(jù)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2可得,選項(xiàng)A,B,C都不能用完全平方公式進(jìn)行分解因式,D選項(xiàng)x2+4x+4=(x+2)2.
2.【解析】(x+3)2-(x+3)
11、
=(x+3)(x+3-1)=(x+3)(x+2).
答案:(x+3)(x+2)
3.【解析】x4-4=(x2+2)(x2-2)=
(x2+2)(x+)(x-).
答案:(x2+2)(x+)(x-)
4.【解析】x3y2-x5=x3(y2-x2)=x3(y-x)(y+x).
答案:x3(y-x)(y+x)
5.【解析】原式=-a
=-a.
答案:-a
6.【解析】如:+=+(x+3x)+(-1+1)
=x2+4x=x(x+4).
又如:+=x2+2x+1=(x+1)2.
2.分解因式與整體代入求值
【跟蹤訓(xùn)練】
1.【解析】m2-n2=(m+n)(m-n)=5×2
12、=10.
答案:10
2.【解析】2m2+4mn+2n2-6=2(m+n)2-6.
∵m+n=3,∴2(m+n)2-6=2×32-6=12.
3.因式分解的解題技巧
【跟蹤訓(xùn)練】
1.【解析】(1)x2-7x-8=(x-8)(x+1).
(2)x2+3x-18=(x+6)(x-3).
(3)a2+7ab+12b2=(a+3b)(a+4b).
(4)(a+b)2-5(a+b)-14=(a+b-7)(a+b+2).
2.【解析】a3-b3+a2b-ab2=(a3+a2b)-(b3+ab2)=a2(a+b)-b2(b+a)=(a+b)(a2-b2)
=(a+b)2(a-b).
3.【解析】x2-4xy+3y2=x2-4xy+3y2+y2-y2
=x2-4xy+4y2-y2=(x-2y)2-y2
=[(x-2y)+y][(x-2y)-y]
=(x-y)(x-3y).