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1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修五 課時(shí)作業(yè)9 《等差數(shù)列》的性質(zhì)
一、選擇題(每小題6分，共計(jì)36分)
1．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，則有( )
A．a(chǎn)2 007＋a2 008＝a2 009＋a2 010
B．a(chǎn)2 007＋a2 009＝a2 008＋a2 010
C．a(chǎn)2 007＋a2 010＝a2 008＋a2 009
D．a(chǎn)2 007＋a2 008≤a2 009＋a2 010
解析：若m，n，p，q∈N*，且{an}是等差數(shù)列，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，C成立．
答案：C
2．等差數(shù)列{an}的公差為d，則數(shù)列{can}(c為常數(shù)，且c≠0)是( )
A．
2、公差為d的等差數(shù)列
B．公差為cd的等差數(shù)列
C．不是等差數(shù)列
D．以上都不對(duì)
解析：設(shè)bn＝can，
則bn＋1－bn＝can＋1－can＝c(an＋1－an)＝cd.
答案：B
3．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a5＋a9＝，則sin(a4＋a6)＝( )
A. B.
C. D．1
解析：∵a1＋a5＋a9＝3a5＝，
∴a5＝，∴a4＋a6＝2a5＝.
∴sin(a4＋a6)＝sin＝.
答案：A
4．等差數(shù)列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是( )
A．a(chǎn)n＝2n－2(n∈N*)
B．a(chǎn)n＝2
3、n＋4(n∈N*)
C．a(chǎn)n＝－2n＋12(n∈N*)
D．a(chǎn)n＝－2n＋10(n∈N*)
解析：由得或
∵d<0，∴a2＝6，a4＝2.
∴d＝(a4－a2)＝－2.
∴an＝a2＋(n－2)d＝6－2(n－2)＝10－2n.
答案：D
5．首項(xiàng)為－24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起為正數(shù)，則公差的取值范圍是( )
A．(，＋∞) B．(－∞，3)
C．[，3) D．(，3]
解析：設(shè)公差為d，則an＝－24＋(n－1)d，a9＝－24＋8d，a10＝－24＋9d，
∵從第10項(xiàng)起為正數(shù)，
∴即即
4、3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20等于( )
A．－1 B．1
C．3 D．7
解析：方法1：∵a1＋a3＋a5＝105，即3a3＝105，解得
a3＝35，同理a2＋a4＋a6＝99，得a4＝33，
∵d＝＝＝－2.
∴a20＝a4＋(20－4)d＝33＋16×(－2)＝1.
方法2：由a1＋a3＋a5＝105，得a1＋a1＋2d＋a1＋4d＝3a1＋6d＝105，由a2＋a4＋a6＝99，得a1＋d＋a1＋3d＋a1＋5d＝3a1＋9d＝99，
所以解得
∴a20＝39＋(20－1)×(－2)＝1.
方法3：∵a1＋a3＋a5＝105，a2＋a
5、4＋a6＝99，
∴(a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d＝99－105＝－6.
解得d＝－2，又a1＋a3＋a5＝105，得a3＝35，
a20＝a3＋(20－3)d＝35＋17×(－2)＝1.
答案：B
二、填空題(每小題8分，共計(jì)24分)
7．在等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝________.
解析：∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
∴3d＝a5－a2＝6，
∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.
答案：13
8．等差數(shù)列{an}中，a15＝8，a60＝20，則a105＝________
6、.
解析：a15，a60，a105成等差數(shù)列，
則a15＋a105＝2a60，
∴a105＝2a60－a15＝2×20－8＝32.
答案：32
9．在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列，那么，位于表中的第n行第n＋1列的數(shù)是________.
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
解析：由已知條件可知，數(shù)表中第n行的第1列數(shù)為n，其公差亦為n，因此第n行第n＋1列的數(shù)為n(n＋1)＝n2＋n.
答案：n2＋n
三、解答題(共計(jì)40分
7、)
10．(10分)已知等差數(shù)列{an}中，a3a7＝－12，a4＋a6＝－4.求它的通項(xiàng)公式．
解：依題意 ∴a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的兩根，∴或
當(dāng)a3＝－6，a7＝2時(shí)，d＝＝2，an＝a7＋(n－7)×d＝2n－12，同理當(dāng)a3＝2，a7＝－6時(shí)，an＝－2n＋8.
11．(15分)已知無(wú)窮等差數(shù)列{an}，首項(xiàng)a1＝3，公差d＝－5，依次取出項(xiàng)的序號(hào)被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求{bn}的通項(xiàng)公式；
(3){bn}中的第110項(xiàng)是{an}的第幾項(xiàng)？
解：(1)∵a1＝3，d＝－5.
所以an＝3＋(n－1)(－5)＝8－
8、5n.
數(shù)列{an}中項(xiàng)數(shù)被4除余3的項(xiàng)依次是第3項(xiàng)，第7項(xiàng)，第11項(xiàng)，…，∴{bn}的首項(xiàng)b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)設(shè){an}中的第m項(xiàng)是{bn}的第n項(xiàng)，即bn＝am，
則m＝3＋4(n－1)＝4n－1，
∴bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n(n∈N＋)．
∵bn－bn－1＝－20(n∈N＋，n≥2)，∴{bn}是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn＝13－20n(n∈N＋)．
(3)∵b110＝13－20×110＝－2187，設(shè)它是{an}中的第m項(xiàng)，則－2187＝8－5m，則m＝439.
12．(15分)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝
9、(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常數(shù)．
(1)當(dāng)a2＝－1時(shí)，求λ及a3的值；
(2)是否存在實(shí)數(shù)λ使數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在，求出λ及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1.所以當(dāng)a2＝－1時(shí)，得－1＝2－λ，故λ＝3.
從而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.
(2)不存在實(shí)數(shù)λ使數(shù)列{an}為等差數(shù)列，
證明如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，
得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，
a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}為等差數(shù)列，則a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.
于是a2－a1＝1－λ＝－2，
a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.
這與{an}為等差數(shù)列矛盾．
所以，不存在λ使{an}是等差數(shù)列．
2022人教A版數(shù)學(xué)必修五 課時(shí)作業(yè)9 《等差數(shù)列》的性質(zhì)
